2024-2025学年江苏省新海高级中学开发区校区高一下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省新海高级中学开发区校区高一下学期期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(−6,1)，b=(2,k)，若a⊥b，则k=( )
A. 12B. −12C. 13D. −13
2.已知角A为△ABC的内角，cs A=−45，则sin 2A=( )
A. −2425B. −1225C. 1225D. 2425
3.在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a= 2，b= 3，B=60°，则角C等于( )
A. 45°B. 75°C. 105°D. 135°
4.若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段( )
A. 能组成直角三角形B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形
5.一个物体在三个力F1=(2,3)，F2=(−1,−4)，F3的作用下，处于静止状态，则F3=( )
A. (0,1)B. (−1,0)C. (0,−1)D. (−1,1)
6.已知α，β均为锐角，sinα=45，sin(α−β)=513，则sinβ=( )
A. 1665B. 413C. 3365D. 6365
7.边长为2的正方形ABCD上有一动点P，则向量AB⋅AP的最大值是( )
A. 1B. 2C. 2 2D. 4
8.在▵ABC中，tanA=13，tanB=−2，若▵ABC最短边的长为 102，则最长边的长为( )
A. 5B. 2 5C. 10D. 5 22
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式成立的是( )
A. 4sin15∘cs15∘=2B. 3−tan15∘1+ 3tan15∘=1
C. sin26∘−cs26∘=cs12∘D. sin6∘−cs6∘=− 2sin39∘
10.关于复数z及其共轭复数z，下列说法正确的是( )
A. |z|2=z2B. 若z1=z2，则z1=z2
C. z⋅z=|z|2D. 若复数z∈R，则z⋅z∈R
11.对于函数f(x)=sinx−csx，下列正确的有( )
A. f(x)是偶函数B. f(x)在区间0,π4单调递增
C. f(x)的值域为1, 2D. f(x)的图象关于直线x=π2对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设z∈C，满足条件|z|=3的点Z的集合表示的图形的面积为 ．
13.在直角▵ABC中，∠ACB=90∘，AC=1，BC=3，点E是边BC上靠近C的三等分点，则tan∠EAB= ．
14.在▵ABC中，N为AB中点，BC=3BM，设AM与NC交于点P，则NPNC= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)计算：1+2i⋅i5+1−i1+i3；
(2)设复数z=m2+2m−3+(m−1)i,m∈R，若z对应的点位于复平面的第四象限，求m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知a=2，b=3，2a−3b⋅2a+b=1．
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求a+2b．
17.(本小题15分)
已知▵ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3bcsA=asinB．
(1)求角A；
(2)若a= 13，▵ABC的面积为 3，求b+c．
18.(本小题17分)
已知f(x)= 3sin2x+cs2x+1，
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若fx0=32，x0∈π6,π2，求sin2x0的值；
(3)求函数f(x)在−π2,π2上的单调递增区间．
19.(本小题17分)
如图，半圆O的直径为4 cm， A为直径延长线上的一点，OA=4cm，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.设∠AOB=α，
(1)当α=2π3时，求四边形OACB的周长；
(2)用α表示四边形OACB的面积，并求其面积的最大值；
(3)求 OA2+OB2+OC2的最大值，并指出此时α的值．
参考答案
1.A
2.A
3.B
4.B
5.D
6.C
7.D
8.B
9.BD
10.BCD
11.ABD
12.9π
13.12/0.5
14.15/0.2
15.【详解】(1)因为1−i1+i=1−i21+i1−i=−i，
所以1+2i⋅i5+1−i1+i3=1+2i⋅i4⋅i+−i3=1+2i⋅i+i=i+2i2+i=−2+2i；
(2)复数z=m2+2m−3+(m−1)i,m∈R在复平面内对应的点为m2+2m−3,m−1，
依题意可得m2+2m−3>0m−1