2024-2025学年湖南省常德市汉寿县第一中学高二下学期5月期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省常德市汉寿县第一中学高二下学期5月期中考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A=xy=lg(x−1) ，B=yy=12x,x≥1 ，则CRA∩B=( )
A. 0,12B. 12,1C. (0,1)D. ⌀
2.若复数z满足(1−i)z=|1+i|，则z的虚部是( )
A. iB. 1C. 22iD. 22
3.已知向量a=−1,2,b=0,3，如果向量a+2b与a−xb垂直，则实数x的值为( )
A. 1B. −1C. 1724D. −1724
4.等差数列an中，a1=−1,a4=8，则an的公差d=( )
A. 3B. 2C. −2D. −3
5.已知A,B,C为▵ABC的三个内角，下列各式不成立的是( )
A. sinA=sin(B+C)B. csB=−cs(A+C)
C. sinA2=csB+C2D. csB2=−sinA+C2
6.已知m∈R时，直线l1:mx−y−2m+4=0与直线l2:x+my−2m−4=0相交于点Px0,y0，则x02+y02的值( )
A. 无最大值，最小值为8B. 最大值为32，无最小值
C. 最大值为32，最小值为8D. 不存在最值
7.定义在R上的函数f(x)=x2−2ax+a+2,x≤1(a−4)x+1,x>1满足对任意x1，x2(x1≠x2)时，都有fx1−fx2x1−x22f(x)，则不等式e2xf(2−x)0,ω>0,|φ|0)．
由题意可知1a2+94b2=1 3a=2b，解得a2=4b2=3,
故椭圆E的方程为y24+x23=1．
(2)由(1)可知A(0,−2)．
设Cx1,y1,Dx2,y2,Mx0,y0，直线CD的方程为y=kx+4．
由y24+x23=1y=kx+4，得3k2+4x2+24kx+36=0，
则Δ=(24k)2−43k2+4×36=144k2−4>0,x1+x2=−24k3k2+4,x1x2=363k2+4，所以k2>4．
由∠AMD=2∠BAM，得∠ABM+∠BAM=2∠BAM，
所以∠ABM=∠BAM，则|AM|=|BM|，
所以点M在线段AB的垂直平分线y=1上，即y0=1.易知|BC||BD|=x1x2．
设CM=λMD，则x0−x1,y0−y1=λx2−x0,y2−y0，
则x0−x1=λx2−x0.①
又点Mx0,1在直线CD上，所以1=kx0+4，
则x0=−3k=−7224k=2×363k2+4−24k3k2+4=2x1x2x1+x2，
所以x0x1+x2=2x1x2，则x2x0−x1x2=x1x2−x1x0．
整理，得x0−x1=x1x2x2−x0.②由①②，得λ=x1x2．
所以CM=x1x2MD，则|CM||MD|=x1x2，所以|BC||BD|=x1x2=|CM||MD|，故|BC|⋅|MD|=|BD|⋅|CM|．

17.【详解】(1)

取PD中点M，连ME, CM，
由E为PA的中点，则ME//DA，又DA//CB，
则ME//CB，又ME=12DA=BC，
所以四边形CMEB为平行四边形，
则BE//CM，BE⊄平面PDC，CM⊂平面PDC，
则BE//平面PDC．
(2)取DA中点N，连CN，
由NA//CB且NA=CB，则四边形NABC是平行四边形，
故NC=AB=1，又ND=1,CD= 2，则NC2+ND2=CD2，
所以DN⊥CN，由NC//AB，则DA⊥AB，
在▵PAB中，PA=2,AB=1,∠PAB=120∘，
由余弦定理得PB2=PA2+AB2−2PA⋅ABcs120∘=1+4+2×2×12=7，
则PB= 7，而CB=1,PC=2 2，所以PB2+CB2=PC2，
则CB⊥BP，即DA⊥BP，又DA//CB，所以DA⊥平面PAB，
在平面PAB内作Ax⊥AB．
以Ax,AB,AD为x,y , z轴正向建立空间直角坐标系A−xyz，
则D(0,0,2),B(0,1,0),P 3,−1,0,C(0,1,1),E 32,−12,0，
所以PD=− 3,1,2,BE= 32,−32,0,DC=(0,1,−1),EP= 32,−12,0，
假设存在点K满足题意，设PK=λPD(0≤λ≤1)，
则可得PK=− 3λ,λ,2λ,EK=EP+PK= 32(1−2λ),2λ−12,2λ，
设平面KEB的法向量n1=(x,y,z)，
则n1⋅EK= 32(1−2λ)x+2λ−12y+2λz=0n1⋅BE= 32x−32y=0，令y=1，
则n1= 3,1,2λ−12λ；
设平面PDC的法向量n2=(x,y,z)，
则n2⋅PD=− 3x+y+2z=0n2⋅DC=y−z=0，令z=1，则n2= 3,1,1；
所以2 55=csn1,n2=n1·n2n1⋅n2=4+2λ−12λ 5⋅ 4+2λ−12λ2，
解得λ=12∈[0,1]，
所以假设成立，即存在K，且PKKD=1时，使得平面KEB与平面PDC的夹角的余弦值为2 55．

18.【详解】(1)
(2)假设H0：性别与考试是否合格无关，k2=105(45×20−30×10)275×30×55×50≈6.109．
若H0成立，Pk2≥5.204=0.025，
∵k2≈6.109≥5.204，
∴有97.5%的把握认为性别与考试是否合格有关．

19.【详解】(1)∵an=2n,∴an+1=an+2,n∈N∗，
∴数列{an}是“优美数列”，对应的实常数分别为1，2．
∵bn=3×2n，∴bn+1=2bn,n∈N∗，
∴数列{bn}是“优美数列”，对应的实常数分别为2，0．
(2)数列an是“优美数列”，
∴存在实常数p、q，使得an+1=pan+q对于任意n∈N∗都成立，
则an+2=pan+1+q对于任意n∈N∗都成立，
∴an+1+an+2=pan+an+1+2q对于任意n∈N∗都成立，
又∵an+an+1=3⋅2nn∈N∗，且an+1+an+2=3⋅2n+1n∈N∗，
则有3⋅2n+1=3⋅p2n+2q对于任意n∈N∗都成立，
即3⋅2n(2−p)=2q对于任意n∈N∗都成立，
因此2−p=0,2q=0；
此时，an+1=pan+q=2an，且a1≠0，所以an是等比数列，
又∵a1=2，∴an=2n,n∈N∗．
成绩
性别
合格
不合格
合计
男性
45
10
女性
30
合计
105
Pk2≥x0
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.10
x0
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
成绩
性别
合格
不合格
合计
男性
45
10
55
女性
30
20
50
合计
75
30
105