2024-2025学年河南省环际大联考“逐梦计划”高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省环际大联考“逐梦计划”高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若物体的运动方程是S=t3+t2−1，t=2时物体的瞬时速度是( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
2.若等差数列an的前n项和为Sn，且a3+a9=12，则S11的值为( )
A. 33B. 44C. 66D. 132
3.函数f(x)=ex+ax在x=0处的切线与直线3x−2y−5=0平行，则实数a=( )
A. −1B. 1C. 12D. 14
4.已知实数m是1，4的等比中项，则m=( )
A. ±4B. −4C. ±2D. −2
5.已知f(x)=f′(2025)lnx+12x2−x，则f′(2025)=( )
A. 0B. −2025C. 1D. 2025
6.已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn、Tn，若SnTn=3n+4n+2则a6b6=( )
A. 11113B. 3713C. 11126D. 3726
7.下列说法正确的是( )
A. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1
B. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于0
C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=4.712，根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验(χ0.05=3.841)，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05
D. 由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀
8.若函数f(x)=x+ex，点P是曲线y=f(x)上任意一点，则点P到直线l:2x−y−9=0的距离的最小值为( )
A. 4 5B. 3 52C. 3 5D. 2 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导数的运算正确的是( )
A. x3−1x′=3x2+1x2B. (ln2)′=12
C. xex′=(x+1)exD. (x⋅csx)′=−sinx
10.对于变量x和变量y，经过随机抽样获得成对样本数据xi,yi，i=1，2，3，…，10，且x=2.2，样本数据对应的散点大致分布在一条直线附近，利用最小二乘法求得经验回归方程：y=1.8x+0.04，分析发现样本数据(4,4.9)对应的散点远离经验回归直线，将其剔除后得到新的经验回归直线，则( )
A. 变量x与变量y具有正相关关系
B. 剔除后，变量x与变量y的样本相关系数变小
C. 新的经验回归直线经过点(2,3.9)
D. 若新的经验回归直线经过点(3,5.9)，则其方程为y=2x−0.1
11.已知数列an满足an+1+an=f(n)，则下列说法中正确的是( )
A. 若a1=2，f(n)=4n+2，则an是等差数列 B. 若a1=1，f(n)=2n−1，则an是等差数列
C. 若a1=1，f(n)=4，则an是等比数列 D. 若a1=2，f(n)=3⋅2n，则an是等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为3盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍，则一共开了 盏灯．
13.若曲线y=lnx+ax在x=1处的切线经过点P(3,0)，则实数a= ．
14.已知数列{an}为等比数列，a1=32，公比q=12，若Tn是数列{an}的前n项积，则Tn取最大值时，n的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求下列直线的方程：
(1)曲线y=x3+x2+2在P(−1,2)处的切线；
(2)曲线y=x2过点P(2,3)的切线．
16.(本小题15分)
已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=an+1−n，a2=2a1+1．
(1)求a1，a2，并证明：数列an+1为等比数列；
(2)求S1+S2+⋅⋅⋅+S10的值．
17.(本小题15分)
为践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某市环保部门对某大型企业进行排放物监控．测得排放的可吸入颗粒物浓度y(单位：mg/m3)、监控点与企业的距离x(单位：km)的数据，并进行了初步处理，得到了下面的一些统计量的值(其中ui=1xi，u=19i=19ui)：x=6，y=97.90，u=0.21，i=19(xi−x)2=60，i=19(ui−u)2=0.14，i=19(yi−y)2=14.12，i=19(xi−x)(yi −y)=26.13，i=19(ui −u)(yi −y)=−1.40．
(1)利用相关系数，判断y=a+bx与y=c+dx哪一个更适合作为可吸入颗粒物浓度y关于监控点与该企业距离x的回归方程类型？(精确到0.001)
(计算过程中的可参考数据： 847.2≈29.107， 1.9768≈1.406)
(2)根据(1)的判断结果，求其回归方程，并预测当x=20时可吸入颗粒物浓度的预报值？
附：对于一组数据(t1,s1)，(t2,s2)，…，(tn,sn)，其线性相关系数为：r=i=1n(ti−t)(si−s) i=1n(ti−t)2i=1n(si−s)2，
回归直线方程s=α+βt的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=i=1n(ti−t)(si−s)i=1n(ti−t)2，α=s−βt．
18.(本小题17分)
对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y=f(x)的导数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点x0,fx0为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)=13x3−12x2+1312，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
(1)求y=f(x)的对称中心．
(2)求an=f12n+f22n+f32n+⋅⋅⋅+f2n−12n．
(3)记数列an的前n项和为Sn，数列Snanan+1的前n项和为Tn，若Tn≤λ⋅Sn对n∈N+恒成立，求λ的取值范围．
19.(本小题17分)
二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.若十进制数n=a0×2k+a1×2k−1+a2×2k−2+⋅⋅⋅+ak−1×21+ak×20，其中a0=1，ai∈{0,1}，则n对应的二进制数为a0a1a2⋅⋅⋅ak2(k∈N)．
(1)十进制数6，2025分别用二进制表示．
(2)证明：满足a0，a1，a2，…，a6中有且只有3个1的所有二进制数a0a1a2⋅⋅⋅a62对应的十进制数的和为1275．
(3)将n对应的二进制数中1的个数记为S(n)，则S(2n+1)=S(16n+4)．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.C
5.D
6.B
7.C
8.D
9.AC
10.ACD
11.AD
12.93
13.−23
14.5或6
15.解：(1)y′=3x2+2x，故曲线y=x3+x2+2在P(−1,2)处的切线斜率为k=3×(−1)2+2×(−1)=1，
故在P(−1,2)处的切线方程为y−2=x−(−1)，即y=x+3；
(2)设切点为x0,x02，因为y′=2x，故曲线在x0,x02处的切线方程为y−x02=2x0x−x0，
化简可得y=2x0x−x02，代入P(2,3)可得3=4x0−x02，
即x0−1x0−3=0，解得x0=1或x0=3，
代入切线方程可得y=2x−1或y=6x−9．

16.解：(1)由已知可得S1=a1=a2−1a2=2a1+1，解得a1=0，a2=1，
∵Sn=an+1−n，
∴Sn−1=an−(n−1)，n≥2，
两式相减得an=an+1−an−1，即an+1=2an+1，
∴an+1+1=2an+1(n≥2)，又a2+1=2a1+1，
所以an+1+1=2an+1n∈N∗，因为a1+1=1≠0，
所以数列an+1为等比数列．
(2)由(1)得，an+1=2n−1，∴an=2n−1−1，
∴Sn=a1+a2+⋯+an=1+2+22+⋯+2n−1−n=1−2n1−2−n=2n−n−1，
∴S1+S2+⋯+S10=2+22+⋯+210−(1+2+⋯+10)−10
=21−2101−2−10×112−10=211−2−55−10=1981．

17.解：(1)y=a+bx的线性相关系数r1=i=19(xi−x)(yi−y) i=19(xi−x)2i=19(yi−y)2
=26.13 60×14.12≈0.898，
y=c+dx的线性相关系数r2=i=19(ui−u)(yi−y) i=19(u1−u)2i=19(yi−y)2
=−1.40 0.14×14.12≈−0.996，
因为|r1|