2023-2024学年河南省环际大联考“逐梦计划”高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省环际大联考“逐梦计划”高二（上）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.经过点P(1,−2)，倾斜角为45°的直线方程为( )
A. x+y+1=0B. x+y−1=0C. x−y+3=0D. x−y−3=0
2.在空间直角坐标系中，点(1,−2,3)关于y轴对称点的坐标是( )
A. (−1,2,3)B. (−1,−2,−3)C. (−1,2,−3)D. (1,−2,−3)
3.已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为 2，则它的渐近线方程为( )
A. y=±xB. y=±12xC. y=± 22xD. y=± 2x
4.已知直线l1：mx+2y−1=0与直线l2：5x+(m+3)y−5=0，若l1//l2，则m=( )
A. −5B. 2C. 2或−5D. 5
5.已知直线l的一个方向向量为u=(1,− 3)，且l经过点(1,−2)，则下列结论中正确的是( )
A. l的倾斜角等于150°B. l在x轴上的截距等于2 33
C. l与直线 3x−3y+2=0垂直D. l与直线 3x+y+2=0平行
6.设F1和F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为( )
A. 77B. 2 77C. 33D. 2 33
7.已知动点P在曲线2x2−y=0上，则点A(0,2)与点P连线的中点的轨迹方程是( )
A. y=4x2B. y=8x2C. y=4x2+1D. y=8x2+1
8.若直线y−2=k(x−4)与曲线x= 4−y2恰有交点，则实数k的取值范围是( )
A. [1,43)B. [0,43]C. [1,53)D. [0,53)
9.设直线l1：x+y−1=0，l2：x−y+1=0，则( )
A. l1与l2平行B. l1与l2相交
C. l1与l2的交点在圆x2+y2=1上D. l1与l2的交点在圆x2+y2=1外
10.圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2−4x+4y−8=0的交点为A，B，则( )
A. 公共弦AB所在直线的方程为x−y+1=0
B. 两圆圆心距|O1O2|=2 2
C. 线段AB中垂线的方程为x+y=0
D. 公共弦AB的长为2 2
11.0°≤α≤180°变化时，方程x2+y2csα=1表示的曲线的形状可以是( )
A. 两条平行直线B. 圆
C. 焦点在x轴上的椭圆D. 焦点在x轴上的双曲线
12.《白蛇传》中的“雨中送伞”故事在中国民间流传甚广，今年杭州亚运会期间游客打纸伞逛西湖受到热捧.油纸伞是中国传统工艺品，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子(此时阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则( )
A. 该椭圆的长轴为3 2+ 63B. 该椭圆的离心率为2− 3
C. 该椭圆的焦距为3 2− 63D. 该椭圆的焦距为2 3−2
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则p= ______ ．
14.过直线2x−y+4=0与3x−2y+9=0的交点，且垂直于直线x−2y+3=0的直线方程是______ ．
15.椭圆x24+y2a2=1与双曲线x2a−y22=1有相同的焦点，则双曲线方程是______ ．
16.已知A(2,1,3)，B(2,−2,6)，C(3,6,6)，则AC在AB上的投影向量为______ ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点P(2,4)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)求以(1,−1)为中点的抛物线C的弦所在直线的方程．
18.已知△ABC为等腰直角三角形，且∠C=90°，若A，C的坐标分别为(0,4)，(3,3)．
(1)求点B的坐标；
(2)求过点B与AC所在边平行的直线方程．
19.如图所示，在棱长为2的正方体OABC−O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF=x，其中0≤x≤2，以O为原点建立空间直角坐标系O−xyz．
(1)求证：A1F⊥C1E；
(2)若x=1，求cs〈EF,EA〉的值．
20.已知圆E经过点A(0,0)，B(2,2)，且与y轴相切．
(1)求圆E的方程；
(2)求过点P(4,3)的圆E的切线方程．
21.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为2．
(1)若双曲线C的渐近线方程为y=±2x，求双曲线方程；
(2)设F1、F2是C的两个焦点，P为C上一点，且PF1⋅PF2=0，△PF1F2的面积为9求C的标准方程．
22.如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)两焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)且经过点A(0,−1)．
(1)求椭圆E的离心率e与椭圆方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，求证：直线AP与AQ的斜率之和为定值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：倾斜角为45°的直线斜率为1，直线经过点P(1,−2)，
所以直线方程为y−(−2)=x−1，即x−y−3=0．
故选：D．
由直线倾斜角得到斜率，点斜式求直线方程．
本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：在空间直角坐标系中，点(1,−2,3)关于y轴对称的点坐标为(−1,−2,−3)．
故选：B．
根据空间中关于坐标轴对称的点的坐标特征可直接得到结果．
本题考查了空间中关于坐标轴对称的点的坐标特征，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：设双曲线的标准方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，
则该双曲线的渐近线方程为y=±abx，
因为双曲线的离心率为e=ca= 2，
则c= 2a，则b= c2−a2= 2a2−a2=a，
因此，该双曲线的渐近线方程为y=±abx=±x．
故选：A．
由离心率可得出a、b的等量关系，由此可得出该双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：若l1//l2，则m(m+3)=2×5，且−5m≠−5，
解得m=2或m=−5．
故选：C．
根据两直线平行的性质，解方程 m(m+3)−2×5=0，再检验即得解．
本题考查平行线的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】CD
【解析】解：∵直线l的一个方向向量为u=(1,− 3)，
∴直线l的斜率为k=− 3，
又∵直线l经过点(1,−2)，
∴直线l的方程为y+2=− 3(x−1)，即 3x+y+2− 3=0
A，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ=− 3，
∵0°≤θb>0)的两个焦点，
若F1，F2，P(0,2b)是等边三角形的三个顶点，
∴|PO||F1O|=tan60°，
∴2bc= 3，
∴4b2=3c2，
∴4(a2−c2)=3c2，
∴7c2=4a2，
∴c2a2=47，
∴e=2 77．
故选：B．
利用已知条件，推出a、c关系，即可得到离心率．
本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．
7.【答案】C
【解析】解：设AP的中点为(x,y)，
因为A(0,2)，则P(2x,2y−2)，
因为点P在曲线2x2−y=0上，
所以将P(2x,2y−2)代入曲线2x2−y=0，
则2⋅(2x)2−(2y−2)=0，即y=4x2+1，
所以AP的中点的轨迹方程是y=4x2+1．
故选：C．
设AP的中点为(x,y)，根据中点坐标公式可得P(2x,2y−2)，进而将P点的坐标代入曲线方程即可求解．
本题考查直接法求动点轨迹方程，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：直线y−2=k(x−4)过定点(4,2)，
曲线方程x= 4−y2变形得x2+y2=4(x≥0)，
即曲线为以原点O(0,0)为圆心，2为半径的右半圆弧，
过点A与曲线相切的直线有两条，
设切线斜率为k1，则可设方程为y−2=k1(x−4)，
即k1x−y+2−4k1=0，
由直线与圆相切，则圆心O(0,0)到直线的距离d=|2−4k1| k12+1=2，
解得k1=0或k1=43，
由图可知，要使直线与曲线恰有交点，
由题意，直线y−2=k(x−4)斜率为k，则0≤k≤43．
故选：B．
由直线过定点，曲线为半圆弧，数形结合求解直线斜率的范围即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：由题意，直线l1：y=−x+1，l2：y=x+1，
两直线斜率分别为k1=−1，k2=1，k1≠k2，
故两直线相交，选项A错误，B正确；
联立x+y−1=0x−y+1=0，解得x=0y=1，
故两直线交点为(0,1)，
由02+12=1，得交点在圆x2+y2=1上．故C正确，D错误．
故选：BC．
由两直线斜率判断A，B的真假，解出两直线的交点判断C，D的真假．
本题考查直线平行的性质的应用及两条直线交点的求法，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A选项，将两圆方程作差可得4x−4y+4−0，即x−y+1=0，
所以公共弦AB所在直线的方程为x−y+1=0，A对；
对于B选项，圆C1的圆心为C1(0,0)，半径为r1=2，C2的标准方程为(x−2)2+(y+2)2=16，圆心为C2(2,−2}，半径为r2=4，
两圆圆心距|C1C2|= (2−0)2+(−2−0)2=2 2，B对；
对于C选项，连接AC1，AC2，BC1，BC2，
因为|AC1|=|RC1|，|AC2|=|BC2|，
所以线段AB的垂直平分线即为两圆的连心线所在的直线方程，
又过点(0,0)，(2,−2)的直线方程为y=−x，即x+y=0，C对；
对于D选项，圆心C1到直线AB的距离为d=1 2= 22，
所以|AB|=2 4−12= 14，D错误．
故选：ABC．
将两圆方程作差可得相交弦AB所在直线的方程，可判断A选项：求出两圆圆心距，可判断B选项；利用圆的性质可判断C选项：利用勾股定理求出|AB1|，从而可判断D选项．
本题主要考查了两圆位置关系的应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：当α=90° 时，cs90°=0，方程x2=1，
得x=±1表示与y轴平行的两条直线，故A正确；
当α=0°时，cs0°=1，
方程x2+y2=1表示圆心在原点的单位圆，故B正确；
当90°>α>0° 时，1>csα>0，
方程x2+y2csα=1表示中心在原点，
焦点在y轴上的椭圆，故C错误；
当180°>α>90° 时，csα0，则焦点在x轴上，
由椭圆x24+y2a2=1与双曲线x2a−y22=1有相同的焦点，
则椭圆焦点也在x轴上，且焦距相同，设它们的半焦距为c，
故c2=4−a2=a+2，解得a=−2(舍)，或a=1，
故双曲线方程为x2−y22=1．
故答案为：x2−y22=1．
由椭圆与双曲线有相同的焦点，判断焦点位置再由焦距相同建立关于a的方程求解即可．
本题主要考查椭圆和双曲线的简单性质，考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】(0,1,−1)
【解析】解：因为A(2,1,3)，B(2,−2,6)，C(3,6,6)，
所以AC=(1,5,3)，AB=(0,−3,3)，
则|AB|= 02+(−3)2+32=3 2，AC⋅AB=1×0+5×(−3)+3×3=−6，
所以AC⋅AB|AB|=−63 2=− 2，
则AC在AB上的投影向量为AC⋅AB|AB|⋅AB|AB|=−13(0,−3,3)=(0,1,−1)．
故答案为：(0,1,−1)．
根据空间投影向量的定义求解即可．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
17.【答案】解：(1)根据抛物线C：y2=2px(p>0)过点P(2,4)，
可得16=4p，解得p=4．
从而抛物线C的方程为y2=8x，准线方程为x=−2；
(2)设弦的两端点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y12=8x1,①y22=8x2,②，
由②−①得，(y2+y1)(y2−y1)=8(x2−x1)，
∴y2−y1x2−x1=8y2+y1．
又∵y1+y2=−2，
∴kAB=y2−y1x2−x1=8y2+y1=8−2=−4．
∴弦所在直线的方程为y+1=−4(x−1)，即4x+y−3=0．
【解析】(1)根据抛物线C：y2=2px(p>0)过点P(2,4)，求出P，进而求解结论．
(2)先设出弦的两端点的坐标然后代入到抛物线方程后两式相减，可求得直线方程的斜率，最后根据直线的点斜式可求得方程．
本题主要考查直线和抛物线的综合问题，考查综合运用能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设B点坐标为(x,y)，根据题意可得kACkBC=−1,|BC|=|AC|,
即3−43−0⋅y−3x−3=−1, (x−3)2+(y−3)2= (0−3)2+(4−3)2,
解得x=2y=0或x=4y=6，
所以B(2,0)或B(4,6)；
(2)由题知kAC=4−30−3=−13；
当B(2,0)时，直线为：y=−13(x−2)，即x+3y−2=0．
当B(4,6)时，直线为：y−6=−13(x−4)，即x+3y−22=0．
故所求直线为x+3y−2=0或x+3y−22=0．
【解析】(1)由题意得点B满足AC⊥BC，|AC|=|BC|，设点B坐标，根据斜率关系与两点间距离公式列方程组求解即可；
(2)由点斜式方程可得所求的直线的方程．
本题考查直线垂直的性质的应用，属于基础题．
19.【答案】证明：(1)以O为原点，以AO，OC，OO1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

A1(2,0,2)，F(2−x,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,x,0)，
则A1F=(−x,2,−2)，C1E=(2,x−2,−2)，
∴A1F⋅C1E=−2x+2(x−2)+4=0，
∴A1F⊥C1E，即A1F⊥C1E.
(2)解：当x=1时，E(2,1,0)，F(1,2,0)，A1(2,0,2)，
则EF=(−1,1,0)，EA1=(0,−1,2)，
故cs〈EF,EA1〉=EF⋅EA1|EF||EA1|=−1×0+1×(−1)+0 2× 5=− 1010．
【解析】(1)先建立空间直角坐标系，再结合向量垂直的性质，即可求解；
(2)结合向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查空间向量的夹角公式，属于基础题．
20.【答案】解：(1)设圆E的方程为：(x−a)2+(y−b)2=r2，
结合题意可得|a|=ra2+b2=r2(2−a)2+(2−b)2=r2，解得a=2b=0r=2，所以圆E的方程为(x−2)2+y2=4；
(2)因为(4−2)2+32=13>4，所以点P在圆E外，
①若过点P(4,3)的直线斜率不存在，直线方程为x=4，
圆心E(2,0)到直线x=4的距离为2，等于圆的半径，符合题意；
②若过点P(4,3)的直线斜率存在，则设切线方程为y−3=k(x−4)，即kx−y−4k+3=0，
结合圆E的方程为(x−2)2+y2=4，圆心E(2,0)，半径r=2，
可知圆心到切线的距离d=|2k−4k+3| k2+1=|−2k+3| k2+1=2，解得k=512，此时的切线方程为5x−12y+16=0．
综上所述，过点P(4,3)的圆E的切线方程为x=4或5x−12y+16=0．
【解析】(1)设出圆的标准方程，根据已知条件列出方程组，解之可得答案；
(2)按照切线的斜率存在和不存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离等于半径建立关于k的方程，解之可得圆E的切线方程．
本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
21.【答案】解：(1)因为双曲线C的实轴长为2，
∴2a=2，∴a=1，又双曲线一条渐近线方程为y=2x，
即ba=2，∴b=2，则双曲线方程为：x2−y24=1．
(2)双曲线定义可得：||PF1|−|PF2||=2a=2，
∵PF1⋅PF2=0，∴PF1⊥PF2，∵△PF1F2的面积为9，
∴|PF1||PF2|=18，且|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，
∴4c2=|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|−|PF2|)2+2|PF1||PF2|=40，
∴c2=10，∴b2=10−1=9，∴b=3，
故双曲线C的标准方程为：x2−y29=1．
【解析】(1)利用双曲线方程的性质即可；(2)利用双曲线的定义，直角三角形的性质可得方程．
本题考查双曲线的定义，双曲线的方程，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为椭圆E的两焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)且经过点A(0,−1)，
所以c=1，b=1，
又a2=b2+c2，
解得a= 2，
则椭圆E的离心率e=ca= 22，椭圆的方程为x22+y2=1；
(2)易知直线PQ的方程为y=k(x−1)+1(k≠0且k≠2)，
联立y=k(x−1)+1x22+y2=1，消去y并整理得(1+2k2)x2−4k(k−1)x+2k(k−2)=0，
此时Δ>0，
不妨设P(x1y1)，Q(x2y2)，x1x2≠0．
由韦达定理得x1+x2=4k(k−1)1+2k2，x1x2=2k(k−2)1+2k2，
则直线AP与AQ的斜率之和kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2−kx1+kx2+2−kx2
=2k+(2−k)(1x1+1x2)=2k+(2−k)x1+x2x1x2=2k+(2−k)4k(k−1)2k(k−2)=2k−(2k−2)=2．
故直线AP与AQ的斜率之和为定值2．
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息、a，b，c之间的关系以及离心率公式再进行求解即可；
(2)设出直线PQ的方程和P，Q两点的坐标，将直线PQ的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及斜率公式再进行求证即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．