2024-2025学年广东省东莞市五校联考高二下学期5月期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省东莞市五校联考高二下学期5月期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图①、②、③、④分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为r1,r2,r3,r4，则r1,r2,r3,r4中最大的是( )
A. r1B. r2C. r3D. r4
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,2)，则D(2ξ+1)=( )
A. 4B. 5C. 7D. 8
3.为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在5家商场的售价x(元)及其一天的销售量y(件)进行调查，得到五对数据(xi,yi) (i=1,2,3,4,5)，经过分析、计算，得x=10，y=8，y关于x的经验回归方程为y=−3x+a，则相应于点(9,10)的残差为( )
A. −1B. 1C. −3D. 3
4.一个三位自然数abc的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b且c>b时称为“凹数”；若a,b,c∈{0,2,3,4,5}，且a，b，c互不相同，则“凹数”的个数为( )．
A. 20B. 36C. 24D. 30
5.在(2x−1x2)n展开式中存在常数项，则正整数n可以是
A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020
6.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)=( )
A. 38B. 1340C. 1345D. 34
7.设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为13与23，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为( )
A. 427B. 827C. 1027D. 2027
8.已知点P在曲线y=2x2−lnx上，点Q在y=3x−4直线上，则|PQ|的最小值为( )
A. d=3 1010B. d=3 1313C. d= 1010D. d= 1313
9.在经济学中，将产品销量为x件时的总收益称为收益函数，记为Rx，相应地把导函数R′x称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数R′(x)=1000−x (注：经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论：
①当销量为1000件时，总收益最大；
②若销量为800件时，总收益为T，则当销量增加400件时，总收益仍为T；
③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500．
其中正确结论的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
10.小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为p(03)=56，则P(30)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有三个零点，求m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球．
(1)求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差；
(2)求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望．
17.(本小题15分)
已知函数fx=lnx+ax−a．
(1)当a=12时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)若函数fx有极小值，且fx的极小值小于1−a2，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表．
(1)若把年龄在20,40的锻炼者称为青年，年龄在40,60的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值α=0.01的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在30,40与50,60的人数分别为X,Y,ξ=|X−Y|，求ξ的分布列与期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为13,12,23，求小明星期天选择跑步的概率．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d．
附：
19.(本小题17分)
信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X的所有可能取值为1，2，…，nn∈N∗，且PX=i=pi>0i=1,2,⋯,n，i=1npi=1，定义X的信息熵HX=−i=1npilg2pi．
(1)证明：当且仅当n=1时，HX=0；
(2)若n=3，且pk+1−pk=p1k=1,2，比较HX与1的大小；
(3)重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且抛20次后即使没有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为X，求HX．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.A
5.C
6.B
7.C
8.A
9.D
10.B
11.AC
12.23
13.1
14.8 39/89 3
15.(1)函数f(x)=x3−3mx+m2(m>0)的定义域为R，
且f′(x)=3x2−3m=3x− mx+ m
令f′(x)>0，解得x> m或x< − m，则函数f(x)在(−∞,− m),( m,+∞)上单调递增；
令f′(x)1．
(3)由题意知，X=ii=1,2,⋯,19表示前i−1次都正面朝上，第i次反面朝上，X=20表示前19次都正面朝上，
则p1=PX=1=12，p2=PX=2=12×12=122，p3=PX=3=122×12=123，…，
p19=PX=19=1218×12=1219，p20=PX=20=1219．
所以−pilg2pi=12ilg22i=i2i1≤i≤19，−p20lg2p20=19219．
所以HX=12+222+323+⋯+18218+19219+19219．
设S=12+222+323+⋯+18218+19219，则12S=122+223+324+⋯+18219+19220，
两式相减得12S=12+122+123+⋯+1219−19220=1−1219−19220=1−21220，
所以S=2−21219，
故HX=S+19219=2−21219+19219=2−1218．
年龄
次数
20,30
30,40
40,50
50,60
每周0～2次
70
55
36
59
每周3～4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125
Y
0
1
2
P
715
715
115
x
0,a
a
a,+∞
f′x
−
0
+
fx
递减
极小值
递增
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
125
95
220
体育锻炼频率高
75
105
180
合计
200
200
400
ξ
0
1
2
P
2056
3156
556