浙教版（2024）八年级下册一元二次方程练习题

这是一份浙教版（2024）八年级下册一元二次方程练习题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是( )
A．y2﹣2y+1=0B．y2+2y+1=0C．y2+y+2=0D．y2+y﹣2=0
2．已知实数x，y满足且，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
3．已知实数x满足，则的值为（ ）
A．6B．C．或6D．1或
4．方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ）
A．B．C．D．
5．若关于x的一元二次方程有一根为2020，则方程必有根为（ ）
A．2021B．2020C．2019D．2015
6．已知方程x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0的解是（ ）
A．x1=﹣1，x2=﹣3.5B．x1=1，x2=﹣3.5
C．x1=1，x2=3.5D．x1=﹣1，x2=3.5
7．关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A．B．
C．D．
8．若，则的值为（ ）．
A．B．C．D．或
9．若x为实数，且x2＋＋3(x＋)＝2，则x＋的值为( )
A．－4B．4C．－4或1D．4或－1
10．如图，正方形内接于．已知和的面积分别是，和，，那么正方形的边长是（ ）
A．1B．C．D．2
二、填空题
11．已知，且．则的值是_________．
12．已知，则的值是___________．
13．已知实数满足方程，则____________．
14．若，则__________．
15．方程的解是_____．
16．解方程：，利用整体思想和换元法可设，则原方程可化为：___________ ；再求出原方程的解为___________；
17．设a,b是一个直角三角形两直角边的长,且(a2+b2-3)(a2+b2+1)=0,则这个直角三角形的斜边长为____.
18．已知和2是关于x的一元二次方程的两根，则关于x的方程的根为_______．
三、解答题
19．解方程：x2+2x﹣=1．
20．解方程：
21．阅读例题，解答问题：
例：解方程．
解：原方程化为．
令，原方程化成
解得，（不合题意，舍去）．
．．
∴原方程的解是，
请模仿上面的方法解方程：．
22．已知实数x满足，求的值．
23．＋－2－1＝0
24．【阅读】小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程（a、b、m为常数，）的解是，，求方程的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法．
解：在方程中令，则方程可变形为，
根据关于x的方程的解是，，
可得方程的解是，．
把代入得，，把代入得，，
所以方程的解是，．
【理解】
已知关于x的一元二次方程有两个实数根m，n．
关于x的方程的两根分别是______（用含有m、n的代数式表示）；
方程______的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）
【猜想与证明】
双察下表中每个方程的解的特点：
猜想：方程的两个根与方程______的两个根互为倒数；
仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．
参考答案
1．A
【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．
解：把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．
故选：A．
【点拨】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
2．A
【分析】由可得，进而可得，解得或，然后再对进行变形即可解答．
解：∵，得，
即．
∴或．
即或．
∴，所以，．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了分式的化简求值、立方根、解一元二次方程等知识点，解题的关键是灵活应用相关定义和运算法则以及整体法来求解．
3．A
【分析】设x2+x＝t，则原方程化为t2﹣5t﹣6＝0，利用因式分解法解得t1＝6，t2＝﹣1，所以x2+x＝6或x2+x＝﹣1，然后利用x2+x≥－确定x2+x的值即可．
解：设x2+x＝t，
原方程化为t2﹣5t﹣6＝0，
∴(t﹣6) (t+1) ＝0，
解得t1＝6，t2＝﹣1，
即x2+x＝6或x2+x＝﹣1，
∵x2+x＝x2+x+－
＝(x+) 2－≥－，
∴x2+x＝﹣1不符合题意，舍去，
∴x2+x＝6，
故选：A．
【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的，也考查了配方法的应用．
4．B
【分析】结合已知方程的解，利用换元法解一元二次方程即可得．
解：，
令，则方程可转化为，
由题意得：，
即，
解得，
故选：B．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．
5．C
【分析】设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，x=2019．
解：由得到，
对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于x的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程有一根为．
故选：C．
【点拨】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．
6．A
【分析】利用换元法解方程即可．
解：∵x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，
（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0，
∴2x+3=1或2x+3=-4，
∴x1=-1，x2=-3.5，
故选：A．
【点拨】本题考查了用换元法解一元二次方程，体现了转化思想的运用．
7．C
【分析】根据关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a≠0），可知或，进一步求解即可．
解：∵关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a≠0），
在方程中，
或，
解得，
故选：C．
【点拨】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出两方程之间的关系是解题的关键．
8．C
【分析】将，则，，这样将高次幂全部降次降到1次幂截止，然后再求值即可.
解：∵，∴
∴
∴原式=
故答案为：C
【点拨】本题借助一元二次方程考查了降次思想及整体思想，本题的关键是将高次幂通过降次全部降到一次幂截止，然后再合并同类项即可求解.
9．A
解：由题意得x2＋＋3(x＋) -2=0,
所以(x＋) 2+3(x＋) -4=0，
(x＋) [ (x＋) -1]=0，
所以x＋x＋（舍）
故选A.
10．D
【分析】先设正方形的边长为，求得的高，然后分别求出，利用三角形的面积即可求得正方形的边长．
解：设正方形的边长为，
则的面积为：，
的高为正方形的边长加上的高，即，
底为：，由和得， ， ，
则底为：，
所以，
解得（舍去），
经检验：是原方程的解.
故选：D
【点拨】本题考查了正方形的性质，一元二次方程的应用，掌握正方形的性质是解题的关键．
11．4或-1
【分析】将已知等式两边同除以进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得．
解：
将两边同除以得：
令
则
因式分解得：
解得或
即的值是4或
故答案为：4或．
【点拨】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键．
12．7
【分析】换元法，令，将原方程化为t（t－1）＝42（t）， 求解一次方程即可．
解：令（t），
∴原方程化为t（t－1）＝42，
解得t＝7，或t＝－6（舍），
∴，
故答案为：7．
【点拨】本题考查用换元法求解方程．解题关键是要注意换元之后一定要考虑新未知数的取值范围，换元法的实际应用，是解题关键．
13．
【分析】设，将原式整理为含的方程即可得出答案
解：设，
则原方程为：，
则：，
解得：，
当时，无实数解，故舍去，
经检验是的解，
故答案为：．
【点拨】本题考查了换元法解方程，解一元二次方程，熟练掌握解方程的一般步骤是解本题的关键．
14．4
【分析】先设，原方程可化为，解此一元二次方程，再验根即可．
解：设，原方程可化为，
化为一般式得：，
解得：t=4或t=-2，
∵，
∴t=4，
∴4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是熟练掌握用换元法解方程．
15．
【分析】设（t≥0），然后变形可得，然后代入到原方程中可得到关于t的一元二次方程，求出t的值，再代回即可求出x的值．
解：设（t≥0）
变形，得①
∴原方程变形为，即
整理，得
解得：（不符合t的取值，故舍去）
将t=1代入①中，得

解得：
故答案为：．
【点拨】此题考查的是解一元二次方程，掌握换元法是解决此题的关键．
16． ，，，
【分析】设，则原方程可化为，求出的值，再求出的值即可．
解：，
设，
则原方程可化为，
，
解得：或1，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：，
即原方程的解为：，，，，
故答案为：；，，，．
【点拨】本题考查了用换元法解方程和解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．
17．
【分析】设a2+b2=x，原方程化为（x-3）（x+1）=0，解方程求得x的值，再由勾股定理即可解答..
解：设a2+b2=x，原方程化为（x-3）（x+1）=0，解得（不合题意，舍去），所以a2+b2=3，由勾股定理可得这个直角三角形的斜边长为.
故答案为.
【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程及勾股定理，把a2+b2当成一个整体，把原方程转化为一元二次方程是解本题的关键．
18．，，
【分析】设，将方程化为，利用和2是方程的两根，得到，，分别计算即可得到方程的根．
解：设，则方程化为，
由题意可知：，，
，
，，
方程的根为，，
故答案为：，．
【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练运用整体换元法是解题关键．
19．x1=﹣3，x2=1．
【分析】设x2+2x=y，则原方程化为y﹣=1，求出y的值，再代入求出x即可．
解：设x2+2x=y，则原方程化为：y﹣=1，

解得：y1=3，y2=﹣2，
当y=3时，x2+2x=3，
解得：x1=﹣3，x2=1；
当y=﹣2时，x2+2x=﹣2，
此时△=-4＜0，方程无解
所以原方程的解为：x1=﹣3，x2=1．
【点拨】此题考查了解分式方程的应用，正确使用能正确换元是解此题的关键．
20．．
【分析】令，先解方程求出的值，从而可得的值，再转化为一元二次方程，解一元二次方程即可得．
解：可化为，
令，则，且，
，
，
，（舍去），
经检验，是方程的解，
则，即，
，
，
，
经检验，都是原方程的解，
故原方程的解为．
【点拨】本题考查了解无理方程、解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握各方程的解法是解题关键．
21．，
【分析】根据题意利用换元法解一元二次方程，然后解绝对值方程即可．
解：原方程化为．
令，原方程化成．
解得，（不合题意，舍去）．
，
．
∴原方程的解是，．
【点拨】本题主要考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程，解题的关键在于能够准确根据题意使用换元法解方程．
22．或．
【分析】根据完全平方公式利用对方程进行变形，得到，把看成整体，再解方程即可．
解：，
原方程可变形为．
设，则原方程可变形为，
解得．
或．
【点拨】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，利用完全平方公式对方程进行变形，把x+当成一个整体是解题关键．
23．＝，＝．
【分析】利用公式变形，＋=，变形后，采用换元法求解即可．
解：∵＋－2－1＝0，
∴－2－1＝0，
∴设x＋＝y，
则原方程变形为－2y－3＝0.
∴＝3，＝－1.
当y＝3时，x＋＝3，
整理，得－3x+1=0，
解得＝，＝．
当y＝－1时，x＋＝－1，
整理，得+x+1=0，
△=，
∴方程无实数解．
经检验，＝，＝都是原方程的根，
∴原方程的根为＝，＝．
【点拨】本题考查了换元法解分式方程，完全平方公式的变式，熟练进行公式变形，灵活选择换元法求解是解题的关键．
24．(1) m2，n2(2) ax2+2bx+4c=0(3) cx2+bx+a=0(4) 见分析
【分析】[理解]（1）令，根据题意可得或，即可求解方程；
（2）由题意可知，，由于方程的两个根分别是，，则，，即可写出符合条件的方程；
[猜想与证明]（1）由表格可得：的两个根与方程，，的两个根互为倒数；
（2）先将变形为，设，方程可变形为，设方程的解是，，则可得方程的解为，，把代入得，；把代入得，，即可证明．
（1）解：[理解]（1）令，
方程可化为，
有两个实数根，，
或，
或，
或，
故答案为：，；
（2）方程有两个实数根，，
或，
，，
方程的两个根分别是，，
，，
方程的两个根为，，
故答案为：；
（3）[猜想与证明]由表格可得：的两个根与方程，，的两个根互为倒数，
故答案为：；
（4）证明：由两边同除以，得，
设，方程可变形为，
设方程的解是，，
可得方程的解是，，
把代入得，；把代入得，，
所以方程的解是，，
即方程的两个根与方程的两个根互为倒数．
【点拨】本题考查无理方程的解，理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活运用换元法解方程是解题的关键．方程
方程的解
方程
方程的解
，
，
，
，
，
，
……
……
……
……