初中数学浙教版（2024）八年级下册一元二次方程同步测试题

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级下册一元二次方程同步测试题，共15页。
1. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．
【要点梳理】
用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
特别说明：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；
（4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。
【典型例题】
类型一、解一元二次方程➽➼因式分解法➽➼运算
1． 用因式分解法解下列方程：
(1) ； (2) ； (3) ．
【答案】(1) (2) ，(3)
【分析】（1）先移项，再把括号展开进行因式分解，即可求解；
（2）先移项，再提取公因式进行因式分解，即可求解；
（3）先移项，再用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
（1）解：，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
或，
，．
（3）解：，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
举一反三：
【变式1】 用因式分解法解下列方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程；
（2）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解．
（1）解：，
，
即，
∴，
解得：；
（2）解：，
即，
，
解得：．
【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
【变式2】 解下列一元二次方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）根据平方差公式因式分解，即可求解．
解：（1）解：，
，
即，
∴，
解得；
（2）解：，
即，
∴，
∴，
即，
解得．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
类型二、解一元二次方程➽➼因式分解法应用
2．由多项式乘法：，将该式从右到左进行运算，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．如：分解因式：．
（1）分解因式：
（2）请用上述方法解方程：
【答案】（1）2，4（或4，2）；（2），
【分析】（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案；
（2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解．
解：（1）
故答案为：2，4（或4，2）；
（2）∵，
或，
解得：，．
【点拨】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”进行因式分解，是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①；②
（2）已知关于的方程(是常数) 是“邻根方程”，求的值．
【答案】（1）①不是“邻根方程”；②是“邻根方程”；（2）0或−2．
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m的方程，注意有两种情况，故可求解．
解：（1）①
解方程得：（x-3）（x+2）＝0，
∴x1＝3，x2＝-2，
∵3≠−2＋1，
∴不是“邻根方程”；
②
x＝=，
∴x1＝，x2＝，
∵-=1，
∴是“邻根方程”；
（2）
解方程得：（x−m）（x＋1）＝0，
∴x1＝m，x2＝−1，
∵方程（m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝−1＋1或m＝−1−1，
∴m＝0或−2．
【点拨】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
【变式2】 （2022秋·九年级单元测试）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果，已知A、B两区初始显示的分别是25和．如图．
如：第一次按键后，A，B两区分别显示
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果：
（2）从初始状态按4次后，得A，B两区代数式的和为1，求a的值．
【答案】（1）A区显示的结果为，B区显示的结果为-16-6a；
（2）a的值为2或1
【分析】（1）根据程序规则即可得到按键2次后A、B两区显示的结果；
（2）根据程序规则先得到按键4次后A、B两区显示的结果，再将两个结果加起来等于1得到关于a的一元二次方程，解方程即可求得a值．
解：（1）A区显示的结果为，
B区显示的结果为﹣16﹣3a﹣3a=﹣16﹣6a；
（2）按4次后A区显示的结果为，B区显示的结果为﹣16﹣12a，
则，
根据题意，得：，即，
解得，
a的值为2或1．
【点拨】本题考查了整式的加减、解一元二次方程，根据题意能正确得出结果，并会解一元二次方程是解答的关键．
类型三、解一元二次方程➽➼用适合的方法解一元二次方程
3．按要求解下列方程：
(1) ；（配方法）； (2) ；（因式分解法）
(3) ；（公式法）； (4) ．（因式分解法）
【答案】(1) ，(2)
(3) ，(4)
【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后利用公式法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程先即可．
（1）解：
∴，；
（2）解：
或x+4-5=0
∴；
（3）解：
a=1，b=-6，c=-8
∵，
∴，
∴，；
（4）解：
x-5=0或x+3=0
∴．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）
（2）x2+2 x﹣3=0（配方法）
（3）（x+1）（x-2）=4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）=0（因式分解法）
【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；（2）x1＝1，x2＝﹣3；（3）x1＝3，x2＝﹣2；（4）x1＝﹣1，x2＝2．
【分析】（1）直接利用开方法进行求解即可得到答案；
（2）直接利用配方法进行求解即可得到答案；
（3）直接利用公式法进行求解即可得到答案；
（4）直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；
解：（1）∵
∴（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2）∵x2+2x＝3，
∴x2+2x+1＝4，
∴（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
∴x1＝1，x2＝﹣3；
（3）∵x2﹣x﹣6＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣6）＝25，
∴x＝，
∴x1＝3，x2＝﹣2；
（4）∵
∴（x+1）（2﹣x）＝0，
∴x+1＝0或2﹣x＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝2．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.
【变式2】 解方程：
(1) （公式法）；
(2) （因式分解法）．
【答案】(1) ，(2) ，
【分析】（1）整理成一般式后运用公式法即可得出方程的解；
（2）将（3x-4）看作整体因式分解后可得两个一元一次方程，解之可得．
解：（1）(2x+1) (x+2) =3
原方程整理，得．
．
∴．
所以，方程的解为，．
（2）
原方程变形为．
由，得．
由，得．
所以，方程的解为，
【点拨】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
类型三、解一元二次方程➽➼纠错★★可化为一元二次方和的分式方程★★拓展
4． 解方程：2x－6＝3x(x－3) ．
小明是这样解答的：
将方程左边分解因式，得2(x－3) ＝3x(x－3) ．……第一步
方程两边同时除以(x－3) ，得2＝3x.……第二步
解得x＝.……第三步
(1) 小明的解法从第________步开始出现错误；
(2) 写出正确的解答过程．
【答案】（1）二；（2）答案见分析．
【分析】首先判定小明的解法从第二步开始出现错误，再利用因式分解的方法与步骤求得方程的解即可．
解：（1）小明的解法从第二步开始出现错误；
（2）2x﹣6=3x（x﹣3）
2（x﹣3）=3x（x﹣3）
2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0
（x﹣3）（2﹣3x）=0
x﹣3=0，2﹣3x=0
x1=3，x2=．
【点拨】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键．
举一反三：
【变式1】 （2019春·八年级单元测试）解下列方程
（1） （2）
【答案】(1) x1=1;(2) x1＝－1，x2＝3，x3＝－2，x4＝4.
【分析】（1）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解；
（2）运用换元法求解即可.
解：（1）方程两边同乘以(x+2) (x-2) ，得
(x-2) +4x-2(x+2) =(x+2) (x-2) ，
即x2-3x+2=0，
∴x1=1，x2=2．
检验：x=1时，(x+2) (x-2) ≠0，知x=1是原方程的解；x=2时，(x+2) (x-2) =0，知x=2是原方程的增根. 故原方程的根是x=1．
（2）设x2－2x＝y，
则原方程变形为
（y＋2）（y＋1）＋25（y－2）（y＋1）＝24（y2－4）
整理后，得y2－11y＋24＝0.
解得 y1＝3，y2＝8.
①当y＝3时，x2－2x＝3,
解得 x1＝－1，x2＝3，
②当y＝8时，x2－2x＝8.
解得x3＝－2，x4＝4.
经检验：x1＝－1，x2＝3，x3＝－2，x4＝4都是原方程的解.
【点拨】此题主要考查了分式方程的解法，解题的关键是熟练掌握运用分式方程的解法.
【变式2】 根据要求，解答下列问题：
①方程的解为 ；
②方程的解为 ， ；
③方程的解为 ， ；
…
(1) 根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程的解为________；
②关于的方程________的解为，．
(2) 请用配方法解方程，以验证猜想结论的正确性．
【答案】(1) ①，②，；(2) 猜想正确，理由见分析
【分析】（1）①根据已知方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．
（2）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确．
(1) 解：根据已知方程特征及其解的特征，得到：
①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；
故答案为：x1=1，x2=8；
②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．
故答案为：x1=1，x2=n．
(2) 解：x2﹣9x=﹣8，
x2﹣9x+=﹣8+，
（x﹣）2=，
x﹣=±，
所以x1=1，x2=8；
所以猜想正确．
【点拨】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了因式分解法解一元二次方程．
类型三、解一元二次方程➽➼中考真题专练
5． （2021·浙江嘉兴·统考中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见分析
【分析】根据因式分解法解一元二次方程
解：
正确解答：
移项，得，
提取公因式，得，
去括号，得，
则或，
解得，．
【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
举一反三：
【变式1】 （2019·上海·中考真题）解分式方程：．
【答案】x＝－4.
【分析】首先去分母，化为整式方程，然后合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验求得的结果是否使原分式有意义，即可得到答案．
解：去分母得2x2－8＝x2－2x，
移项、整理得x2＋2x－8＝0，
解得：x1＝2，x2＝－4．
经检验：x＝2是增根，舍去；x＝－4是原方程的根．
∴原方程的根是x＝－4．
【点拨】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法；注意解分式方程要检验，避免产生增根．
【变式2】 （2020·四川广元·统考中考真题）先化简，再求值：，其中a是关于x的方程的根．
【答案】a2+2a+1；16
【分析】首先将括号里面通分，进而因式分解各项，化简求出即可．
解：
=a2+2a+1
∵a是关于x的方程的根，
∴a2-2a-3=0，
∴a=3或a=-1，
∵a2+a≠0，
∴a≠-1，
∴a=3，
∴原式=9+6+1=16.
【点拨】此题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程的解，正确化简分式是解题关键．小敏：两边同除以，得
，
则．
小霞：移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
小敏：两边同除以，得
，
则．
（×）
小霞：移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
（×）