初中数学浙教版（2024）八年级下册一元二次方程随堂练习题

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级下册一元二次方程随堂练习题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（ ）
A．12B．16C．﹣12或﹣16D．12或16
2．是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．B．
C．D．
3．用公式法解方程时，需要先判断是否为非负数，其中a，b，c分别是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
4．用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（ ）
A．B．C．D．
5．若关于x的方程x2－2(k+1)x+k2－1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A．k≥－1B．k＞－1C．k≤－1D．k＜-1
6．若关于x的方程有实数根，则的值为（ ）
A．－4B．2C．－4或2D．4或－2
7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．D．且
8．将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
9．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
10．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2，则它移动的距离AA′等于（ ）
A．cmB．cmC．cm或cmD． cm
二、填空题
11．方程中，的值为__________，根是___________．
12．利用解一元二次方程的方法，在实数范围内分解因式x2﹣2x﹣1=________．
13．方程的解为________．
14．若代数式有意义，则x的取值范围是 _____．
15．已知实数，则的值为__________．
16．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________．
17．若方程有两个相等的根，则方程的根分别是_________．
18．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完全平方数，则方程必有__．
三、解答题
19．用公式法解下列一元二次方程：
(1) ．(2) ．(3) ．
20．按要求解方程．
(1) ；（配方法）(2) ．（公式法）
21．解方程：
(1) ；(2) ．
22．已知为实数，关于的方程为．
(1) 试判断这个方程根的情况．
(2) 是否存在实数，使这个方程两个根为连续奇数？若存在，求出及方程的根；若不存在，请说明理由．
23．已知关于x的一元二次方程．
(1) 当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2) 当时，用合适的方法求此时该方程的解．
24．关于x的方程
(1) 求证：方程恒有两个不相等的实数根．
(2) 若此方程的一个根为1，求m的值：
(3) 求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长
参考答案
1．D
【分析】由△ABC为等腰三角形，BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，可得两种情况：①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0②AB＝AC，此时方程的判别式为0，分别求解即可．
解：∵△ABC为等腰三角形，
若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，
则①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0，
∴m＝12；
②AB＝AC，此时方程的判别式为0，
∴Δ＝64﹣4m＝0，
∴m＝16．
故m的值等于12或16．
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．C
【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．
解：A、的解为，不符合题意；
B、的解为，不符合题意；
C、的解为，符合题意；
D、的解为，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
3．D
【分析】利用一元二次方程的定义进行判断．
解：，
a=3，b=-2，c=3．
故选：D．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
4．A
【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根，由题意得，可求出．
解：方程有两根，
且．
求根公式得到方程的根为，两根互为相反数，
所以，即，
解得．
故选：A．
【点拨】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．
5．A
【分析】方程有实数根，则△≥0.
解：由题意可知：△≥0，
则△=b2-4ac=4(k+1)2-4(k2-1)=8k+8≥0，
解得k≥-1，
故选择A.
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系.
6．B
【分析】设，则原方程可化为，解得的值，即可得到的值．
解：设，则原方程可化为，
解得：，，
当时，，即，△，方程无解，
当时，，即，△，方程有实数根，
的值为2，
故选：．
【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，的关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想．
7．A
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程有实数根的条件可得且，求解即可获得答案．
解：根据题意，
可得且，
解得且．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式是解题关键．
8．C
【分析】据题意，可以将方程转化为一元二次方程，然后根据Δ的值，即可判断根的情况．
解：∵方程，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+3＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，
∴方程两个不相等的实数根，
故选：C．
【点拨】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况．
9．C
【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
故选：C
【点拨】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
10．D
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
解：设AC交A′B′于H，A'C'交CD于点G，
由平移的性质知AC∥A'C'，A'B'∥CD，
∴四边形A'HCG是平行四边形，
∵∠A＝45°，∠D＝90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形，
同理，△HCB′也是等腰直角三角形，
设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x，
∴x•（2﹣x）＝，
∴x＝（cm）．
即AA′＝（cm）．
故选：D．
【点拨】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形A'HCG是平行四边形是解题的关键.
11．
【分析】先根据一元二次方程的定义确认的值，从而可得的值，再利用公式法解方程即可得方程的根．
解：方程中，，
则，
由公式法得：，
则，
故答案为：9；．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义、利用公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题关键．
12．（x﹣1﹣）（x﹣1+）
解：试题分析：令x2－2x－1＝0，
解得：x＝1±，
则原式＝(x－1－)(x－1＋)．
故答案为(x－1－)(x－1＋)．
点睛：此题考查了实数范围内分解因式，令原式等于0求出一元二次方程的解是解决此题的关键．
13．
【分析】利用平方差公式进行去分母，再利用整式方程的解法进行求解即可，注意要检验；
解：
解：方程两边都乘（x-2）（x+2），得：x（x+2）+6（x-2）=0，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
检验：当时，（x+2）（x-2）≠0，
当时，（x+2）（x-2）≠0，
∴是原方程的解．
【点拨】本题主要考查解分式方程，解答的关键是注意符号的变化，并且最后要进行检验．
14．﹣3≤x≤且x≠．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0．
解：若代数式有意义，
必有，
解①得
解②移项得
两边平方得整理得
解得
③
∴解集为﹣3≤x≤且x≠．
故答案为：﹣3≤x≤且x≠．
【点拨】本题考查了二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式，（a≥0）是一个非负数．注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
15．3
【分析】设y＝x2＋x，则原方程转化为关于y的一元二次方程y2＋4y-12＝0，利用因式分解法解该方程，然后再解关于y的一元二次方程即可．
解：设，则，即．
解得或．
则的值为或，
当=-6时
△=1-24=-23＜0
=-6不成立
当=2时
△=1+8=9＞0
∴
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
16．4
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出△=0，即b2＝4a，将该式代入后进一步变形即可．
解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个相等的实数根，
∴a≠0且△＝0，即b2﹣4a＝0，即b2＝4a，
把b2＝4a代入得：
原式＝
=
＝4
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的实际运用，熟练掌握一元二次方程根的判别式，是解题关键．
17．，##，
【分析】根据根的判别式求得a＝﹣3，b＝0，把a＝﹣3，b＝0代入x2+ax+b＝0得：x2﹣3x＝0，解得x1＝0，x2＝3即可．
解：∵关于x的方程x2﹣（a﹣3）x﹣3a﹣b2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣3a﹣b2）＝＝（a+3）2+4b2＝0，
∴a＝﹣3，b＝0，
把a＝﹣3，b＝0代入x2+ax+b＝0
得：x2﹣3x＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
【点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，利用方程有两个相等的根求出a，b的值是解题的关键．
18．两个有理数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解答.
解：∵Δ=b2-4ac是一个完全平方数,
∴Δ≥0且Δ为有理数,,
∴方程有两个实数根,
又∵a，b，c是有理数,
∴方程必有两个有理数根.
故答案为: 两个有理数根.
【点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式，弄清题意的研究结果是解本题的关键．
19．(1) (2) (3)
【分析】（1）根据求根公式代入即可解得．
（2）根据求根公式代入即可解得．
（3）根据求根公式代入即可解得．
解：（1）
∴
∴
（2）
∴
（3）
∴
∴
【点拨】此题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是熟悉求根公式．
20．(1) ，(2) ，
【分析】（1）先移项，再在方程的两边都加上 再配方，解方程即可；
（2）先计算根的判别式，再利用公式法解方程即可．
（1）解：
可得：

配方得：
或
解得：
（2）解：
则


解得：
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与公式法解一元二次方程”是解本题的关键．
21．(1) ，(2) ，
【分析】（ 1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（ 2）整理后求出的值，再代入公式求出答案即可．
(1)，
，
，
，
或，
解得：，；
(2)，
，
，
这里，，，
，
，
解得：，．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
22．(1)见分析 (2)存在实数－8，－4，使原方程两个根为连续奇数，当，此时，；当，此时，．
【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝（k+6）2≥0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；
（2）先利用求根公式求出或．则由方程两个根为连续奇数，从而得到对应的k的值．
(1)解：原方程可化为，原方程是一元二次方程，
由
∵无论为何实数，总有．
∴原方程总有两个实数根．
(2)解：存在实数，使方程两个根为连续奇数．
由（1）知原方程的根为
，
即，或．
由，得，此时，；
由，得，此时，．
∴存在实数－8，－4，使原方程两个根为连续奇数，当，此时，；
，此时，．
【点拨】此题考查了根的判别式、求根公式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键．
23．(1) ，且(2) ，
【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根可知，＞0且，即可求解；
（2）将代入方程，可得，用公式法即可求解（方法不唯一）．
解：（1）解：由题意得:＞0，
即：，
，
解得：，
∵该方程为一元二次方程，
∴，
∴当，且时，方程有两个不相等的实数根；
（2）解：当m＝2时，方程为，
∵＝9＋4×2×2＝25＞0，
∴，
∴，．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程的解法．
24．(1) 答案见分析(2) 2(3) 4+
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；
（2）将x=1代入方程可确定m的值；
（3）由m的值可得一元二次方程，解方程得出方程的另一个解，可得直角三角形的两直角边，再由勾股定理求出得直角三角形的斜边，即可得答案．
解：（1）证明：x2−(m+2)x+(2m−1)=0，
∵a=1，b=−(m+2)，c=2m−1，
∴b2−4ac=[−(m+2)]2−4×1×(2m−1)=(m−2)2+4，
∵在实数范围内，m无论取何值，(m−2)2+4>0，
即b2−4ac＞0，
∴关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0恒有两个不相等的实数根；
（2）将x=1代入方程可得：
12−(m+2)+(2m−1)=0，
解得：m=2；
（3）∵m=2，
∴方程为x2−4x+3=0，
解得：x1=1或x2=3，
∴方程的另一个根为x=3；
∴直角三角形的两直角边是1、3，
∵，
∴斜边的长度为，
∴直角三角形的周长为1＋3＋=4＋．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，解一元二次方程，勾股定理，理解题意、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．