中考数学《重难点解读•专项训练》(全国通用)专题11二次函数中矩形存在性综合应用(专项训练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学《重难点解读•专项训练》(全国通用)专题11二次函数中矩形存在性综合应用(专项训练)(原卷版+解析)，共68页。
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．
【问题解决】
（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 （可省略单位），水池2面积的最大值是 m2；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 ，此时的x（m）值是 ；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 ；
（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；
（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．
5．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．
8．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
10．在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．
①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
12．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，点Q为平面内一点，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，请直接写出点P的坐标；
（3）点D是第四象限内抛物线上一动点，当∠BCD＝2∠ABC时，求点D的坐标．
13．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在抛物线上运动（不与点A，B，C重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点D在第一象限抛物线上运动时，过点D作DF⊥x轴，垂足为点F，直线DF与直线AC交于点E，若DE＝EA，求点D的坐标；
（3）如图2，直线BD交直线AC于点H，点G在坐标平面内，在抛物线上是否存在点D，使以点A，D，H，G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
14．抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）点P为抛物线上的动点，当△PAC是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）点M在y轴上，点Q为平面内任意一点，当以A，D，M，Q为顶点的四边形是矩形时，直接写出点Q的坐标．
15．如图1，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，m）（m＞0），点D（﹣1，m）在边BC上，将△ABD沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
（1）如图2，当m＝3时，抛物线过点A、E、C，求抛物线解析式；
（2）如图3，随着m的变化，点E正好落在y轴上，求∠BAD的余切值；
（3）若点E横坐标坐标为1，抛物线y＝ax2+2ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AB在x轴上，点A位于点B左侧，点E，F分别在边CD，AD上，BF⊥EF，EC＝EF，AB＝9，BC＝15．
（1）求证：△BEC≌△BEF；
（2）若点A坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx经过B，D两点，求抛物线的解析式；
（3）若点A坐标为（m，0）（m＞0），点G为平面内一点，以点O，B，F，G为顶点的四边形是菱形时，求点A的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．
（1）求b和c的值；
（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；
（3）H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标．
18．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝﹣a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如：y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝﹣a时，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”．
（1）函数y＝2|x|+1 对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0时，y＝2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，y＝2|x|+1的图象．
（2）函数y＝x2﹣2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝﹣x+n恰有3个交点时，求n的值．
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），当二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围．
19．综合与探究
如图，抛物线与y轴交于点A（0，8），与x轴交于点B（6，0），C，过点A作AD∥x轴与抛物线交于另一点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AB，点P为AB上一个动点，由点A以每秒1个单位长度的速度沿AB运动（不与点B重合），运动时间为t，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ与t的函数关系式；
（3）点M是y轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M，N，使得以B，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
专题11 二次函数中矩形存在性综合应用（专项训练）
1.已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为A（1，4），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+4，
又∵B（﹣1，0），
∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4（或y＝﹣x2+2x+3）；
（2）①∵点P在x轴正半轴上，
∴m＞0，
∴BP＝m+1，
由旋转可得：BD＝2BP，AC＝2AP，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴BD＝2（m+1），
过点A（1，4）作AE⊥x轴于点E，
∴BE＝2，AE＝4，
在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2＝22+42＝20，
当四边形ABCD为矩形时，AD⊥AB，
∴∠BAD＝∠BEA＝90°，
又∠ABE＝∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB2＝BE⋅BD，
∴4（m+1）＝20，
解得m＝4；
②由题可得点A（1，4）与点C关于点P（4，0）成中心对称，
∴C（7，﹣4），
∵点M在直线x＝4上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）当以BC为边时，平行四边形为BCMQ，点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（﹣4，y1）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y1＝﹣21，
∴Q（﹣4，﹣21），
2）当以BC为边时，平行四边形为BCQM，点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（12，y2）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y2＝﹣117，
∴Q（12，﹣117），
3）当以BC为对角线时，点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（2，y3）代入y＝﹣x2+2x+3，
得：y3＝3，
∴Q（2，3），
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为（﹣4，﹣21）或（2，3）或（12，﹣117）．
2．如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2+x+3；
（2）∵抛物线y＝x2+x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴h＝m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m2+m，
∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜6，
∴h＝m2+m（0＜m＜6）；
（3）如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，
∵P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴PE＝m2+m，
∵PF⊥CE，
∴∠EPF+∠PEF＝90°，
∵PD⊥x轴，
∴∠EBD+∠BED＝90°，
又∵∠PEF＝∠BED，
∴∠EPF＝∠EBD，
∵∠BOC＝∠PFE＝90°，
∴△BOC∽△PFE，
∴＝，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝3，
∴EF＝×PE＝（m2+m）＝（m2+m），
∵EH⊥y轴，PD⊥x轴，
∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴EH＝OD＝m，
∵EH∥x轴，
∴△CEH∽△CBO，
∴＝，即＝，
∴CE＝m，
∵CF＝EF，
∴EF＝CE＝m，
∴m＝（m2+m），
解得：m＝0或m＝1，
∵0＜m＜6，
∴m＝1；
（4）∵抛物线y＝x2+x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设Q（2，t），设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，
则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，
①当点O′恰好落在该矩形对角线OP所在的直线上时，如图，
则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OP，
∴∠COP+∠OCQ＝90°，
又∵四边形OCPD是矩形，
∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，
∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠COP，
∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，
∴＝tan∠PCQ＝，
∴＝，
解得：t＝，
∴Q（2，）；
②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCQ＝∠DCQ，
∵GH∥OC，
∴∠CQG＝∠OCQ，
∴∠DCQ＝∠CQG，
∴CK＝KQ，
∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH∥OC∥PD，
∴点K是CD的中点，
∴K（2，），
∴GK＝，
∴CK＝KQ＝﹣t，
在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，
∴22+（）2＝（﹣t）2，
解得：t1＝4（舍去），t2＝﹣1，
∴Q（2，﹣1）；
③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O′作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交CQ于点M，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，
∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，
∴△O′CK∽△DCO，
∴＝＝，即＝＝，
∴O′K＝，CK＝，
∴OK＝OC+CK＝3+＝，
∴O′（﹣，），
∵点M是OO′的中点，
∴M（﹣，），
设直线CQ的解析式为y＝k′x+b′，
则，
解得：，
∴直线CQ的解析式为y＝x+3，
当x＝2时，y＝×2+3＝4，
∴Q（2，4）；
综上所述，点Q的坐标为（2，）或（2，﹣1）或（2，4）．
3．如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0）和O（0，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）∵直线AB经过点A（4，0）和B（0，4），
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，
∵MN∥y轴，
设M（t，﹣t+4），N（t，﹣t2+4t），其中0≤t≤4，
当M在N点的上方时，
MN＝﹣t+4﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣5t+4＝2，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴M1（，），
当M在N点下方时，
MN＝﹣t2+4t﹣（﹣t+4）＝﹣t2+5t﹣4＝2，
解得：t1＝2，t2＝3，
∴M2（2，2），M3（3，1），
综上，满足条件的点M的坐标有三个（，）或（2，2）或（3，1）；
（3）存在，
①如图2，若AC是矩形的边，
设抛物线的对称轴与直线AB交于点R，且R（2，2），
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，
∵C（1，3），D（2，4），
∴CD＝＝，
同理得：CR＝，RD＝2，
∴CD2+CR2＝DR2，
∴∠RCD＝90°，
∴点P1与点D重合，
当CP1∥AQ1，CP1＝AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，
∵C（1，3）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P1（2，4），
∴A（4，0）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到Q1（5，1），
此时直线P1C的解析式为：y＝x+2，
∵直线P2A与P1C平行且过点A（4，0），
∴直线P2A的解析式为：y＝x﹣4，
∵点P2是直线y＝x﹣4与抛物线y＝﹣x2+4x的交点，
∴﹣x2+4x＝x﹣4，
解得：x1＝﹣1，x2＝4（舍），
∴P2（﹣1，﹣5），
当AC∥P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，
∵A（4，0）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到C（1，3），
∴P2（﹣1，﹣5）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到Q2（﹣4，﹣2）；
②如图3，若AC是矩形的对角线，
设P3（m，﹣m2+4m）
当∠AP3C＝90°时，过点P3作P3H⊥x轴于H，过点C作CK⊥P3H于K，
∴∠P3KC＝∠AHP3＝90°，∠P3CK＝∠AP3H，
∴△P3CK∽△AP3H，
∴＝，
∴＝，
∵点P不与点A，C重合，
∴m≠1或m≠4，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m＝，
∴如图4，满足条件的点P有两个，即P3（，），P4（，），
当P3C∥AQ3，P3C＝AQ3时，四边形AP3CQ3是矩形，
∵P3（，）向左平移个单位，向下平移个单位得到C（1，3），
∴A（4，0）向左平移个单位，向下平移个单位得到Q3（，），
当P4C∥AQ4，P4C＝AQ4时，四边形AP4CQ4是矩形，
∵P4（，）向右平移个单位，向上平移个单位得到C（1，3），
∴A（4，0）向右平移个单位，向上平移个单位得到Q4（，）；
综上，点Q的坐标为（5，1）或（﹣4，﹣2）或（，）或（，）．
4．【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．
【问题解决】
（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 3≤x＜6 （可省略单位），水池2面积的最大值是 9 m2；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 C，E ，此时的x（m）值是 1或4 ；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 0＜x＜1或4＜x＜6 ；
（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；
（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．
【解答】解：（1）∵y2＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，
又∵﹣1＜0，
∴抛物线的开口方向向下，当x≥3时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，
∵0＜x＜6，
∴当3≤x＜6时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，水池2面积的最大值是9m2．
故答案为：3≤x＜6；9；
（2）由图象可知：两函数图象相交于点C，E，此时两函数的函数值相等，即：
x+4＝﹣x2+6x，
解得：x＝1或4，
∴表示两个水池面积相等的点是：C，E，此时的x（m）值是：1或4．
故答案为：C，E；1或4；
（3）由图象知：图象中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
即当0＜x＜1或4＜x＜6时，水池1的面积大于水池2的面积，
故答案为：0＜x＜1或4＜x＜6；
（4）在抛物线上的CE段上任取一点F，过点F作FG∥y轴交线段CE于点G，
则线段FG表示两个水池面积差，
设F（m，﹣m2+6m），则G（m，m+4），
∴FG＝（﹣m2+6m）﹣（m+4）＝﹣m2+5m﹣4＝﹣+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，FG有最大值为．
∴在1＜x＜4范围内，两个水池面积差的最大值为，此时x的值为；
（5）∵水池3与水池2的面积相等，
∴y3＝y2，
即：x+b＝﹣x2+6x，
∴x2﹣5x+b＝0．
∵若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×b＝0，
解得：b＝．
∴若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，b的值为米．
5．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），
∴A（﹣1，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
将点B（3，0）代入得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC2＝12+32＝10，
AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，
CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，
①当AC＝AN时，AC2＝AN2，
∴10＝2t2﹣4t+10，
解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（2，1）；
②当AC＝CN时，AC2＝CN2，
∴10＝2t2，
解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（，3﹣）；
③当AN＝CN时，AN2＝CN2，
∴2t2﹣4t+10＝2t2，
解得t＝，
∴点N的坐标为（，）；
综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）；
（3）设E（1，a），F（m，n），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝3，
①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2，
∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，
解得：a＝，或a＝，
∴E（1，）或（1，），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，
∴m＝2，n＝或n＝，
∴点F的坐标为（2，）或（2，）；
②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，
∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，
解得：a＝4或a＝﹣2，
∴E（1，4）或（1，﹣2），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，
∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，
∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1），
综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：
解得：；
（2）由（1）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AB的解析式为：y＝2x+4，
设直线DE的解析式为：y＝mx，
∴2x+4＝mx，
∴x＝，
当x＝3时，y＝3m，
∴E（3，3m），
∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，
∴•3•（﹣3m）＝•4•，
∴9m2﹣18m﹣16＝0，
∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，
∴m1＝﹣，m2＝（舍），
∴直线DE的解析式为：y＝﹣x；
（3）存在，
B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：
设P（t，﹣t2+t+4），
①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，
∵四边形BPGF是矩形，
∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°，
∴∠CFG+∠BFO＝∠BFO+∠OBF＝∠CFG+∠CGF＝∠OBF+∠PBH＝90°，
∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF，
∵∠PHB＝∠FCG＝90°，
∴△PHB≌△FCG（AAS），
∴PH＝CF，
∴CF＝PH＝t，OF＝3﹣t，
∵∠PBH＝∠OFB，
∴＝，即＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝1，
∴F（2，0）；
②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，
同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t﹣3，
∵∠OFB＝∠FPM，
∴tan∠OFB＝tan∠FPM，
∴＝，即＝，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴F（，0）；
综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵A的坐标为（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝2OA，
∴OC＝2，
∴C的坐标为（0，2），
将点C代入抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0），
得＝2，即m＝4，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图，过P作PH∥y轴，交BC于H，
由（1）知，抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2，m＝4，
∴B、C坐标分别为B（4，0）、C（0，2），
设直线BC解析式为y＝kx+n，
则，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+2）（0＜m＜4），则H（m，﹣m+2），
∴PH＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）
＝﹣m2+2m
＝﹣（m2﹣4m）
＝﹣（m﹣2）2+2，
∵S△PBC＝S△CPH+S△BPH，
∴S△PBC＝PH•|xB﹣xC|
＝[﹣（m﹣2）2+2]×4
＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△PBC的面积最大，此时点P（2，3）；
（3）存在，理由如下：
∵直线y＝x+b与抛物线交于B（m，0），
∴直线BG的解析式为y＝x﹣m①，
∵抛物线的表达式为y＝﹣x2+•x+②，
联立①②解得，或，
∴G的坐标为（﹣2，﹣m﹣1），
∵抛物线y＝﹣x2+•x+的对称轴为直线x＝，
∴点F的横坐标为，
①若BG为边，
不妨设E在x轴上方，如图，过点E作EH⊥x轴于H，
设E的坐标为（t，﹣t2+•t+），
∵∠GBE＝90°，
∴∠OBG＝∠BEH，
∴tan∠OBG＝tan∠BEH＝＝，
∴＝，
解得：t＝3或m（舍），
∴E的坐标为（3，2m﹣6），
由平移性质，
得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标，
∵EF∥BG且EF＝BG，
∴E横坐标向左平移m+2个单位，
得：到F的横坐标为3﹣（m+2）＝﹣m+1，
∴＝﹣m+1，
解得m＝1，
∴E（3，﹣4），F（0，﹣），
这说明E不在x轴上方，而在x轴下方；
②若BG为对角线，
设BG的中点为M，
由中点坐标公式得，，
∴M的坐标为（，），
∵矩形对角线BG、EF互相平分，
∴M也是EF的中点，
∴E的横坐标为，
∴E的坐标为（，），
∵∠BEG＝90°，
∴EM＝，
∴＝，
整理得：16+（m2+4m+1）2＝20（m+2）2，
变形得：16+[（m+2）2﹣3]2＝20（m+2）2，
换元，令t＝（m+2）2，
得：t2﹣26t+25＝0，
解得：t＝1或25，
∴（m+2）2＝1或25，
∵m＞0，
∴m＝3，
即E的坐标为（0，），
F的坐标为（1，﹣4），
综上，即E的坐标为（0，），F的坐标为（1，﹣4）或E（3，﹣4），F（0，﹣）．
8．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 2 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
又∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A，B代入解析式得：
，
解得，
∴，自变量x为全体实数；
（2）由（1）得：C（0，），D（2，），
∴CD＝，
故答案为2；
（3）∵B（5，0），C（0，），
∴直线BC的解析式为：，
设E（x，），且0＜x＜5，
作EF∥y轴交BC于点F，
则F（x，），
∴EF＝﹣（）＝，
∴，
当x＝时，S△BCE有最大值为；
（4）设P（2，y），Q（m，n），
由（1）知B（5，0），C（0，），
若BC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：，
解得：，
又∵∠BPC＝90°，
∴PC2+PB2＝BC2，
即：，
解得y＝4或y＝﹣，
∴n＝或n＝4，
∴Q（3，）或Q（3，4），
若BP为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得，
又∵∠BCP＝90°，
BC2+CP2＝BP2，
即：，
解得y＝，
∴Q（7，4），
若BQ为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得：，
又∵∠BCQ＝90°，
∴BC2+CQ2＝BQ2，
即：，
解得n＝，
∴Q（﹣3，﹣），
综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．
10．在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．
①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，过点B作BH⊥OA，垂足为H，
由点A（4，0），得OA＝4，
∵BO＝BA，∠OBA＝90°，
∴OH＝BH＝OA＝＝2，
∴点B的坐标为（2，2）；
（Ⅱ）①由点E（﹣，0），
得OE＝，
由平移知，四边形O'C'D'E'是矩形，
得∠O'E'D'＝90°，O'E'＝OE＝，
∴OE'＝OO'﹣O'E'＝t﹣，∠FE'O＝90°，
∵BO＝BA，∠OBA＝90°，
∴∠BOA＝∠BAO＝45°，
∴∠OFE'＝90°﹣∠BOA＝45°，
∴∠FOE'＝∠OFE'，
∴FE'＝OE'＝t﹣，
∴S△FOE'＝OE'•FE'＝（t﹣）2，
∴S＝S△OAB﹣S△FOE'＝，
即S＝﹣t2+t﹣（4≤t＜）；
②a．当4＜t≤时，由①知S＝﹣t2+t﹣＝﹣（t﹣）2+4，
∴当t＝4时，S有最大值为，当t＝时，S有最小值为，
∴此时≤S＜；
b．当＜t≤4时，如图2，令O'C'与AB交于点M，D'E'与DB交于点N，
∴S＝S△OAB﹣S△OE'N﹣S△O'AM＝4﹣（t﹣）2﹣（4﹣t）2＝﹣t2+t﹣＝﹣（t﹣）2+，
此时，当t＝时，S有最大值为，当t＝4时，S有最小值为，
∴≤S≤；
c．当≤t≤时，如图3，令O'C'与AB交于点M，此时点D'位于第二象限，
∴S＝S△OAB﹣S△O'AM＝4﹣（4﹣t）2＝﹣t2+4t﹣4＝﹣（t﹣4）2+4，
此时，当t＝时，S有最小值为，当t＝时，S有最大值为，
∴≤S≤；
综上，S的取值范围为≤S≤；
∴S的取值范围为≤S≤．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 11 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
又∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A，B代入解析式得：
，
解得，
∴，自变量x为全体实数；
（2）由（1）得：C（0，3），D（2，），
∴CD＝＝，
故答案为；
（3）∵B（5，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为：y＝，
设E（x，﹣），且0＜x＜5，
作EF∥y轴交BC于点F，
则F（x，），
∴EF＝﹣﹣（）＝，
∴，
∴×EF＝5×[﹣]＝﹣x（x﹣3）
当x＝时，S△BCE有最大值为；
（4）设P（2，y），Q（m，n），
由（1）知B（5，0），C（0，3），
若BC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：，
解得：，
又∵∠BPC＝90°，
∴PC2+PB2＝BC2，
即：22+（3﹣y）2+32+y2＝52+32，
解得y＝4或y＝﹣，
∴n＝或n＝4，
∴Q（3，）或Q（3，4），
若BP为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得，
又∵∠BCP＝90°，
BC2+CP2＝BP2，
即：，
解得y＝，
∴Q（7，4），
若BQ为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得：，
又∵∠BCQ＝90°，
∴BC2+CQ2＝BQ2，
即：，
解得n＝，
∴Q（﹣3，﹣），
综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．
12．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，点Q为平面内一点，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，请直接写出点P的坐标；
（3）点D是第四象限内抛物线上一动点，当∠BCD＝2∠ABC时，求点D的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
当x＝0时，y＝﹣2，即点C（0，﹣2）；
（2）以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，如下图，分点P在BC上方和下方两种情况，
当点P在BC的上方时，设抛物线的对称轴交x轴于点H，
∵∠OBC+∠PBH＝90°，∠HPB+∠PBH＝90°，
∴∠OBC＝∠HPB，
∴∠OBC＝∠HPB＝，解得：PH＝5，
即点P（，5）；
当点P在BC的下方时，过点P作PH⊥y轴于点H，
同理可得：tan∠HCP＝tan∠OBC＝，
即，即，
解得：HC＝3，则OH＝5，
即点P（，﹣5）；
综上，点P的坐标为：（，5）或（，﹣5）；
（3）作点C关于x轴的对称点E（0，2），则∠CBE＝2∠ABC＝∠BCD，
∴BE∥CD，
设直线BE的表达式为：y＝kx+2，
将点B的坐标代入上式得：0＝4k+2，解得：k＝﹣；
∵BE∥CD，
故设直线CD的表达式为：y＝﹣x+t，
由点C的坐标知，t＝﹣2，
即直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣2，
联立y＝x2﹣x﹣2和y＝﹣x﹣2，并解得：x＝0（舍去）或2，
即点D（2，﹣3）．
13．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在抛物线上运动（不与点A，B，C重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点D在第一象限抛物线上运动时，过点D作DF⊥x轴，垂足为点F，直线DF与直线AC交于点E，若DE＝EA，求点D的坐标；
（3）如图2，直线BD交直线AC于点H，点G在坐标平面内，在抛物线上是否存在点D，使以点A，D，H，G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点点A（3，0）和B（﹣1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）得，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∵A（3，0），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；，
设点D（m，﹣m2+2m+3），
∴E（m，﹣m+3），
∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（3﹣m）＝﹣m2+3m，
∴EF＝﹣m+3，
∵A（3，0），C（0，3），
∴OA＝CO，
∴∠CAO＝45°，
∴AE＝EF÷sin45°＝（3﹣m），
∵DE＝AE，
∴﹣m+3m＝（3﹣m），
∴m＝，或m＝3（不合题意，舍去），
把m＝代入得y＝﹣（）2+2+3＝2，
∴点D坐标为（，2+1）；
（3）存在，设点D的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
当BD⊥AC，AD为对角线时，过点D作DF⊥x轴于点F，交AC于点E，如图，
根据（2）可知，∠CAO＝45°，
∴∠AEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DBH＝∠AEF＝45°，
∴∠DHE＝90°，
∴∠HDE＝45°，
∴∠DBF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DBF＝∠BDF，
∴DF＝BF，
即t﹣（﹣1）＝﹣t2+2t+3，
解得t＝2或t＝﹣1（舍去），
∴点D的坐标为（2，3）；
当AD⊥AC，AD为矩形的一条边时，过点D作DM⊥轴于点M，如图，
∵∠CAO＝45°，∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝45°，
∵∠DMA＝90°，
∴∠MDA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CMD＝∠MAD，
∴MD＝MA，
即﹣（﹣t2+2t+3）＝3﹣t，
解t＝﹣2或t＝3（舍去），
∴点D的坐标为（2，﹣5）；
当AD⊥DH，AD为条边时，过点D作DM⊥轴于点M，如图，
∵BDA＝∠DMB＝∠DMA＝90°，
∴∠BDM+∠ADM＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，
∴∠ADM＝∠DBM，
∴△BDM∽△DAM，
∴DM：AM＝BM：DM，即（﹣t2+2t+3）：（3﹣t）＝（t+1）：（﹣t2+2t+3），
解得t＝1+或t＝1﹣，
∴点D的坐标为（1+，1）或（1﹣，1）；
综上分析可知，点D的坐标为（2，3），（1﹣1），（1+，1），（﹣2，﹣5）．
14．抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）点P为抛物线上的动点，当△PAC是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）点M在y轴上，点Q为平面内任意一点，当以A，D，M，Q为顶点的四边形是矩形时，直接写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4）；
（2）设P（t，﹣t2+2t+3），
如图1，当∠ACP＝90°时，过点C作EF∥x轴，过点A作AE⊥EF交于E点，过点P作PF⊥EF交于F点，
∵∠FCP+∠ECA＝90°，∠ECA+∠EAC＝90°，
∴∠EAC＝∠FCP，
∴△CEA∽△PFC，
∴＝，
∵EC＝1，EA＝3，PF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，CF＝t，
∴＝，
∴t＝0（舍）或t＝，
∴P（，）；
如图2，当∠CAP＝90°时，过点A作GH∥y轴，过点C作CG⊥GH交于G点，过点P作PH⊥GH交于H点，
∵∠GAC+∠HAP＝90°，∠GAC+∠GCA＝90°，
∴∠HAP＝∠GCA，
∴△GAC∽△HPA，
∴＝，
∵GC＝1，GA＝3，AH＝t2﹣2t﹣3，PH＝t+1，
∴＝，
解得t＝﹣1（舍）或t＝，
∴P（，﹣）；
当∠APC＝90°时，在抛物线上不存在点P；
综上所述：P点坐标为（，）或（，﹣）；
（3）设M（0，m），Q（x，y），
①当以AD为矩形对角线时，AM⊥MD，
∴，
解得或，
∴Q（0，2+）或（0，2﹣）；
②当以AM为矩形对称轴轴时，AD⊥DM，
∴，
解得，
∴Q（﹣2，）；
③当以AQ为矩形对角线时，AM⊥AQ，
∴，
解得，
∴Q（2，）；
综上所述：Q点坐标为（0，2+）或（0，2﹣）或（﹣2，）或（2，）．
15．如图1，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，m）（m＞0），点D（﹣1，m）在边BC上，将△ABD沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
（1）如图2，当m＝3时，抛物线过点A、E、C，求抛物线解析式；
（2）如图3，随着m的变化，点E正好落在y轴上，求∠BAD的余切值；
（3）若点E横坐标坐标为1，抛物线y＝ax2+2ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．
【解答】解：（1）如图，
当m＝3时，点C的坐标为（0，3）（m＞0），点D（﹣1，3），
∵点A的坐标为（﹣4，0），四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，
∴BD＝3，
∴将△ABD沿AD折叠压平，点B的对应点E在x轴上，
∴AE＝3，
∴OE＝1，
∴E（﹣1，0），
设过点A、E、C的抛物线解析式为y＝a1x2+bx+c（a1≠0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+x+3；
（2）当点E正好落在y轴上，如图：
由折叠得DE＝DB＝3，∠AED＝∠B＝90°，
∴∠DEC+∠AEO＝90°，CE＝＝＝2，
∵∠EAO+∠AEO＝90°，
∴∠DEC＝∠EAO，
∵∠AOE＝∠ECD＝90°，
∴△AOE∽△ECD，
∴，
∴，
∴OE＝，
∴AB＝OC＝3，
∴ct∠BAD＝＝；
（3）如图，过点E作EN⊥x轴于N，延长NE交BC延长线于M，则∠M＝90°，
∵点E横坐标坐标为1，
∴ON＝CM＝1，
∴DM＝DC+CM＝2，AN＝OA+ON＝5，
由折叠得∠AED＝∠B＝90°，
∴∠AEN+∠DEM＝90°，
∵∠AEN+∠EAN＝90°，
∴∠DEM＝∠EAN，
∵∠M＝∠AEN＝90°，
∴△DEM∽△EAN，
∴，
在Rt△DEM中，ME＝＝＝，
∴，
∴EN＝2，
∴MN＝EN+ME＝3，
∴D（﹣1，3），E（1，2），
设直线AE的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AE的解析式为y＝x+，
∵抛物线y＝ax2+2ax+10＝a（x+1）2﹣a+10，
∴顶点为（﹣1，﹣a+10），
当x＝﹣1时，y＝x+＝，
∵抛物线y＝ax2+2ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，
∴＜﹣a+10＜3，
∴10﹣3＜a＜10﹣．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AB在x轴上，点A位于点B左侧，点E，F分别在边CD，AD上，BF⊥EF，EC＝EF，AB＝9，BC＝15．
（1）求证：△BEC≌△BEF；
（2）若点A坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx经过B，D两点，求抛物线的解析式；
（3）若点A坐标为（m，0）（m＞0），点G为平面内一点，以点O，B，F，G为顶点的四边形是菱形时，求点A的坐标．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
∵BF⊥EF，
∴∠BFE＝90°，
∴∠C＝∠BFE＝90°，
在Rt△BEC和Rt△BEF中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△BEF（HL）；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AB在x轴上，AB＝9，BC＝15，A（1，0），
∴AD＝BC＝15，OB＝10，
∴B（10，0），D（1，15），
分别将B（10，0），D（1，15）代入y＝ax2+bx，
得
解得
抛物线的解析式为y＝﹣x2+；
（3）由（1）△BEC≌△BEF，则BF＝BC＝15，AF＝＝＝12，
分三种情况讨论：
①以BO，BF为菱形的邻边时，则BO＝BF＝15，
∵A点坐标为（m，0）（m＞0），
∴OA＝m，
∴BO＝m+9，
即15＝m+9，
∴m＝6，
∴A坐标为（6，0）；
②以FB，FO为菱形的邻边时，则FO＝FB＝15，
由①知，OA＝m，
∵在Rt△OAF中，FO2＝OA2+AF2，
∴152＝m2+122，
∴m＝﹣9或m＝9，
∵m＞0，
∴m＝﹣9舍去，
∴A坐标为（9，0）；
③以OB，OF为菱形的邻边时，则OB＝OF，
由①和②知，OA＝m，OB2＝（m+9）2，OF2＝m2+122，
∴（m+9）2＝m2+122，
∴m＝，
∴A点坐标为（，0）；
综上，以O，B，F，G为顶点的四边形是菱形时，A点坐标为（，0），或（6，0），或（9，0）．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．
（1）求b和c的值；
（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；
（3）H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，
∴，
解得：，
∴b＝﹣，c＝﹣2；
（2）∵b＝﹣，c＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，
设直线AB的解析式为y＝kx+a，
则，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，
设D（m，m2﹣m﹣2），则E（m，﹣2m+8），F（m，m﹣2），G（m，0），
∴FG＝﹣（m﹣2）＝2﹣m，
当GF＝时，2﹣m＝，
解得：m＝3，
∴D（3，﹣2），F（3，﹣），G（3，0），
∴DF＝﹣（﹣2）＝，BG＝4﹣3＝1，
∴S△BDF＝DF•BG＝××1＝；
（3）如图2，∵直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C，
∴C（0，8），
∴OC＝8，
∵OA＝2，OB＝4，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠ABO＝∠BCO，
∵∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠CBO+∠ABO＝90°，
即∠ABC＝90°，
∵四边形BEHF是矩形，
∴EH＝BF，FH＝BE，EH∥BF，FH∥BE，
∴∠CEH＝∠ABC＝90°，∠AFH＝∠ABC＝90°，
∵DE⊥x轴，
∴DE∥y轴，
∴∠ECH＝∠BEF，∠FAH＝∠BFE，
∴△CEH≌△EBF（AAS），△HFA≌△EBF（AAS），
∴CH＝EF，HA＝EF，
∴CH＝HA，
∴H是AC的中点，
∴H（0，3）．
18．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝﹣a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如：y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝﹣a时，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”．
（1）函数y＝2|x|+1 是 对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0时，y＝2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，y＝2|x|+1的图象．
（2）函数y＝x2﹣2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝﹣x+n恰有3个交点时，求n的值．
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），当二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围．
【解答】解：（1）∵在实数范围内任取x＝a时，y＝2|a|+1，
当x＝﹣a时，y＝2|﹣a|+1＝2|a|+1，
∴y＝2|x|+1是“对称函数”．
故答案为：是；
y＝2|x|+1的图象如图1所示，
（2）①当直线y＝﹣x+n经过点（0，1）时，
函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，
∴n＝1；
②当直线y＝﹣x+n与函数y＝x2﹣2|x|+1的图象的右半侧相切时，
函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，
即方程组有一个解，
∴方程x2﹣x+1﹣n＝0有两个相等的实数根．
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（1﹣n）＝0，
解得：n＝．
综上，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，则n的值为1或；
（3）当x＞0时，函数y＝x2﹣bx+1的图象与x轴相切时，
方程x2﹣bx+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0，
∵b＞0，
∴b＝2；
当x＞0时，函数y＝x2﹣bx+1的图象与直线DC相切时，
方程x2﹣bx+1＝﹣3有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×4，
∵b＞0，
∴b＝4；
当x＜0时，函数y＝x2+bx+1的图象经过点（﹣3，﹣3）时，
﹣3＝（﹣3）2﹣3b+1，
解得：b＝．
综上，当2＜b＜4或b＞时，二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点．
19．综合与探究
如图，抛物线与y轴交于点A（0，8），与x轴交于点B（6，0），C，过点A作AD∥x轴与抛物线交于另一点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AB，点P为AB上一个动点，由点A以每秒1个单位长度的速度沿AB运动（不与点B重合），运动时间为t，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ与t的函数关系式；
（3）点M是y轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M，N，使得以B，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（0，8），B（6，0）代入抛物线，
得，
解得．
∴抛物线的表达式为；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+d，
将A，B两点坐标代入解析式得．
解得
∴直线AB的解析式为．
∵OA＝8，OB＝6，
∴由勾股定理可得．
如图，过点P作PE⊥y轴于点E，
∴∠AEP＝∠AOB＝90°，
∴EP∥OB．
则△AEP∽△AOB．
∴AE：EP：AP＝AO：OB：AB＝4：3：5．
根据题意可知AP＝t，
∴，，
∴点P的横坐标为．
∴，
∴PQ与t的函数关系式为（0≤t＜10）；
（3）存在，点N的坐标为或．
要使以B，D，M，N为顶点的四边形是矩形，分以下情况进行讨论：
如图，过点B作x轴的垂线交AD的延长线于点E，则AE⊥EB，
当y＝8时，，解得x＝0或3．
∴点D的坐标为（3，8）．
∴AD＝3，DE＝3．
①如图，当DM为矩形的边时，过点N作NK⊥x轴，交x轴于点K．
∵∠MAD＝∠DEB＝90°，∠ADM+∠BDE＝90°，∠AMD+∠ADM＝90°，
∴∠BDE＝∠AMD．
∴△ADM∽△EBD．
∴，即，
∴．
同理，可求得△EBD∽△KBN．
∴△ADM∽△KBN，
∴∠MAD＝∠NKB＝90°，∠ADM＝∠KBN，
又∵MD＝NB，
∴△ADM≌△KBN．
∴AD＝KB＝3．
∴OK＝6﹣3＝3．
∴，
∴；
②如图，当DM'为矩形的对角线时，过点N'作N'K'⊥x轴交DA的延长线于点K'．
同理可得△M'BO∽△DBE，
∴，
∴，
∴．
∵DN'＝BM'，
∴△DN'K'≌△BM'O，
∴，K′D＝OB＝6，
∴AK'＝3，点N'的纵坐＝，
∴，
③以BD为对角线这种情况不存在．
综上所述，存在点M，N，使得以B，D，M，N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标为或．