专题11 二次函数中矩形存在性综合应用（专项训练）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题11  二次函数中矩形存在性综合应用（专项训练）

1.已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B（﹣1，0）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．

①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；

②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；

（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；

（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．

3．如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；

（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；

（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

4．【生活情境】

为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．

【建立模型】

如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．

【问题解决】

（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 　（可省略单位），水池2面积的最大值是 　　m2；

（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 　   ，此时的x（m）值是 　  　；

（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 　    　；

（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；

（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．

5．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．

（1）求a，c的值；

（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；

（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．

（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；

（3）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．

8．综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 　  　；

（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；

（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

10．在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．

（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；

（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．

①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；

②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上C、D两点之间的距离是     ；

（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；

（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

12．综合与探究

如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．

（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；

（2）点P是抛物线对称轴上一点，点Q为平面内一点，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，请直接写出点P的坐标；

（3）点D是第四象限内抛物线上一动点，当∠BCD＝2∠ABC时，求点D的坐标．

13．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在抛物线上运动（不与点A，B，C重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当点D在第一象限抛物线上运动时，过点D作DF⊥x轴，垂足为点F，直线DF与直线AC交于点E，若DE＝EA，求点D的坐标；

（3）如图2，直线BD交直线AC于点H，点G在坐标平面内，在抛物线上是否存在点D，使以点A，D，H，G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

14．抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求A，B，C，D的坐标；

（2）点P为抛物线上的动点，当△PAC是直角三角形时，求点P的坐标；

（3）点M在y轴上，点Q为平面内任意一点，当以A，D，M，Q为顶点的四边形是矩形时，直接写出点Q的坐标．

15．如图1，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，m）（m＞0），点D（﹣1，m）在边BC上，将△ABD沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．

（1）如图2，当m＝3时，抛物线过点A、E、C，求抛物线解析式；

（2）如图3，随着m的变化，点E正好落在y轴上，求∠BAD的余切值；

（3）若点E横坐标坐标为1，抛物线y＝ax2+2ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．

16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AB在x轴上，点A位于点B左侧，点E，F分别在边CD，AD上，BF⊥EF，EC＝EF，AB＝9，BC＝15．

（1）求证：△BEC≌△BEF；

（2）若点A坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx经过B，D两点，求抛物线的解析式；

（3）若点A坐标为（m，0）（m＞0），点G为平面内一点，以点O，B，F，G为顶点的四边形是菱形时，求点A的坐标．

17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．

（1）求b和c的值；

（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；

（3）H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标．

18．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝﹣a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如：y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝﹣a时，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”．

（1）函数y＝2|x|+1 　　对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0时，y＝2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，y＝2|x|+1的图象．

（2）函数y＝x2﹣2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝﹣x+n恰有3个交点时，求n的值．

（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），当二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围．

19．综合与探究

如图，抛物线与y轴交于点A（0，8），与x轴交于点B（6，0），C，过点A作AD∥x轴与抛物线交于另一点D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）连接AB，点P为AB上一个动点，由点A以每秒1个单位长度的速度沿AB运动（不与点B重合），运动时间为t，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ与t的函数关系式；

（3）点M是y轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M，N，使得以B，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．