重庆市潼南区校联考2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份重庆市潼南区校联考2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1. 在3.1415926，，π，，，，0.4343343334…（每相邻两个4之间3的个数逐次加1），这些数中无理数的个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：3.1415926是有限小数，属于有理数，
＝2是整数，属于有理数，
π是无限不循环小数，属于无理数，
属于无理数，
＝3是整数，属于有理数，
是分数，属于有理数，
0.4343343334…（每相邻两个4之间3的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数，
无理数共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数，掌握无理数的定义是解题的关键．
2. 下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用平移设计图案，根据图形平移得性质即可求解，熟知平移的性质是解题的关键．
【详解】解：由图可知，选项，，都不能通过平移得到，只有选项利用图形的平移得到，
故选：C．
3. 如图，下列结论正确的是（ ）
A. 与是对顶角B. 与是同位角C. 与是同旁内角D. 与是同旁内角
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同位角同旁内角、对顶角，根据同位角、同旁内角、对顶角的定义进行判断，熟练掌握各角的定义是解题的关键．
【详解】A、与对顶角，故本选项错误，不符合题意；
B、与是同位角，故本选项错误，不符合题意；
C、与没有处在两条被截线之间，故本选项错误，不符合题意；
D、与是同旁内角；故本选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 下列命题中，真命题的个数是（ ）
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（2）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
（3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
（4）同旁内角相等
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了真假命题的判断，根据垂线的性质、点到直线的距离、平行公理与平行线的性质逐一判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：（）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题，符合题意；
（）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题，不合题意；
（）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该命题是真命题，符合题意；
（）两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不合题意；
∴真命题有2个，
故选：．
5. 长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图是红一方面军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为，表示吴起镇会师的点的坐标为，则表示瑞金的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
由已知点建立平面直角坐标系，得出原点位置，即可得出答案．
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：表示瑞金的点的坐标为，
故选：A．
6. 立定跳远测量基准：从起跳线（或延长线）到落地点最近痕迹的垂直距离．在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是（ ）
A. 线段的长度B. 线段的长度
C. 线段的长度D. 线段的长度
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，根据题意的分析，可以运用点到直线的距离的定义以及跳远比赛的规则作出分析和判断即可．
【详解】解：在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是线段的长度，
故选：D．
7. 静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，根据三角形的内角和定理结合对顶角相等，求出的度数，垂直得到的度数，再根据周角的定义求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
8. 估计﹣1的值为（ ）
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
【答案】C
【解析】
【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．
【详解】解：∵＜＜，
∴4＜＜5，
∴3＜﹣1＜4．
故选C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出4＜＜5是解题的关键，又利用了不等式的性质．
9. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，二元一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排（如图1、图2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项．图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组的解为，被墨水所覆盖的图形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解图示中竖、横的数量关系，掌握二元一次方程组的解的计算是关键．
根据图1中竖、横的数量关系列式，再根据二元一次方程组的解代入计算得到，由此即可．
【详解】解：图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，
∴设遮住的图为，
∴图2用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，
∵图2所表示的方程组的解为，
∴，
解得，，
∴图2所表示的方程组的解为，
∴，
解得，
∴的系数是，
故选：B ．
10. 甲、乙两名运动员沿长方形篮球场的边做环绕跑步运动，如图，根据长方形篮球场建立平面直角坐标系，甲从点出发，按逆时针方向以2个单位/秒匀速运动，乙从点出发，按顺时针方向以4个单位/秒匀速运动，两名运动员同时出发，则他们运动后的第2025次相遇地点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查点的坐标，是规律型题目，理解题意找准规律是解题的关键．利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为8和4，物体甲是物体乙的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】解：由题意知：长方形的边长为8和4，
①第一次相遇两名运动员运动的时间为 (秒)，
∴第一次相遇地点的坐标是；
②第二次相遇物体甲与物体乙运动的时间为 (秒)，
∴第二次相遇地点的坐标是
③第三次相遇地点的坐标是；
④第四次相遇地点的坐标是；
…
则每相遇三次，为一个循环，
∵2025÷3=675，
故两个物体运动后的第2025次相遇地点的坐标为：，
故选：A．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
11. 的算术平方根是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义的定义解答即可．
【详解】解：，
∵4的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
12. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【解析】
【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成成为解题的关键．根据命题的条件与结论即可改写即可．
【详解】解：命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
13. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则在第________象限．
【答案】二
【解析】
【分析】此题主要考查根据点坐标判定其所在象限，熟练掌握各象限的点的坐标特征是解题关键．根据点在轴上，可得横坐标为，即可得出，进而得出点的坐标，即可判定其在第二象限．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴在第二象限．
故答案为：二
14. 已知，是方程的解，则________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的知识点是二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值．把，代入方程，进一步可得答案．
【详解】解：把，代入方程，得
，
解得．
故答案为：．
15. 在正方形中，为边上的一点，沿线段对折后，若比大，则的度数为：_____；与的关系为：_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质得到，，再由角的和差关系和已知条件可求出的度数，则可由三角形内角和定理求出的度数，进一步求出的度数即可得到结论．
【详解】解：由折叠的性质可得，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；．
16. 一个四位正整数m，各数位上的数字均不为0，若千位上的数字和百位上的数字之和，等于十位数字与个位数字之差的k倍（k为整数），称m为“k型数”，即例如，4275：，则4275为“3型数”；3526：，则3526为“型数”．
（1）最小的“2型数”是_________．
（2）若四位数m是“3型数”，是“型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“3型数”，求满足条件的m的最大值是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题是一个新定义阅读题，主要考查整式的加减和三元一次方程组，考查了学生阅读、归纳材料的能力；重点是理解题目意思，熟练掌握整式的加减
（1）根据“k型数”直接求解即可；
（2）根据题目中的要求进行整式的加减运算，分情况讨论即可．
【详解】解：（1）设这个四位数（其中，b，c，且均整数），若，且k为整数，称m为“k型数”，
∵，b，c，且均为整数
∴,，即，
∴当时，有最小的“2型数”为，
故答案为：；
（2）设四位数，
∵四位数m是“型数”，
∴，则，
是“型数”，则十位数与个位数的差是个负数，
∴，或，
当时，，与矛盾，舍去，
当时，，
∴可取、两个数，则，
将m的百位数字与十位数字交换位置，得到新四位数，
也“型数”，则，
联立上述式子得：，
①当时，，
解得，则四位数；
②当时，，
解得，则四位数；
满足条件的所有四位数m有和．
则满足条件的m的最大值是．
故答案为：．
三、解答题（本大题8个小题，第17题16分，其余每题10分，共86分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的加减运算；
（1）先计算乘方，算术平方根，立方根，去括号，再合并即可；
（2）先计算算术平方根，立方根，化简绝对值，再合并即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
18. 解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了代入消元法，加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法，加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）利用代入消元法解方程组即可，
（2）先去分母，去括号整理，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为：．
【小问2详解】
解：
方程①去括号，整理得：③，
方程②去分母，整理得：④，
④×2③得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：，
∴方程组的解为．
19. 先化简再求值：，其中，满足．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，算术平方根的非负性，熟练掌握运算法则是解题关键．先去括号，然后合并同类项化简整式，再由被开方数大于等于求出的值，进而求出的值，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
．
∵有意义，
∴，
∴，，
∴原式．
20. 请在横线上和括号内完成证明过程和填写推理依据．
如图，已知，，试判断与的大小关系，并说明理由．
解：，理由如下：
∵，________（________________）
∴________（同角的补角相等）
∴________（_____________）
∴________（_________）
∵
∴________（__________）
∴
∴（__________）
【答案】；平角的定义；；；同位角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；，等量代换；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键，先根据平角的定义和等量代换证明，则，由此推出，即可证明即可得到．
【详解】解：，理由如下：
，(平角的定义)，
（同角的补角相等），
(同位角相等，两直线平行)，
（两直线平行，内错角相等），
，
(等量代换)，
，
(两直线平行，同位角相等)，
故答案为：；平角的定义；；；同位角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；，等量代换；两直线平行，同位角相等．
21. 如图，在正方形网格中，每个小方格的边长为1个单位长度，三角形的顶点，的坐标分别为，．
（1）请在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标．
（2）平移三角形，使点移动到点．
①画出平移后的三角形，其中点与点对应，点与点对应（不写画法）．
②求三角形的面积．
【答案】（1）坐标系见解析，点坐标为
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，图形的平移以及割补法求面积，正确找出平移后的对应点是解题关键．
（1）根据点和点的坐标即可建立坐标系，根据点的位置即可写出坐标；
（2）①先确定平移方式，再确定点和点的位置，顺次连接即可；②利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：∵点，的坐标分别为，，
∴如图所示，建立平面直角坐标系，
由坐标系可知：点坐标为．
【小问2详解】
解：①如图，即为所求，
②．
22. 如图，在三角形中，平分，是上一点，过点作交于点，点在上且满足．
（1）求证：；
（2）若于点，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义．
（1）由用平行线的性质得，再由角平分线的定义结合得即可；
（2）先求，再利用垂直的定义求得，再利用平行线的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：，
，
平分，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
23. 根据以下素材，完成任务
【答案】任务一：购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元；任务二：有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
任务一：根据素材一的表格列方程组求解；
任务二：根据“总务处预计将3800元采购经费正好用完”列方程，再求正整数解
【详解】解：任务一：设购进A型打印机的单价为x元，B型打印机的单价是y元，
则：，
解得：，
答：购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元；
任务二：设购买A型打印机a台，B型打印机b台，
则：，
∴方程组的正整数解为：或，
∴有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台
24. 亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，．
（1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在上，与相交于点G，求的度数；
（2）如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，则与有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数．
【答案】（1）
（2），见解析
（3）或或或或
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
（1）过点作，则，进而得，，由此可得的度数；
（2）过点作，则，进而得，，再根据可得出答案；
（3）依题意由以下5种情况：①当时，则，再根据可得出答案；②当时，则，再根据可得出答案；③当时，则；④当时，则，再根据可得出答案；⑤当时，设于交于点，则，进而得，然后根据可得出答案，综上所述即可得出角度所有可能的值．
【小问1详解】
解：过点作，如图2所示
依题意得：，，，，
，
，
又，
，，
，
【小问2详解】
解：，理由如下：
过点作，如图3所示，
，
，
，，
，且，
；
【小问3详解】
解：角度所有可能的值是或或或或，理由如下：
依题意由以下5种情况：
①当时，如图4①所示：
则，
；
②当时，如图4②所示：
则，
；
③当时，如图4③所示：
则；
④当时，如图4④所示：
则，
∴，
；
⑤当时，设于交于点，如图4⑤所示：
则，
，
．
综上所述：角度所有可能的值是或或或或．解决学校打印机与耗材的购买问题
素材一
校总务处公示前两年学校购进的型打印机与型打印机的购买清单，如表所示：
型数量（台）
型数量（台）
总费用（元）
2023年
10
20
26000
2024年
15
10
19000
素材二
今年校总务处又申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家咨询，得知今年型打印机单价不变，型打印机打八折优惠．
问题解决
任务一
计算商品单价
（1）若2023年与2024年购进的型与型打印机的单价不变，求购进型打印机与型打印机的单价分别是多少元？
任务二
探究购买方案
（2）总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？