2024届 广西南宁高三第二学期最后一卷高考数学模拟试题(四模)带解析

这是一份2024届 广西南宁高三第二学期最后一卷高考数学模拟试题(四模)带解析，共19页。试卷主要包含了已知命题，，则为，已知向量，满足，，，则，已知，，，则的大小关系为，若，，，，则的值等于，给出下列命题，其中错误的命题为，定义等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上．
2．考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则的值为（ ）
A．B．
C．D．－
2．棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理表明：若随机变量，当充分大时，可以用服从正态分布的随机变量来近似，且的期望和方差与的期望和方差相同，已知某运动员每次投篮的命中率为，则他在1800次投篮中，超过1180次命中的概率约为（ ）（参考数据:若，则，，）
A．0.65865B．0.84135C．0.97725D．0.99865
3．已知命题，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．1
5．把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（ ）
A．96种B．60种C．48种D．36种
6．已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（ ）
A．1B．C．D．8
7．已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．若，，，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．给出下列命题，其中错误的命题为（ ）
A．若样本数据的方差为3，则数据的方差为6．
B．具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，那么越接近于0，x，y之间的线性相关程度越高；
C．在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值k，若k的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大；
D．甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为．
10．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，B．函数的极大值与极小值之和为6
C．函数有三个零点D．函数在区间上的最小值为1
11．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，点C在底面圆周上，且二面角的大小为45°，则（ ）
A．的面积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．该圆锥的体积为π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．底面半径为2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个高为的圆锥，所得的圆台的侧面积为 ．
13．设函数，则 ，若，则实数的取值范围是 ．
14．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
16．2024龙年春节期间哈尔滨旅游火出圈，“小土豆”等更成为流行词，旅游过节已成为一种新时尚.某旅行社为了解某市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关，从该市随机抽取了200位市民，通过调查得到如下表格：
单位：人
(1)根据小概率值的独立性检验，判断该市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关联.
(2)从样本中按比例分配选取10人，再随机从中抽取4人做某项调查，记这4人中青年人愿意出游的人数为，试求的分布列和数学期望.
附：，其中.
17．在三棱锥中，D为线段PA的中点，，．
(1)证明：；
(2)若，平面平面ABC，求平面PBC与平面DBC的夹角的余弦值．
18．如图，对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线交抛物线于另一点．
(1)试证：；
(2)取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点．试证．
19．已知函数 .
(1)求函数 的最小值；
(2)若直线 是曲线 的切线，求 的最小值；
(3)证明.
市民
春节旅游意愿
愿意
不愿意
青年人
80
20
老年人
40
60
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1．B
【分析】根据题意，由诱导公式化简，即可得到结果.
【详解】
.
故选：B
2．B
【分析】设该运动员投篮次有次命中，则，根据二项分布的期望、方差公式求出、，依题意令，根据正态曲线的性质计算可得.
【详解】设该运动员投篮次有次命中，则，
所以，，
令，则,
即他在次投篮中，超过次命中的概率约为.
故选：B．
3．D
【分析】全称命题的否定为特称命题，否定形式为：将改为，再将结论否定.
【详解】由命题，可知，
为，，故D正确；ABC错误；
故选：D
4．D
【分析】利用向量数量积的运算律求得，再由夹角公式求，进而求其正弦值即可.
【详解】由，则，
由，则，故.
故选：D
5．D
【分析】根据分步乘法计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求得.
【详解】依题意，设这五个人分别为甲乙丙丁戊.
第一步，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况，
第二步，将这个整体与丁戊全排列，有种安排方法，
第三步，排好后产生4个空位，因甲乙不相邻，则只能从3个空中任选1个安排甲，有种安排方法.
则由分步乘法计数原理，不同的方案共有种.
故选：D.
6．C
【分析】利用椭圆的定义得到为等腰三角形，进而求等腰三角形的面积即可.
【详解】设的中点为M，则，
于是，又，
则为等腰三角形，
．
故选：C．
7．A
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性比较与中间值4的大小关系进而得到与的大小关系；利用幂函数的单调性得到与的大小关系，最终得到的大小关系.
【详解】是上的增函数，，．
在上单调递增，，
，，
，在上单调递增，，
，，
故选：A．
8．B
【分析】结合同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式与二倍角公式计算即可得.
【详解】，，，，
，，
，
.
故选：B.
9．ABD
【分析】根据方差的性质可判断A；根据相关系数的性质可判断B；根据的性质可判断C；根据简单随机抽样每个个体被抽到的概率是等可能的可判断D。
【详解】若样本数据的方差为3，则数据的方差为，故A错误；
由相关系数的实际意义知越接近于1，x，y之间的线性相关程度越高，故B错误；
的观测值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大，故C正确；
简单随机抽样中每个个体被抽到的概率是等可能的，概率等于，故D错误；
故选：ABD
10．AB
【分析】根据函数对称中心的定义求出，的值，可判断A的真假；用导数分析函数的单调性，求出极值，可判断B的真假；结合函数极值的符号，判断函数零点的个数，判断C的真假；求函数在区间端点处的函数值，与极值点的函数值比较，得到函数的最小值，判断D的真假.
【详解】由题意，点在函数的图象上，故；
又.
由，即.故A正确；
所以，所以.
由或.
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为；极小值为，
所以极大值与极小值之和为：，故B正确；
因为函数的极小值，所以三次函数只有一个零点，故C错误；
又，，
所以函数在上的最小值为，故D错.
故选：AB
11．BD
【分析】根据二面角的定义与圆锥的几何性质逐项判断即可.
【详解】如图，取中点，则，
由二面角定义可知，.
对于A，在中，，所以，
所以，，故C错误；
所以，故A错误；
，故B正确；
，故D正确.
故选：BD.
12．
【分析】由已知条件求出圆台的上底面半径，下底面半径及母线长，再利用圆台的侧面积公式计算即可.
【详解】由已知是边长为4的等边三角形，，又，
可得圆台的上底面半径，下底面半径，母线长，
则该圆台的侧面积为．
故答案为.
13．，．
【详解】试题分析：∵，∴，∴
；若：
；若：，故实数的取值范围是．
考点：1．分段函数；2．分类讨论的数学思想．
14．
【详解】分析：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（csθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．
详解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），

∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD==
∴BC•CD=BD•r，
∴r=，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，
设点P的坐标为（csθ+1，sinθ+2），
∵=λ+μ，
∴（csθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴csθ+1=λ，sinθ+2=2μ，
∴λ+μ=csθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故3．
点睛：本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
16．(1)有关联
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意补全列联表，从而利用卡方公式求得，进而得解；
（2）利用分层抽样的知识得到青年人愿意出游的人数的可能取值，从而利用超几何分布的分布列求得的分布列，进而求得其数学期望，由此得解.
【详解】（1）零假设：该市市民的春节旅游意愿与年龄层次无关.
依题意，得列联表如下：
所以.
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即该市市民的春节旅游意愿与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
（2）从样本中按比例分配选取10人，
则青年人愿意出游､青年人不愿意出游､老年人愿意出游､老年人不愿意出游的人数分别为，
再随机从中抽取4人，青年人愿意出游的人数的所有可能取值为，
且，
，
，
则的分布列为
数学期望为.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）欲证，需证垂直直线所在的一个平面，取AC的中点O，连接DO，BO，可证与、垂直，得到线面垂直，可得线线垂直.
（2）根据题意，可以为原点，建立空间直角坐标系，明确点的坐标，求平面的法向量，利用空间向量法即可求二面角的余弦值.
【详解】（1）在中，因为D为线段PA的中点，且，
则为直角三角形，且．
取AC的中点O，连接DO，BO，如图：
则，所以．
因为，所以．
因为，BO，平面BOD，
所以平面BOD．
因为平面BOD，所以．
（2）因为平面平面ABC，平面平面，，平面PAC，
所以平面ABC，
则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OD所在直线为x轴、y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面PBC的法向量为，
则，
取，则．
设平面DBC的法向量为，
则，
取，则，
所以，
即平面PBC与平面DBC的夹角的余弦值为．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先设直线的方程为，然后与抛物线方程联立消去得到，再由根与系数的关系可得到，从而得证．
（2）先根据导数求出抛物线在处的切线的斜率，进而可得到抛物线在处的切线的方程，同理可得到在处的切线方程，然后两切线方程相减整理可得到交点的坐标，然后结合两点间的距离公式可得到整理即可得到，又由于可得到
，最后根据等比数列的前项和公式可得到最后答案．
【详解】（1）证明：对任意固定的，因为焦点，
所以可设直线的方程为，
将它与抛物线方程联立得：，
由一元二次方程根与系数的关系得．
（2）解：对任意固定的，
利用导数知识易得抛物线在处
的切线的斜率，
故在处的切线的方程为：，①
类似地，可求得在处的切线的方程为：，②
由②①得：，，③
将 ③代入 ①并注意得交点的坐标为．
由两点间的距离公式得：．
现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：
．
19．(1)0
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数讨论单调性后求出最值即可；
（2）设出切点，利用导数的意义求出斜率，再利用点斜式写出直线方程之后用代定系数法找到，然后构造函数，求导分析单调性，找到最小值即可；
（3）利用（1）将函数变为，构造不等式，再裂项后变为，最后用累加求和即可证明.
【详解】（1），
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以.
（2）令，则，
设切点为，则，，
则切线方程为，即，
又是曲线得切线方程，则，
则，令，
则，令，
所以时，，为单调递增函数；
时，，为单调递减函数；
所以，即的最小值为.
（3）证明：由（1）可知，，即，当时取等号，
令，则，所以，
又，所以，
所以，，
累加后可得，
即.
关键点点睛：
第二问关键在于设出切点，求出斜率，用待定系数法找到再构造函数分析单调性，求最小值；
第三问关键在于从证明的不等式入手，利用（1）将不等式变形为，裂项和累加并用求和证明.
市民
春节旅游意愿
合计
愿意
不愿意
青年人
80
20
100
老年人
40
60
100
合计
120
80
200
0
1
2
3
4