[数学]广西南宁市部分名校2024届高考模拟试卷(解析版)

这是一份[数学]广西南宁市部分名校2024届高考模拟试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知an是等比数列，，，则（ ）
A. 10B. C. 6D.
【答案】C
【解析】因为是等比数列，
所以，
又因为，所以，
故选：C．
2. 若复数是纯虚数，则实数（ ）
A. 1B. C. D. 0
【答案】B
【解析】由，
根据题意可知.
故选：B.
3. 如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设正方体边长为1，由图可得，
则且，
所以.
故选：B.
4. 已知正方形的四个顶点都在椭圆上，椭圆的两个焦点分别在边和上，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不妨设椭圆方程为，
当时，，所以，
因为四边形为正方形，所以，
即，所以，
所以，解得，
因为，所以．
故选：C.
5. 小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为，走2级台阶的概率为．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，设事件A为“小明爬到第4级台阶”，
事件B为“小明走了3步爬到第4级台阶”，
事件A包含3中情况，
①走了4次1级台阶，其概率.
②走了2次1级台阶，1次2级台阶，其概率，即,
③走了2次2级台阶，其概率，
故小明爬到第4级台阶概率，
在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率,
故选：D.
6. 已知圆，点在线段（）上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可知，，，，，为锐角，
当圆的面积取最大值时AB最大，
因为，
所以当最大时AB最大，
因在上单调递增，
所以当最大时最大，
在中，，
所以最大时最大，
因为，
所以当最大时，最大，
因为点在线段（）上，
所以，
所以当点为时，最大，，即,
此时，即，
所以，即圆半径为，
所以圆的面积的最大值为，
故选：D．
7. 《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为平面，AB、平面，
所以，，
因为，，、平面，
所以平面，
如图所示，设为球与平面的交线，
则，，所以，
所以所在的圆是以为圆心，为半径的圆，
因且，
所以，所以弧的长为．
故选：B.
8. 若函数存在零点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得，
设，则，∴在R上单调递增，
∴，∴，，，即．
所以存在零点等价于方程有解，
令，则，
当时，h'x<0；当时，h'x>0，
所以hx在上为减函数，在上为增函数，
所以．
故选：B.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 锐角三角形中，角，，所对应的边分别是，，，下列结论一定成立的有（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，因为为锐角三角形，所以，
由余弦定理得，，即，
由正弦定理得，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为为锐角三角形，且，所以，
又因为在上单调递增，所以，故C正确；
对于D，由得，，
由为锐角三角形得，，
即，解得，故D正确；
故选：BCD．
10. 已知定义在上的奇函数，对，，且当时，，则（ ）
A. f1=0
B. 有个零点
C. 在上单调递增
D. 不等式的解集是
【答案】AC
【解析】对于A，在中，
令，得，
，故正确；
对于B,又为上的奇函数，，，
∴fx至少有三个零点，故错误；
对于C,设，，且，
则，，
，在上是增函数，
由于为奇函数，
∴fx在上也是增函数，故C正确；
对于D,易知当时，，
当时，，
由，得或，
解得，故D错误．
故选：．
11. 已知正方体的棱长为2，过棱的中点作正方体的截面，下列说法正确的是（ ）
A. 该正方体外接球的表面积是
B. 若截面是正六边形，则直线与截面垂直
C. 若截面是正六边形，则直线与截面所成角的正弦值的3倍为2
D. 若截面过点，则截面周长为
【答案】BD
【解析】对于A，外接球的半径为，
故外接球的表面积为，故A错误；
对于B，建立如图1所示的空间直角坐标系，
设的中点为G，则，，，，，
∴，，，
∴，，
则，，即，，
又，，正六边形截面，
∴正六边形截面，故B正确；
对于C，如图1，易得，为正六边形截面的一个法向量，
设直线与截面所成的角为，
则，故C错误；
对于D，如图2，延长，与的延长线交于点K，与的延长线交于点L，
连接交于点M，连接交于点N，则截面为平面．
因此有，M为的三等分点，N为的三等分点，
于是．
∵，，，
故截面的周长为，故D正确．
故选：BD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 集合子集的个数是______________．
【答案】64
【解析】由题可知，，有6个元素，
所以该集合的子集有个.
13. 设为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则_____.
【答案】
【解析】由展开式的二项式系数的最大值为，则有，
由展开式的二项式系数的最大值为，则有，
由，故有，
即，即，即，
解得.
14. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】由题意知，焦点，
设存在定点，使得点在圆上运动时，均有，
设，则，
由，知，
联立两式，消去可得，
令，则，满足上式，
所以，
所以，
当且仅当，三点共线时，等号成立，
设，则，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以，
即的最小值为．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）证明：；
（2）记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状．
（1）证明：因为，
由正弦定理得，，
整理可得，，
又，
于是，即，
因为，所以，
所以或（舍去），
所以；
（2）解：根据等面积法可知，即，
由，可得，
又由及正弦定理可得，，
解得，
由于，所以，
所以，所以是直角三角形.
16 已知函数，其中.
（1）求函数的单调区间；
（2）对任意，都有，求实数的取值范围.
解：（1）函数的定义域为(0,+∞)，
函数的导数，
因为，
所以当时，，此时，函数在上单调递减，
当时，，此时，函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递减，
所以对任意的，都有，
因为对任意的，都有，
所以，即，得，
所以当时，对于任意的，都有，
当时，，由（1）得在上单调递增，
所以对于任意，有，
因为对于任意，都有，
所以，即，
设，则，
设，
则，所以在上单调递减，
则当时，，
此时不等式不成立，
综上，所求的取值范围是.
17. 如图，在中，，，．将绕旋转得到，，分别为线段，的中点．
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面所成锐角的余弦值．
解：（1）因为，将绕旋转得到，
所以，又平面，
所以平面，
取中点，连接，作，垂足为，
因为，点为中点，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，即点到平面的距离为的长度，
因为平面，平面，
所以，
因为是边长为2的等边三角形，所以，
又，所以，所以．
（2）以点为坐标原点，所在直线为轴，以过点，垂直于平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
可得，即，取，则，
取中点，连接，
由等腰得，，则，由（1）得平面，
所以为平面的一个法向量，
设平面与平面所成夹角为，
则，
所以平面与平面所成锐角的余弦值为．
18. 已知双曲线：过点，离心率为.
（1）求的方程；
（2）过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值.
（1）解：因为双曲线：过点，离心率为，
所以有；
（2）证明：设直线的方程为，
直线的方程为，，
将代入直线得，即，
联立，得，
得，即，，
因为在第一象限，双曲线渐近线方程为，
联立，得，即，
联立，得.即，
所以，
因为，所以，所以①，
又②，
①②得，，
所以，
所以，
因为
所以，为定值.
19. 夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若前一天选择绿豆汤，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而前一天选择银耳羹，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．
（1）求该同学第2天选择绿豆汤概率；
（2）记该同学第天选择绿豆汤的概率为，证明：为等比数列；
（3）求从第1天到第10天中，该同学选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹概率的天数．
解：（1）设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹，
根据题意得，，
所以．
（2）设表示第天选择绿豆汤，则，
根据题意得，，
由全概率公式得，，
即，整理得，，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（3）由（2）得，，
由题意，只需，即，
则，即，
显然必为奇数，为偶数时不成立，
当时，考虑的解，
当时，显然成立，
当时，，不成立，
由单调递减得，时，也不成立，
综上，该同学只有1天选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹的概率．