2023_2024学年四川高考冲刺数学(文)仿真试卷(四模)附解析

这是一份2023_2024学年四川高考冲刺数学(文)仿真试卷(四模)附解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，，则的元素个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【正确答案】C
【分析】联立求出交点坐标，从而得到答案.
【详解】联立，即，解得：或，
即，
故的元素个数为3.
故选：C
2．在平行六面体中，已知，，，，，则的值为（ ）
A．10.5B．12.5
C．22.5D．42.5
【正确答案】A
【分析】将作为基底，然后用基底表示出，再求其数量积即可.
【详解】由题意得，，
因为，，，，，
所以
，
故选：A
3．若，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】A
【分析】由已知可得，进而求出.将化为二次齐次式，即可求出结果.
【详解】由可得，，
所以，
所以.
故选：A.
4．已知不等式组，表示的平面区域不包含点则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【分析】由题意列不等式组，即可求解.
【详解】因为不等式组，表示的平面区域不包含点，
所以或，
解得.
故选：B
5．已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】求出的解集，根据与解集的关系即可求解.
【详解】由，可得或，
因为是的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A
6．已知函数及其导函数的定义域都为，且为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】C
【分析】根据函数的奇偶性对称性可得函数的周期性以及，再利用复合函数的导数推出的周期以及，进而可求解.
【详解】因为为偶函数，所以，
即，即函数图象关于对称，则，
因为为奇函数，所以，
即函数图象关于点对称，
则，
所以，则，所以函数以4为周期，
，
因为，所以，
即，即，
也即，
令，则有，所以，
由得，所以以4为周期，
所以，
所以，C正确，
对于其余选项，根据题意可假设满足周期为4，
且关于点对称，
，故A错误；
，B错误；
，D错误，
故选:C.
7．如图，这是计算的值的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
【分析】根据程序框图运行程序，可知当第十次循环后，不满足判断框条件，输出结果，根据此时可得判断框内的条件.
【详解】按照程序框图运行程序，则第一次循环时，，；
第二次循环时，，；第三次循环时，，；
以此类推，第十次循环时，，，
此时需不满足判断框条件，输出，判断框内应填入或.
故选：D.
8．已知抛物线与直线交于A，B两点，且.若抛物线C的焦点为F，则（ ）
A．B．7C．6D．5
【正确答案】B
【分析】联立直线与抛物线，应用韦达定理及弦长公式求得，进而可得，根据抛物线定义求目标式的值.
【详解】由题设，，代入抛物线可得，
所以，，则，
则，可得（舍）或，故，
由抛物线定义知.
故选：B
9．已知向量，，则下列命题不正确的是（ ）
A．B．若，则
C．存在唯一的使得D．的最大值为
【正确答案】D
【分析】由向量模的计算公式，可判定A正确；由向量共线的坐标表示，可判定B正确；根据向量的数量积的运算公式，求得，得到，可判定C正确；根据向量的运算法则，化简得到，求得的最大值，可判定D错误.
【详解】由向量，，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，若，可得且，可得，所以B正确；
对于C中，若，可得，整理得，
所以，可得，因为，可得，所以C正确；
对于D中，由，
因为，所以，可得，
所以的最大值为，即的最大值为，所以D错误.
故选：D.
10．若函数在点处的切线方程为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【分析】求出函数的导函数，即可求出、，从而求出切线方程，即可得到方程，解得即可.
【详解】解：因为，所以，
又，所以，
所以切线方程为，即，
所以，解得；
故选：B
11．已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（ ）
A．（0，5]B．（0，5）
C．（0，）D．（0，]
【正确答案】A
【分析】利用导数求解，将问题转化为
或在区间上恒成立，然后利用正弦函数的图象求解即可.
【详解】由已知条件得，
∵函数在区间上无极值，
∴函数在区间上单调，
∴或在区间上恒成立，
当时，，
∵，∴，在此范围内不成立；
当时，，
∵，∴，即，解得，
则的取值范围是，
故选.
12．在直四棱柱中，所有棱长均为2，，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论中错误的是（ ）
A．当点在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则的最小值为
C．若的外心为，则为定值2
D．若，则点的轨迹长度为
【正确答案】C
【分析】由题证得面，所以直线上各点到平面的距离相等，又的面积为定值，可判断A；取的中点分别为，由面面平行的判定定理可得平面面，因为面，所以平面，当时，AQ有最小值可判断B；由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断C；在上取点，使得，易知点Q的轨迹为圆弧可判断D.
【详解】对于A，因为，平面， 平面，所以平面，
所以直线上各点到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；
对于B，取的中点分别为，连接，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为，，则，
又平面，平面，所以平面，
，平面，所以平面平面，
因为面，所以平面，
当时，AQ有最小值，则易求出
，
则，即，所以重合，
所以AQ的最小值为，故B正确；
对于C，若的外心为M，过作于点，则，
又，则，故C错误；
对于D，在平面内过作于点，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，，
在上取点，使得，
则，，
所以，若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，
又因为所以，则圆弧等于，故D正确.
故选：C.
二、填空题
13．已知，是虚数单位，复数，，若为纯虚数，则复数的虚部为______.
【正确答案】
【分析】根据复数的运算法则化简得到，，由题意求得，进而的复数的虚部.
【详解】由复数的运算法则，可得，因为复数是纯虚数，则且，解得，
所以复数的虚部为.
故答案为.
14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为________.
【正确答案】
【分析】根据三视图可知这是一个四面体，根据长度即可根据三角形面积公式求每一个面的面积，进而可得表面积.
【详解】该几何体的直观图是正方体中的四面体，， 故 .
15．已知双曲线的两个焦点分别为、，且两条渐近线互相垂直，若上一点满足，则的余弦值为_______________________．
【正确答案】
【分析】由题意可得，进而得到，再结合双曲线的定义可得，进而结合余弦定理即可求出结果.
【详解】因为双曲线，所以渐近线方程为，又因为两条渐近线互相垂直，所以，所以，即，因此，
因此，又由双曲线的定义可知，则，
所以在中由余弦定理可得
，
故答案为.
16．若函数在上存在唯一的零点，若函数在上存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】根据导数的性质，结合函数的零点定义进行求解即可.
【详解】由，
因为，所以，因此，所以单调递增，
故，因为在上存在唯一的零点，所以有；
由，
由函数的性质可知：当时，，函数单调递减，
当时，单调递增，
要想，只需，
综上所述：．
故
关键点睛：利用导数的性质，结合函数零点的定义是解题的关键.
三、解答题
17．已知数列的前项和为，，数列满足，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)若数列满足，求证：．
【正确答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）利用与的关系可求出数列的通项公式；利用累加法可求出数列的通项公式；
（2）由（1）问结论求出，然后利用裂项相消求和法，求出的和即可证明原不等式.
【详解】（1）解：由，得，
所以
又由，得，满足，所以，
而，所以，
所以；
（2）证明：因为，
所以.
18．如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥平面BCE；
(2)求证：AE∥平面BFD；
(3)求三棱锥C－BGF的体积．
【正确答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）
【详解】(1)证明 ∵AD⊥平面ABE，AD∥BC， ∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC.
又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，
又BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE.
(2)证明 由题意可得G是AC的中点，连结FG，
∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF.
而BC＝BE，∴F是EC的中点，
在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD.
(3)∵AE∥FG.
而AE⊥平面BCE，
∴FG⊥平面BCF.
∵G是AC中点，F是CE中点，
∴FG∥AE且FG＝AE＝1.
∴Rt△BCE中，BF＝CE＝CF＝，
∴S△CFB＝××＝1.
∴VC－BGF＝VG－BCF＝·S△CFB·FG＝.
19．2022年6月5日是世界环境日，十三届全国人大常委会第三十二次会议表决通过的《中华人民共和国噪声污染防治法》今起施行.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度（单位：）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：
(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归模型？（能给出判断即可，不必说明理由）
(2)求声音强度关于声音能量的非线性经验回归方程（请使用题后参考数据作答）；
(3)假定当声音强度大于45dB时，会产生噪声污染，城市中某点处共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且.已知点处的声音能量等于与之和，请根据（2）中的非线性经验回归方程，判断点处是否受到噪声污染，并说明理由.
参考数据：，，令，有，，
，，，
，，，.
【正确答案】(1)
(2)
(3)点处会受到噪声污染
【分析】（1）根据已知条件，结合图象的增长趋势，即可求解．
（2）令，，则，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
（3）设点处的声音能量为，则，利用基本不等式求出，再代入（2）中的非线性经验回归方程，求出，即可判断．
【详解】（1）解：散点图近似在一条曲线上，故更适合．
（2）解：令，，则，，，
即关于的回归方程是，
则关于的非线性经验回归方程是．
（3）解：设点处的声音能量为，则，
因为，，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以，
所以点处会受到噪声污染．
20．已知椭圆的左､右顶点分别为，椭圆的长半轴的长等于它的焦距，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点（不同于），直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：轴.
【正确答案】(1)；
(2)证明见详解.
【分析】（1）由题意，，代入点坐标求解即可；
（2）分直线斜率存在，不存在两种情况讨论，与椭圆联立，表示出直线，，，方程，联立得到坐标，证明即可.
【详解】（1）由题意，即，故椭圆，
代入点，可得，解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）由题意右焦点，，，
若直线斜率不存在，直线方程为：，代入椭圆方程可得，解得，即，
故直线，，，，
联立，可得；联立，可得，
，故轴；
若直线斜率存在，直线方程为：，与椭圆联立
，即，恒成立，
不妨设，故，
故直线，，，，
联立，可得；
联立，可得，
，故轴；
综上：轴.
21．已知函数，．
（1）当时，讨论函数的单调性：
（2）当时，函数满足：对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减；（2）.
（1）先对函数求导，令求出，根据导数的方法，即可得到函数单调性；
（2）先由，得到，由分离参数法方法，将原不等式化为，构造函数，利用导数的方法求出其最大值，即可得出结果.
【详解】（1）由题意，
∵，，，令，得，
所以时，，单调递增，时，，单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，
由对恒成立，得，
设，则，
设，则时，，
所以在上单调递增，且，，
所以函数在上有唯一的零点
当时，，，单调递增;
当时，，，单调递减，
所以时，
所以，
，，即
因为是增函数，所以，
，
即的取值范围为.
思路点睛：
导数的方法研究由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
22．在直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)判断直线与曲线的交点个数；
(2)若直线与曲线相交于两点，且，求直线的直角坐标方程.
【正确答案】(1)两个不同的交点
(2)或
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化方法可求得曲线的直角坐标方程；根据直线的参数方程可知直线恒过点，根据在圆内可得直线与曲线相交，由此可得结果；
（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得韦达定理的形式；利用直线参数方程中参数的几何意义可构造方程求得，由此可得直线倾斜角，进而得到直线方程.
【详解】（1）由得：，则，
曲线的直角坐标方程为：；
由直线参数方程可知：恒过点，
，点在圆内部，
直线与曲线相交，即有两个不同的交点.
（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程得：，
即；
设对应的参数分别为，则，，
，
解得：，，又，或，
则直线方程为或.
23．已知均为正实数，且.
(1)求的最大值；
(2)求的最小值.
【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，结合基本不等式即可求解；
（2）令，，，由展开，利用基本不等式得，又由（1）知，代入求解即可.
【详解】（1）∵，
又，，，
∴，
∴，当且仅当时，等号成立，
即的最大值为.
（2）令，，，
则，
∵，，，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
由（1）知，
∴，
∴，∴，即，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.