2023_2024学年四川高考冲刺数学(文)仿真试卷(三模)附解析

这是一份2023_2024学年四川高考冲刺数学(文)仿真试卷(三模)附解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【分析】先求出等式右侧复数的模，然后表示出复数z，再化简变形求得结果.
【详解】由已知，可得，∴.
故选：C．
2．已知集合，则中的元素个数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【正确答案】B
【分析】解一元二次不等式化简集合B，再根据已知列出不等式，求解判断作答.
【详解】解不等式得：，即，而，
由解得：，又，显然满足的自然数有9个，
所以中的元素个数为9.
故选：B
3．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【分析】判断的范围，求得的值，利用二倍角公式，即可求得答案
【详解】由题意，则，
由可得，
即有，即，，解得，
故选：C
4．某几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【分析】利用三视图还原成直观图，然后根据体积公式求解即可
【详解】还原成直观图，
几何体的上面为圆锥，下面为圆柱且被轴截面分割出的一半的组合体，底面是半径为2的半圆，圆锥的高为2，圆柱的高为1，
所以体积为,
故选：C.
5．Sigmid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmid函数的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数是奇函数
C．Sigmid函数的图象是关于中心对称
D．Sigmid函数是单调递增函数，函数是单调递减函数
【正确答案】C
【分析】求导得可判断A，再由奇偶性的定义与性质可判断BD，由可以判断C
【详解】对于A：由题意得，选项A错误；
对于B：设，则，
所以函数不是奇函数，选项B错误；
对于C：因为，
所以，
所以Sigmid雨数的图象的对称中心为，选项C正确；
对于D：由B可知，由的图象关于y轴对称，可知函数不单调，故选项D错误.
故选：C
6．已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【正确答案】B
【分析】由题可得，然后利用二倍角公式结合条件可得，然后根据离心率公式即得.
【详解】因为，为的中点，
所以，，
所以，又， ，
所以，
所以.
故选：B.
7．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【正确答案】C
【分析】先根据为偶函数得到，两边取的导数可得：求，进而得到，在根据导函数为奇函数可得到导函数的递推公，然后根据递推公式即可求解.
【详解】∵为偶函数，∴，即，两边同时对x求导得，
即，令，则，
∵为奇函数，∴，
又，即，
联立得，即，
∴，
故选：C．
8．在三棱锥中，，，设侧面与底面的夹角为，若三棱锥的体积为，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，（ ）
A．B．C．D．4
【正确答案】B
【分析】通过计算推出为的外接圆的直径，到平面的距离为，设的中点为，则为的外接圆的圆心，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，根据以及求出的最小值及取最小值时，有平面，再取的中点，连，，则可得，计算可得.
【详解】因为，，所以，
所以，所以，所以，
所以为的外接圆的直径，
设的中点为，则为的外接圆的圆心，
因为，设到平面的距离为，
则，所以，
当该三棱锥外接球表面积取最小值时，半径最小，
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则平面，
若点和点在平面的同侧，如图：

则，即，当且仅当三点共线时，取等号，
在中，，所以，
所以，所以，当且仅当三点共线时，取等号，
若点和点在平面的异侧，
则，所以，
若与重合时，，不合题意，
综上所述：的最小值为，且当时，三点共线，
此时平面，取的中点，连，，则，
因为平面，平面，所以，
又，所以平面，
因为平面，所以，
所以是侧面与底面的夹角，即，
因为，，
所以.
故选：B
二、多选题
9．某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16.若将两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的（ ）
A．平均数为6B．平均数为C．方差为D．方差为
【正确答案】AD
【分析】根据已知条件，结合平均数和方差公式即可求解．
【详解】新样本平均数为，故A正确，B错误；
又因为甲的方差为，，，
且，
则乙的方差为，，，
且，
，
，
，
，
新样本的方差为：
故D正确C错误.
故选：AD.
三、单选题
10．记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是
A．①③B．①②C．②③D．③④
【正确答案】A
【分析】根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.
【详解】如图，平面区域D为阴影部分，由得
即A（2，4），直线与直线均过区域D，
则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选A．
本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断．
11．设为等差数列的前项和，且，都有.若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
【正确答案】A
【分析】利用等差数列求和公式可化简已知不等式得到数列为递增的等差数列；结合可确定当且时，，当且时，，由此可得结论.
【详解】由得：，即，
数列为递增的等差数列，
，，，
当且时，；当且时，；
有最小值，最小值为.
故选：A.
12．函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，则下列说法正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①③④B．①②④C．①②③D．②③④
【正确答案】B
【分析】先求导，对分两种情况讨论，求出函数的最大值即可判断①②；由数形结合思想可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设，再利用指数和对数恒等式证明④正确；再利用反证法判断③的真假.
【详解】，，
当时，当时，， 在上单调递增，当时，，在单调递减；当时，， 在上单调递增，当时，，在上单调递减.
与有相同的最大值，，即，
，.
当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，
当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，
所以①②正确.
两个函数图象如下图所示：

由数形结合思想可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，
不妨设，
且，
由，又，
又当时，单调递增，所以，
又，又，
又当时，单调递减，所以，
，
，于是有，所以④正确，
如果，则，所以，
与矛盾，所以错误，所以③错误.
故选：B
关键点睛：解答本题的关键是判断④，要利用指数和对数恒等式，得到，.
四、填空题
13．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.
【正确答案】/
【分析】先利用数量积公式求出，再求出，最后代入向量的夹角公式得解.
【详解】是夹角为的两个单位向量，则，
，
，
，，
，.
故
14．甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，.则谜题被破解的概率为________.
【正确答案】
【分析】设“甲独立地破解谜题”为事件，“乙独立地破解谜题”为事件，“谜题被破解”为事件，利用求解.
【详解】设“甲独立地破解谜题”为事件，“乙独立地破解谜题”为事件，“谜题被破解”为事件，且事件，相互独立，
则.
故
15．已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过点F作倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在第一象限）．若直线AO与抛物线的准线l交于点D，设，的面积分别为，，则______．
【正确答案】/0.5625
【分析】直线方程为.联立直线方程与抛物线的方程，求出点的坐标，进而得到的坐标，表示出，，即可得出结果.
【详解】
由题意知，，直线方程为.设，.
联立直线方程与抛物线的方程，解得或.
因为点A在第一象限，所以，，
直线方程为，点坐标为.
因为，所以轴.
所以，
，
所以.
故答案为.
16．已知三角形数表：
现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列，记此数列的前项和为．若，则的最小值是_____．
【正确答案】95
【分析】先找出每行的规律，再利用等比数列和等差数列的前项求解.
【详解】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．
设第组的项数为，则组的项数和为，
因为，令得
即出现在第13组之后，第组的和为，
组总共的和为，
若，
则项的和应与 互为相反数，
设项总共有项，则其前项和为
所以
解得
当时，，
则的最小值为.
故95.
五、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．
(1)求的值；
(2)求的面积．
【正确答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理求出与之间的关系，结合，利用三角恒等变换即可求解；(2)结合(1)中条件，求出即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以由正弦定理知，，
又由，
故，
所以，故．
（2）由知，，
，
记的面积为，
因为，
所以，
故的面积为．
18．如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得.

(1)求证：平面平面；
(2)若，分别为，的中点，求三棱锥的体积.
【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明平面，可得，再利用勾股定理证明，即可证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）取的中点，连接，根据面面垂直的性质证明平面，再根据结合棱锥的体积公式即可得解.
【详解】（1），，，
，平面，
平面，
又平面，，
由直角梯形，，，
，，得，
则，所以，
又，，平面，
平面，
又平面，平面平面；
（2）取的中点，连接，
，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
由（1）得，则，
，
，
，
，
即三棱锥的体积为.

19．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣．
(1)完成列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？
(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取2人，求至少有1人对冰球有兴趣的概率．
．
【正确答案】(1)填表见解析；有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；
(2).
【分析】（1）根据给定数据，完善列联表，计算的观测值，再与临界值表比对作答.
（2）对5人编号，利用列举法结合古典概型概率公式计算作答.
【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表：
根据列联表中的数据，得，，
所以有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.
（2）记至少1人对冰球有兴趣为事件D
记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，
则从这5人中随机抽取2人，有，共10个结果，
其中2人对冰球都有兴趣的有，共3个结果，
1人对冰球有兴趣的有，共6个结果，则至少1人对冰球有兴趣的有9个结果，
所以所求事件的概率．
20．设A，B是椭圆上异于的两点，且直线AB经过坐标原点，直线PA，PB分别交直线于C，D两点．
(1)求证：直线PA，AB，PB的斜率成等差数列；
(2)求面积的最小值．
【正确答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）设，，表达出直线，直线，直线的斜率，由证明出结论；
（2）写出直线PA的方程，与联立求出，同理求出，求出，利用三角换元，求出的最小值，结合到直线的距离，求出面积的最小值.
【详解】（1）设，则，，
直线的斜率，直线的斜率为，直线的斜率为，
，
故直线PA，AB，PB的斜率成等差数列；
（2）直线PA的方程为，与联立得：
，
同理可得：直线PB的方程为，与联立得：
，
故，
因为，设，
故，
其中，
故当时，取得最小值，最小值为，
又点到直线的距离，
故面积的最小值为.
圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
21．已知函数.
(1)若且函数在上是单调递增函数，求的取值范围；
(2)设的导函数为，若满足，证明.
【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)由题意可得在上恒成立，令，求导，分、讨论在上恒成立即可；
(2)由可得，由（1）知，即有，①，令，求导得当时，，即有，于是得以，代入①式中化简即可得证.
【详解】（1）解：当时，，，
因为在上是单调递增函数，
所以在上恒成立，
令，则，
当时，，
令，，
所以在上递增，
即，
所以在上恒成立，符合题意；
当时，，，且在为单调递增函数，
所以存在唯一使得，
所以当时，，在递减，
即，，不符合题意；
综上所述；
（2）证明：，
当时，由（1）可知是增函数，所以，
设，
，
移项得，
由（1）知，即，
所以，
即，①
设，，
所以当时，，
即，
所以，即，
所以，
代入①式中得到，
即，
所以，命题得证.
方法点睛：本题考查了利用导数求参数的范围及证明不等式成立问题:
对于函数在所给区间上单增(减)，等价于其导数在所给区间上恒为正(负)；
对于恒成立问题，常采用方法有二：
一是求导，利用导数求出函数的最值，转化为最值与参数之间的关系；
二是分离参数，再利用导数求函数的最值，转化为参数与函数的最值之间的关系.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.已知曲线与，正半轴分别相交于两点.
(1)写出曲线的极坐标方程，并求出两点的直角坐标；
(2)若过原点且与直线垂直的直线与曲线交于点，与直线交于点，求线段的长度.
【正确答案】(1)，点为，点为
(2)
【分析】（1）普通方程，即可得
（2）求出直线的方程为，然后求出直线的方程，然后可求出的长度
【详解】（1）曲线的普通方程，
极坐标方程，∴.
在曲线上，当时，或，此时或（舍），所以点为.
当时，或，此时或（舍），所以点为.
（2）直线的方程为，极坐标方程为，
∴，
过原点且与直线垂直的直线的极坐标方程为.
与联立，得.
与联立，得.
∴.
23．已知函数，．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)求证：R，．
【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据 的范围，去掉绝对值，然后分段求解不等式即可.（2）由绝对值的三角不等关系，可得，然后根据基本不等式即可求解.
【详解】（1）时， ，
故当时，，所以；
当时，显然成立，
当时，，解得：
综上，不等式的解集为
（2）．有兴趣
没兴趣
合计
男
110
女
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
有兴趣
没有兴趣
合计
男
90
20
110
女
60
30
90
合计
150
50
200