辽宁省重点高中2025届年高三下学期第三次联盟考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省重点高中2025届年高三下学期第三次联盟考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合A=x∈R∣x2-2x-30，a6⋅a70，则an为递增数列，所以，a7>a6>a1>0，与a6⋅a70，与a6⋅a7a7，由a6+a7>0a6⋅a70>a7，合乎题意，A对；
对于B选项，由A选项可知，a6>0，a70，
S13=a1+a132×13=13a70时，n的最大值为12，B错；
对于C选项，Sn=na1+nn-1d2，则Snn=a1+n-12d，
所以，Sn+1n+1-Snn=a1+nd2-a1+n-12d=d2，
所以，数列Snn为等差数列，且其首项为a1，公差为d2，C错；
对于D选项，由a6>0得a1+5d>0，由a70，即a1+112d>0，
令bn=Snn，bn=a1+n-1d2，则等差数列bn为递减数列，
且b11=a1+5d>0，b12=a1+11d2>0，b13=a1+6d0,b>0，两条渐近线方程为y=±bax，
因双曲线y=2x的两条渐近线方程为x=0、y=0，且两条渐近线相互垂直，
且旋转前后渐近线的垂直关系保持不变，
则y=bax和y=-bax垂直，即ba-ba=-1，得a2=b2，
则双曲线的离心率为e=ca=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=2.
故答案为：2.
13．设函数fx=sinωx+π3在区间0,π恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是 ．
【答案】(136,83]
【解析】由题意，当ω0时，因为x∈0,π，所以ωx+π3∈(π3,ωπ+π3)，
要使函数fx=sinωx+π3在区间0,π恰有三个极值点、两个零点，
由y=sinx的部分图象如下图所示：

则5π2a2，
即2λ+2>2+4λ-3λln2，得λ>0，即032时，只需a2>a3，即2+4λ-3λln2>6λ-3λln3，即320可得a2>43，
设Mx1,y1,Nx2,y2，所以y1+y2=-43,y1y2=4-a26，③
又直线y=12(x-2)过点Q，且MQ=3NQ，MQ=2-x1,-y1，NQ=2-x2,-y2.
（i）当MQ=3NQ时，即y1=3y2时，则y1+y2=4y2=-43，可得y2=-13，
则y1y2=3y22=13=4-a26，可得a2=2>43，
所以椭圆C的方程为x22+y2=1；
（ii）当MQ=-3NQ，即y1=-3y2时，则y1+y2=-2y2=-43，则y2=23，
可得y1y2=-3y22=-3×232=-43=4-a26，解得a2=12>43，
所以椭圆C的方程为x212+y26=1.
18．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，AC＝2，∠BAC＝45，∠BAA1＝60，且平面ACC1A1⊥平面ABC.
（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
（2）点E在棱BB1上，且A1E与平面BCC1B1所成角的余弦值为77（BE>EB1），求BE的长．
解：（1）如图，在平面ACC1A1内过A1作A1O⊥AC与AC交于点O，
因为平面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC=AC，A1O⊂平面ACC1A1，
所以A1O⊥平面ABC，所以∠A1AC为AA1与平面ABC所成角，
由公式cs∠BAA1=cs∠A1AC⋅cs∠BAC，解得cs∠A1AC=22，
所以∠A1AC=45°，A1O=AA1sin45°=1，
又ΔABC的面积为12×2×2×22=1，所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积为1×1=1.
（2）由（1）得在△ABC中，O为AC中点，连接OB，
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB⋅ACcs45°=2，解得BC=2，
所以AB=BC，BO⊥AC，（或者利用余弦定理求OB）
以O为坐标原点，以OB，OC，OA1分别为x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系，
则A0,-1,0,B1,0,0,A10,0,1,C0,1,0，
所以AA1=BB1=0,1,1, BC=-1,1,0,
设BE=λBB1=0,λ,λ, λ∈0,1，设平面BCC1B1的法向量为n=x,y,z，
则n⋅BB1=0n⋅BC=0，即y+z=0-x+y=0，不妨令x=1，则y=1,z=-1，即n=1,1,-1.
A1E=A1B+λBB1=1,λ,λ-1，
又因为A1E与平面BCC1B1所成角的余弦值为77，
所以|csA1E,n| =1+λ+1-λ3⋅1+λ2+λ-12=427，
解得λ=13或λ=23，
又因为BE>B1E，所以BE=223.
19．已知函数fx＝lnx+ax2-x(x>0,a∈R)．
（1）讨论函数f(x) 的单调性；
（2）若曲线y=f(x)上存在唯一的点M，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点M，求实数a的取值范围．
解：（1）f'(x)=1x+2ax-1=2ax2-x+1x(x>0)，设g(x)=2ax2-x+1(x>0)
①当01，有h(x0)>0；若其判别式大于零，设其右侧的零点为m，则对任意的x0>max{m,1}，有h(x0)>0，所以在区间(2a2a,+∞)上，存在零点，综上h(x)的零点不唯一；
当t=2a2a时，可得h'(x)≥h'(t)=0，所以h(x)在(0,+∞)上单调递增，所以其只有唯一的零点2a2a；
当t>2a2a时，h'(x)在(t,+∞)上大于零，在(2a2a,t)上小于零，所以h(x)在(t,+∞)上单调递增，在(2a2a,t)上单调递减，所以h(x)在(2a2a,+∞)上大于或等于零，且有唯一的零点t.
函数y=ax2-(1t+2at)x-lnt+at2+1在区间[0,1]上一定存在最大值，设为n，若n≤0，则h(x)在(0,1)上小于零.若n>0，当0