辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一下学期期中考试 数学 含解析

这是一份辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一下学期期中考试 数学 含解析，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．等于
A．B．C．D．
2．已知向量，若，则（ ）
A．B．25C．5D．2
3．已知设，求：的值（用表示）．针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答．小张同学的答案：；小姚同学的答案：；则（ ）
A．小张对，小姚错B．小张错，小姚对C．两人都错D．两人都对
4．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以，图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知单位向量，，若对任意的，恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知向量，且，的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数在上单调，是函数的一条对称轴，若先将图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，再将图象向右平移个单位长度，图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（ ）
A．扇形的圆心角为2B．扇形的弧长为6
C．扇形的半径为6D．扇形圆心角所对弦长为
10．如图所示，线段是的弦，其中，点为上任意一点，则以下结论正确的有（ ）
A．B．
C．当时，D．的最大值是36
11．已知函数，在上单调，且，若在上恰有2个零点，可能得取值为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．已知，则 ．
13．已知向量满足，，且，，则 ．
14．函数，若函数在至少有4个零点，至多有8个零点，则的取值范围为 ．
四、解答题
15．（1）化简：；
（2）已知，求的值．
16．已知向量满足，与的夹角为．
(1)求的值；
(2)已知，求实数的取值范围．
17．已知．
(1)当时，求的值域；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．
18．已知向量，，函数．
(1)求函数的最小正周期及对称中心；
(2)若，且，求的值；
(3)在锐角中，若，求的取值范围．
19．已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，且为偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)令，记函数在上的零点从小到大依次为，求及的值；
(3)设函数，若对于定义域内的任意实数，给定的非零常数，总存在非零常数，使得成立，则称函数是上的级周期函数，周期为．是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论．
1．B
【详解】 ，故选B.
2．C
先根据向量垂直的性质求出的值，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出.
【详解】已知，，且，可得.
由，解得.所以.
则.
可得.
故选：C.
3．A
根据给定条件，利用差角的正切化简即得.
【详解】依题意，.
故选：A
4．C
利用之间关系求解即可.
【详解】因为，所以，
因为,又，
所以，所以，
所以，
又，所以，
所以.
故选：C.
5．C
根据函数平移规则得出解析式，再由对称性及面积公式即可求解.
【详解】由题可得，其最小正周期为，的最小正周期也为，
如图设，图象相邻的三个交点为，则，
因为，所以，假设，
将代入，可得，所以，
将点代入，可得或，
即或，又，所以.
故选：C
6．B
利用模的平方就是向量的平方，再借助向量数量积的运算，从而转化为一元二次不等式恒成立，则利用判别式就可以求解.
【详解】因为单位向量，，所以由平方得：
，
又因为对任意的，上式关于的一元二次不等式恒成立，
则满足，
此时只能满足，即，
因为，所以，
故选：B.
7．D
根据给定条件，利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示，列式求解.
【详解】向量，由，的夹角为钝角，得且不共线，
则，解得且，
所以的取值范围为.
故选：D
8．B
结合单调性计算出的取值，逐个验证后确定和的值，即得到函数的解析式，再求得变换后的函数解析式，并结合函数图象的对称性质解得的最小值.
【详解】由函数在上单调，得的最小正周期，
则，解得，又，于是，
若，则，，又，则无解；
若，则，，又，则；
若，则，，又，则无解，
因此，将图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，
得的图象，再将图象向右平移个单位长度，得的图象，
由函数的图象关于轴对称，得，
解得，所以当时，m取最小值为.
故选：B
9．ABD
设出扇形半径，表示弧长及扇形面积，求出最大值的条件，再逐项判断即得.
【详解】对于C，设扇形半径为，则弧长，扇形面积，
当且仅当时取等号，C错误
对于B，扇形的弧长，B正确；
对于A，扇形的圆心角为，A正确；
对于D，扇形圆心角所对弦长为，D正确.
故选：ABD
10．AB
利用向量的三角形不等式判断A；利用向量数量积的几何意义、性质求解判断BCD.
【详解】对于A，，当且仅当共线时取等号，A正确；
对于B，过作于，交于，则是中点，，
，B正确；
对于C，当时，，解得，
由选项B知，，此时点与之一重合，
当点与重合时，，，
当点与重合时，，，C错误；
对于D，，
当且仅当与同向共线时取等号，D错误.
故选：AB
11．BC
由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围.
【详解】因为函数在区间上单调，
且满足，而，，
即的一个对称中心为，，且在区间上单调，
设函数的最小正周期为T，则，即，解得，
又函数在区间上恰有2个零点，恰为第一个零点，
相邻两个零点之间相距半个周期，则，即，
解得，而，因此，
所以可能得取值为，.
故选：BC
12．
利用同角公式、和角的余弦公式计算即得.
【详解】由，得，
所以.
故答案为：
13．//
利用向量移项，两边向量的平方，结合数量积的运算律，即可得数量积，最后可求得结果.
【详解】由得：，两边平方得：；
由得：，两边平方得：；
由得：，两边平方得：；
所以
故答案为：
14．
根据给定条件，求出函数的最小正周期，再由正弦函数的零点个数及区间的任意性列出不等式求解.
【详解】函数的最小正周期，
由正弦函数的图象性质知，在长为一个周期的区间内恰有2个零点，
则由函数在至少有4个零点，至多有8个零点，得，
即，因此，解得或，
当时，由，得，
存在，使得，则，
即是的零点时，也一定是的零点，此时在内有9个零点，
不符合题意，则，同理，
所以的取值范围为.
故答案为：
15．（1）1；（2）
（1）先将正切化为正弦与余弦的形式，再利用三角函数公式进行化简；
（2）根据三角函数的二倍角公式将式子化简，然后将正切值代入求解.
【详解】（1）化简
（2）已知，根据三角函数二倍角公式，对原式进行化简：
16．(1)
(2)
（1）先根据向量夹角公式，求出、和，进而求得的值；
（2）根据向量运算的分配律展开，再结合已知条件得到关于的不等式，最后求解不等式得到的取值范围.
【详解】（1）计算，可得.
已知，则.
可得.
所以.
又.
根据向量夹角公式，可得.
（2）根据向量运算的分配律展开：
可得：
将，，代入上式可得：
求解不等式.
移项可得，即.
解得.
即的取值范围为.
17．(1)
(2)
（1）令，则，得到，结合二次函数的性质，求得的最值，得到函数的值域；
（2）令，得到，根据题意，转化为在上恒成立，令，结合函数的单调性，求得，进而求得的取值范围.
【详解】（1）当时，函数，
令，则，
又由，可得，
则函数，
则函数的图象开口向上，且对称轴为，
可得函数在单调递减，在单调递增，
所以，当时，；当时，，
即当时，即或时，
即或时，函数；
当时，即，即时，
即时，函数，
所以函数的值域为.
（2）令，则，
当，则，可得，
则，
由恒成立，即恒成立，
可得，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，可得在上单调递增，所以，
所以，解得，即实数的取值范围为.
18．(1)，；
(2)；
(3).
（1）利用数量积的坐标表示列式，再利用二倍角、辅助角公式化简，进而利用正弦函数性质求解.
（2）由（1）的信息，利用同角公式及差角的余弦求解.
（3）由（1）的信息求出，利用利用和差角的正弦，结合余弦函数性质求出范围.
【详解】（1）依题意，，
所以函数的最小正周期；
由，解得，
所以函数的对称中心为.
（2）由（1）得，解得，而，
当时，，则，矛盾，
所以，
，所以
.
（3）由（1）得，解得，又为锐角三角形，
则，令，则，
，
所以的取值范围是.
19．(1)；
(2)，；
(3)存在，且，证明见解析.
【详解】（1）依题意，函数的最小正周期为，则，，
由函数为偶函数，得，，，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）得，则，
由，得，
令，则，函数在上的零点
与函数在上的零点满足设，如图：
由图知，直线与函数在上的图象有5个交点，
点关于直线对称，点关于直线对称，
点关于直线对称，点关于直线对称，
因此，即，
则，解得，
所以，.
（3）函数，则.
假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数，
即，则成立，
则成立，当时，，则，
即，要使得恒成立，则有，
当时，则，即，令，其中，
而，且函数在上单调递增，
函数在上有唯一的零点，此时恒成立，
则，且，即，且；
当时，则，即，作出函数的图象如下图所示：
由图知，函数的图象没有公共点，即方程无实数解，
所以存在，且满足题意，其中满足.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
C
B
D
B
ABD
AB
题号
11









答案
BC