四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版），共15页。
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.
2．选择题使用铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等差数列中，，，则（ ）
A. 0B. 5C. 10D. 15
【答案】A
【解析】，又，，成等差数列，
，.
故选：A
2. 已知函数，则（ ）
A. 1B. －1C. －2D. 0
【答案】B
【解析】由导数定义可知，
由得，
所以.
故选：B．
3. 已知数列是等比数列，，，则（ ）
A. 24B. －24C. D. 4
【答案】C
【解析】由于是等比数列，故，因此，
故选：C
4. 下列导数运算错误的是（ ）
A. ，则
B. ，则
C. ，则
D. ，则
【答案】B
【解析】因为，故A正确；
因为，故B错误；
因为，故C正确；
因为，故D正确.
故选：B
5. 可导函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递增
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数在区间上单调递减
【答案】C
【解析】由图象可知，在上，在上，
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
所以在，，上不单调，故A，B，D错误，
在上单调递增，故C正确.
故选：C．
6. 两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由等差数列的性质可得，
，
故选：C．
7. 已知函数在处取得极小值，则的值为（ ）
A. －1或－3B. －1C. 或1D. －3
【答案】B
【解析】由，又函数在处取得极小值，
则，解得或，
当时，，令，则或，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则在处取得极小值，故符合；
当时，，令，则或，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
则在处取得极大值，故不符合，
.
故选：B
8. 数列满足：，若，，则（ ）
A. 1B. －1C. 5D. －5
【答案】D
【解析】由题意可得，
用代替可得：，
两式相加，得，
，
是以6为周期的数列，
，
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由的图象知，当时，，
所以的图象在上单调递增，
且在区间上增长的速度越来越快，
在区间上增长的速度越来越慢.
对于A，函数在区间上增长的速度越来越慢，
在区间上增长的速度越来越快，故A不可能；
对于B，函数在区间上增长的速度越来越快，
在区间上增长的速度越来越慢，故B可能；
对于C，函数在区间上增长的速度越来越快，故C不可能；
对于D，函数在区间上增长的速度越来越慢，故D不可能.
故选：ACD．
10. 在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球．记第堆最底层（第一层）的乒乓球数为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】观察图形，，，，
，故A正确；
又，，，，，故B错误；
当时，
，
也满足，，
故C正确；
，
，
故D正确，
故选：ACD．
11. 数列通项公式的本质是定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数解析式，数列的图象是函数上的离散点．已知，，记数列的前项和为，则（ ）
A. 图象可以由向右平移个单位，再向上平移个单位得到
B. ，使得
C. 当时，取得最小值
D. 数列的最大项的值为
【答案】ABD
【解析】对于A，，
故可以看作是由向右平移个单位，再向上平移个单位而得，故A正确；
作出图象如图1，则数列的图象为双曲线上的一系列点，标记如图2，
对于B，观察图象可知，当时，数列单调递减，
当时，数列也单调递减，但，
所以当时，，故B正确；
对于C，观察图象可知，当时，数列单调递减，
从第3项起为负，当时，数列也单调递减，
但，当时，取得最小值，故C错误；
对于D， 由题意得，
因为，
当时，虽然取最小值－1，
但是，
当或时，，
且当或时，取最小值3，
此时取到最大值，
综上，所以数列的最大项的值为，故D正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点处的切线方程为_____．
【答案】
【解析】因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
所以过点的直线方程为，
即切线方程为.故答案为：.
13. 已知函数，若关于的方程有3个实数解，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【解析】．
可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，有极小值．
作出函数的图象如图，

令，则方程，化成，
即，解得或，
显然有1个实数解，应该有2个实数解，
，实数的取值范围为．
故答案为：.
14. 角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（为正整数），①若，则使得至少需要_____步“雹程”，②若，则所有可能取值的和为_____．
【答案】11；190
【解析】①：当时，根据上述运算法得出：
，
此时共3步，结合题干可知后续还需要8步，故当时，使得需要11步“雹程”；
②：若，用倒推法罗列有：
则，，则或.
①当时，，：
i），；
ii），；
②当时，， 或：
i），或；
ii），或；
，所有可能的取值集合为，
所有可能取值的和为：；
故答案为：11；190．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，不等式在上恒成立，求的取值范围．
解：（1）的定义域为，
，
当时，则，
令，解得或，
和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负及的单调性如表：
函数的增区间为，，减区间为；
（2）当时，，，
在区间上，当时，，当时，，
当时，
函数在上有极小值也是最小值，并且最小值为，
在区间上恒成立，
，
故的取值范围为．
16. 已知在数列中，首项，且满足，数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）证明是等差数列，并求其通项公式；
（3）令，记的前项和为，求．
解：（1），
，
是首项为2，公比为2的等比数列，
，即；
（2）由，
当时，，
当时，，
也满足，
，
当时，，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列；
（3），，
①，
②，
①－②可得，
即，
．
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，棱，且底面，点，．
（1）证明：平面；
（2）若点，且，证明：平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小．
解：（1）在四棱锥中，，底面，
，，
由底面是正方形，得，
以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，
，，，，
，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为得，
，
而平面，平面；
（2）由（1）知，，
由，得，
又，
则，且，，平面，
平面；
（3）由（1）知，，且，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，
所以平面的一个法向量为，
，，而，
则，，
即，，
则平面的一个法向量为，
，
设平面与平面的夹角为，则，
，，
平面与平面的夹角为．
18. 在平面直角坐标系中，曲线上任意一点满足．
（1）求曲线的方程；
（2）直线与曲线交于，两点，
（i）当时，求弦的长度；
（ii）当时，用含的表达式表示三角形的面积，并求的最大值．
解：（1）
表示点到两点，距离和等于4，
大于，两点间的距离，
由椭圆的定义可知，曲线是以，为焦点，
4为长轴长的椭圆， 即，，所以，
所以曲线的方程为；
（2）（i）当时，直线 ，
联立，解得或，
不妨令，，
则，
（ii）联立，
整理可得，
所以，即，
设，，
则，，
所以，
原点到的距离，
所以三角形面积，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取最大值．
19. 设函数．
（1）讨论函数的极值点；
（2）证明：对任意，恒成立；
（3）令，若的前项和为，证明：．
解：（1），
的定义域为，，
当时，，在上单调递增，无极值点，
当时，令，，
，随的变化情况如下表：
从上表可以看出：有唯一的极大值点，无极小值点，
综上，当时，无极值点，
当时，有唯一的极大值点；
（2）由（1）知，当时，在处取得极大值，
，
当时，有，即，
当且仅当时取等号，
（3）由（2）知，，
，


故结论成立．
单调递增
单调递减
单调递增
+
0
－
单调递增
极大值
单调递减