四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设向量，，且，则的值为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】由，可得：，即，
所以，.
故选：A
2. 下列函数中，以2为最小正周期且是偶函数的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，因为，
所以函数为奇函数，故A不符题意；
对于B，函数的最小正周期，
因为，
所以函数为偶函数，故B符合题意；
对于C，因为，
所以函数为奇函数，故C不符题意；
对于D，函数的最小正周期，故D不符题意.
故选：B.
3. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得，即.
故选：D.
4. 的三个顶点的坐标分别为，，，则（ ）
A. 角为直角B. 角为锐角
C. 角为钝角D. 角为钝角
【答案】C
【解析】由三点坐标易得：
，
所以，
又为三角形内角，所以角为钝角，所以ABD错，C对，
故选：C
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，解得，
所以.
故选：C.
6. 某同学坐旋转摩天轮时距地面的高度与时间的部分数据如下表：
用函数模型近似刻画与之间的对应关系，则该同学在第25秒时距地面的高度约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据表格数据可知最大高度为9m，最小高度为3m，
不妨取，因此可得，解得；
数据完成一个周期用时为12秒，因此周期，可得；
因此函数模型为，代入，
可得.
故选：A
7. 在中，，，且，，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】由，得，
即，即，所以，
又为公共点，所以三点共线，且为的中点，
由，得，所以，
又为公共点，所以三点共线，且，
由，，得，，
则
.
故选：D.
8. 已知函数，对任意都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对任意都有恒成立，
只需要即可，
只需要即可，
，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
即实数的取值范围为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，
，故D错误.
故选：AC.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，函数的图象的一个对称中心为
B. 当时，函数的图象的一条对称轴方程为
C. 若函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围为
D. 将函数的图象向右平移个单位所得图象关于轴对称且在区间上为单调函数，则的值为4
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，，因为，
所以不是函数的图象的一个对称中心，故A错误；
对于B，当时，，因为，所以是函数的图象的一条对称轴，故B正确；
对于C，由，得，因为函数在区间上有且仅有5个零点，所以，解得，故C正确；
对于D，由，得，因为在区间上为单调函数，所以，解得，
将函数的图象向右平移个单位，得，
因为函数的图象关于轴对称，
所以，解得，
综上所述，，故D正确.
故选：BCD.
11. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 若函数的定义域为，且满足，当时，，则
B. 在锐角中，角的对边分别为，，，若，，则的面积的取值范围为
C. 在中，若，则角的最大值为
D. 在中，若，，直线与交于点，则
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，所以，
所以函数是以为周期的周期函数，
则，故A错误；
对于B，因为，
所以，
则
，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，故B正确；
对于C，因为，
由正弦定理得，则，
所以，所以，
则，
则，又因为函数在上单调递减，
所以角的最大值为，故C错误；
对于D，设，由，，
得，
所以，
因为三点共线，所以，解得，所以，故D错误.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，，且，则实数________.
【答案】
【解析】由，得
，所以.
故答案为：.
13. 已知海上岛在岛的北偏东方向距离岛5海里处，岛在岛的北偏西方向，岛与岛相距7海里，则岛与岛的距离为________海里.
【答案】
【解析】如图，由题意得，
由余弦定理得，
即，解得（舍去），
所以岛与岛的距离为海里.
故答案为：.
14. 函数的值域为________.
【答案】
【解析】
，
令，则，
故，，
当时，，当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知向量，，若，求实数的值；
（2）已知向量，满足，求与的夹角的大小.
解：（1），
由，
可得：，
解得：，
（2）由，
可得：，可得：，
所以，即，
，
设与的夹角为，
则，
所以，即与的夹角为.
16. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，角的对边分别为，，，且，，，求的面积.
解：（1）易知；
令，
解得；
所以函数的单调递增区间为
（2）由可得，即；
又因为，可得；
所以，解得；
又，;
由余弦定理，
可得,解得，
因此的面积为.
17. 已知矩形.
（1）如图1，若，，点为线段的中点，记，，请用，表示，，并求向量与的夹角的余弦值；
（2）如图2，矩形是半径为1，圆心角为的扇形的内接矩形，点，在半径上，设，求当矩形的面积最大时的值.
解：（1），，
因为，所以，
则，
，
，
所以，
即向量与的夹角的余弦值为；
（2）由题意，
，
则，
所以矩形的面积
，
由题意知，则，
所以当，即时，矩形的面积取得最大值，为.
18. 在中，角的对边分别为，，，且.
（1）若，求角；
（2）若，，求边的中线的长；
（3）若角的内角平分线的长为2，求的最小值.
解：（1）由利用正弦定理可得；
又，因此可得，
又，可得；
由利用正弦定理可得；
即，因此，
即，可得；
所以.
（2）设的外接圆半径为，
由可得；
即，又，因此可得；
由利用正弦定理可得，可得，如下图：
易知，且；
因此，
因此边的中线的长为
（3）若角的内角平分线的长为2，
由等面积法可得，
即，可得，即，
又，
所以；
当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值为18.
19. 已知函数，.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，求函数在区间上的值域；
（3）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
解：（1），
则
，
当且仅当时取等号，所以函数的最小值为；
（2），
令，则，因，
则，又在上单调递增，在上单调递减.
则，又.
则，因在上单调递增，
则，
即函数在区间上的值域为；
（3），
.
则
恒成立，
又，
，
则
恒成立，则
，
令，因，函数在
上递减，在上单调递增，则.
则
，
当且仅当时，即时取等号.则.
所以实数的取值范围为.0
3
6
9
12
15
18
21
24
6
9
5.9
3
6
9
6.1
3
6