福建省龙岩市2025届高三下学期高考模拟教学质量检测数学试题（解析版）

这是一份福建省龙岩市2025届高三下学期高考模拟教学质量检测数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，且向量与的夹角为，则（ ）
A 1B. 2C. 3D.
【答案】B
【解析】因为向量，，且向量与的夹角为，
所以，化简
所以，则.
故选：B.
2. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
由，所以，所以，
所以，
所以.
故选：C
3. 甲、乙、丙三家公司生产同一种产品．三家公司的市场占有率如图所示，且甲、乙、丙三家公司产品的次品率分别为、和．若市场上该产品的次品率为，则（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】设从出厂产品中任取一件，它是次品为事件，
则，
解得.
故选：C
4. 若函数的图像向左平移后得到一个奇函数的图像，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】A
【解析】函数的图像向左平移后得，为奇函数，
所以，
又，所以，
故选：A．
5. 已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在正四棱台中，，，体积为，高为，
故，
则，，
连接、相交于点，、相交于点，
设外接球的球心为，若在台体外，
设到底面的距离为，
则半径为，
即，解得，所以球心与点重合，
若在台体内，到底面的距离为，
则半径为，
即，解得，所以球心与点重合，
综上所述，，故，所以.
故选：C.
6. 已知，当时，有，则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】画出的图象：
对于A，不能同时成立，因为时，函数单调递减，得不到，故A错误；
对于B，如图，当时，有，则可能小于零，也可能大于零，故B错误；
对于C，如图，当时，，故C错误；
对于D，由图象可知，，所以，
又，所以，
所以，故D正确
故选：D.
7. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，为坐标原点．若椭圆上的点满足，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，过点作，垂足为，

由，知，所以，而，
所以，则，
由椭圆定义知，，即，
所以椭圆的离心率为.
故选：A
8. 已知函数（且），是自然对数的底数，函数的导函数为．实数，满足，，当时，实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，
知分别为的极大值点和极小值点，
所以在上单调递减，在上单调递增.
，，
则当时，，
若且时，，与矛盾，不符合题意，
故.
令，该方程有两个不同的解，
则函数图象在R上有两个不同的交点，
作出函数图象，如图，
设过原点且与曲线相切的直线为，切点为，
则，所以，解得，
此时切线的斜率为，
要使函数图象在R上有两个不同的交点，
需，由，解得．
故选：B．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，则（ ）
A. 复数的模长为2
B. 复数在复平面内对应的点在第二象限
C. 复数是方程在复数集内的解
D. 若复数满足，则
【答案】ACD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，复数在复平面内对应的点坐标为，在第四象限，故B错误；
对于C，将代入方程，得，故C正确；
对于D，设复数对应向量为，复数对应的向量为，
由得，，对应点在圆心为半径为1的圆上，
所以，即，故D正确；
故选：ACD．
10. 已知数列的前项和为，则（ ）
A. 若是等差数列，则，，成等差数列
B. 若是等比数列，则，，成等比数列
C. 若，且，则存在数列，使得
D. 若，且，则存在，使得
【答案】AC
【解析】对于选项A：是等差数列，设其公差为d，
因为，，
则
所以，，，成等差数列，故A正确；
对于选项B：例如，则，
可得，，不成等比数列，故B错误；
对于选项C：例如周期数列，满足，且，
此时，故C正确；
对于选项D：因为，且，所以该数列的项奇偶交替，且为整数，
而前项包含个奇数，个偶数，这些项的和为奇数，而为偶数，矛盾，
故D错误；
故选：AC
11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且．过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则（ ）
A. 的值随着的增大而减小B. 双曲线的离心率为
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，双曲线的左顶点为，右顶点为，
渐近线为，在中，
由正弦定理可知，
显然，均为锐角且随着的增大分别减小与增大，
即，随着的增大分别减小与增大且均为正数，
的值随着的增大而减小，故A正确；
对于B，由，则，因为左顶点为，右顶点为，
即，所以，，故B正确；
对于C，显然，且，，故C错误；
对于D，可设双曲线，
在点处的切线方程为，
联立可得，
联立可得，
点为线段的中点，即，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在的展开式中，各二项式系数的和与含的项系数之比为，则的值为______．
【答案】
【解析】由题可知各二项式系数的和为，
由的展开式中的，
根据它们的比为可得：，
故答案为：
13. 在中，，为边上的点，且满足，，则______．
【答案】
【解析】在中，，
由余弦定理得出，
在中，，
所以，则．
故答案为：
14. 棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为______．
【答案】
【解析】在正方体中作出正四面体，
作其中过，，三个顶点的互相平行的平面，如图:
由于相邻两平行平面间距离都相等，不妨求平面与平面间的距离，
其中，，，为正方体棱上的中点，
过作于，则即为两平行平面间的距离，
因为，
所以，
所以，
即相邻平行平面间的距离为.
故答案为：．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：
（1）根据表中的数据，计算相关系数；
（2）求特征量关于的线性回归方程，并预测当特征量为12时特征量的值．
参考公式：相关系数
，．
参考数据：，，．
解：（1）由题意得，，
，
，，
相关系数．
（2）由（1）知，，
，
所求的线性回归方程是．
当特征量为12时，可预测特征量．
16. 已知数列的前项和为，且满足，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）由，，得，又，
数列是首项为，公差的等差数列，
，即，
当时，，且也满足，
，则数列的通项公式为；
（2）由（1）得，
.
17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点．
（1）设，且，，，四点共面，求实数的值；
（2）若平面和平面所成角的余弦值为，求三棱锥的体积．
解：（1）方法一：坐标法（利用共面向量基本定理）
在平面内作，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，，，
，，，，，
又，分别为，的中点，，，
，
，，共面，存在实数，，使得，
即，
，解得；
方法二：坐标法（利用法向量）
在平面内作，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，，，
，，，，，
，
又，分别为，的中点，
，，
设平面的法向量为，
，，令得，
，
又，，共面，
，解得；
方法三：几何法：延长交于，连接，
，分别为，的中点，，
平面，平面，
平面，
又平面平面，
，，又，
四边形是平行四边形，
，，
过作交于，，
又，；
（2）方法一：由（1）得，
又，，
设平面的法向量为，
，解得，令得，
，
设平面和平面所成的角为，
，
整理得，
，，即；
方法一：利用向量法求三棱锥的高，
平面的法向量为，，
设点到平面的距离为，，
平面，又平面，，
又，，、平面，
平面，
又，分别为，的中点，
，，
平面，又平面，，
又，，，
则，
所以；
方法二：几何法：，分别为，的中点，，
平面，平面，平面，
，
，平面，，
.
18. 已知曲线，点为曲线的焦点，点为曲线上一点，且．
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线，若过点的直线与曲线，从左到右依次相交于点，，，．
（i）证明：为定值；
（ii）若直线，（为坐标原点）分别交直线于点，，求的最小值．
解：（1）因，设，则，
即化简得：，解得或（舍），
抛物线的方程为．
（2）（i）由得，圆心，半径为1，
抛物线的焦点与的圆心重合，即为，
显然，直线斜率存在，设直线方程为，设点、，
联立方程，消去并整理得，
，由韦达定理得，．
由抛物线的定义可知，，，．
，
即为定值1；
（ii）由（i）可知：．
，则直线的方程为，
由可得，
同理直线的方程为，由可得，
，
设，，，
当，即，即时，的最小值是．
19. 已知函数，，，…，．
（1）若，，，…，，求的值；
（2）若，集合，集合，为的子集，它们各有个元素，且．设，，，，…，，且，，证明：．
（1）解：，
当时，，当时，
在上单调递减，在上单调递增．
的最小值为，又
设，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
，又，，当且仅当时取等号，
又，则，，故．
（2）证明：，
有一个零点，记，而，
，则．
又，且，
故在上还有一个零点，记为，
由的单调性知，恰有两个零点，，且，
而，为的子集，它们各有个元素，且，则至少有个元素．
而的元素只可能在，，，，…，，之中，这表明它们两两不等，
且，所以包含个正数，个负数．
而，为的子集，它们各有个元素，且，则，．
设包含个负数，个正数，则包含个负数，个正数，
，，，.
，，从而．
，
．
设，则，
设，则，
单调递增，，又，
，所以．
由（1）知，在上单调递减，在上单调递增．
，即，
，
.特征量
第1次
第2次
第3次
第4次
第次
2
5
8
9
11
12
10
8
8
7