福建省龙岩市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（解析版）

这是一份福建省龙岩市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，且，
图中阴影部分表示的集合为.
故选：C.
2. 若角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为角终边上一点，所以.
故选：B.
3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上最大值为”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 若，，，则它们大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以．
故选：D.
5. 若幂函数在区间上单调递增，则函数的过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】为幂函数，且在区间上单调递增，
由题意得且，解得，
故，
令得，则，
所以的过定点.
故选：B.
6. 分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，在另外两个顶点之间画一段劣弧，由这样的三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图所示.已知某勒洛三角形的周长是，则该勒洛三角形的面积是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设等边的边长为，的长度为，解得，
以为圆心，所得的扇形的面积为，
等边的面积为，
勒洛三角形的面积为.
故选：A.
7. 若，，则的值为（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】A
【解析】因为，
又因为，
所以，
所以，
，
则.
故选：A.
8. 若函数，则函数零点个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 无数个
【答案】B
【解析】由，
得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，，
又时，是增函数，即，
记，因此时，，
函数的零点个数，即的正解的个数，即的正解的个数，
即函数与函数的交点个数，
令，它在上是减函数，，，，，当时，，
作出和在上图象，如图，由图可知：
在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有三个交点，
所以的零点个数为3.
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 将函数上所有的点向左平移个单位长度，得到函数
C. 的一个对称中心是
D. 当时，函数的值域是
【答案】AC
【解析】对于A，的最小正周期为，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，是的对称中心，C正确；
对于D，当时，，，D错误.
故选：AC.
10. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，则，故，当且仅当，
即时等号成立，因为在定义域上单调递增，
所以，故A正确；
对于B，由，所以当且仅当，
即时的最小值为8，故B错误；
对于C，由题得，
故
，
所以当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，
当且仅当，即时时等号成立，此时有最小值8，即，
即，
又单调递增且，所以，故D正确．
故选：ACD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 函数为单调减函数
B.
C. 若，使得成立，则
D. 函数（且的与函数的的所有交点纵坐标之和为20
【答案】BD
【解析】对于A，易知当时，，时，
由单调递增可得在以及上分别为单调递减函数，即A错误；
对于B，易知函数满足，
因此可得关于对称，，即B正确；
对于C，由，，即，
即在有解，因为，所以，
所以，所以可得，解得，即C错误；
对于D，画出函数以及的如下图所示：
易知也关于对称，的周期为4，
一个周期与有两个交点，所以与在共20个交点，
即，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______.
【答案】
【解析】.
13. 函数（，）在一个周期内的如图所示，则______.
【答案】
【解析】根据函数（，）在一个周期内图像，
可得，解得，
再根据最高点的坐标，可得，
结合的范围，可得，所以，
所以.
14. 若函数的值域为，且，则的最大值为______.
【答案】
【解析】，
因为，所以，
所以函数值域为，故，
则
，
因为，所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）用定义法证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意的都有成立，求实数的取值范围.
解：（1）证明：取任意，，且，
有，
由，可得，，
所以，即，所以在上单调递增.
（2）由在上单调递增，
可得在上，，
依题意得，，
又，当且仅当，
即，即时取等号，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.
16. 已知函数.
（1）若，且，求的值；
（2）若，且，，求的值.
解：（1），
由，得，又，所以，
所以.
（2）由得，所以，
又，所以.
由于，故，，，
所以，，故，
，
所以
，
又因为，故.
17. 已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若函数的最小值为，求实数的值.
解：（1）由题意得：，即，
所以，
其中
，
所以，解得：.
（2）由（1）得，
所以，
令，当且仅当时取等号，
，
故的最小值为，
等价于，解得：；
或，无解.
综上：.
18. 已知函数，其中，.
（1）若，且是函数的一条对称轴，求的最小值；
（2）若，且存在，，使成立，求的取值范围；
（3）若，，且不等式对恒成立，求的值.
解：（1）当时，，由已知得，
得，由，故当时，有最小正值3.
（2）当时，，其最大值为，
由已知条件，存在，，令，
则函数在区间上至少存在两个最大值点，
则，即，所以的取值范围为.
（3）时，问题转化为：不等式对恒成立，
由，则，
当或时，即或时，，
当时，即时，，
所以当或时，，
当时，，
设函数，则在上单调递增，在上单调递减，
且函数的关于直线对称，所以，
所以，解得，
又由，解得，
所以.
19. 双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数.
（1）证明：；
（2）求证：函数存在唯一零点且；
（3）令，对任意，，都有，求实数的取值范围.
解：（1）证明：右边
，
左边.
所以.
（2）证明：当时，，所以单调递增.
又，由于，而，所以.
又，所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.
当时，，所以，则在上无零点；
当时，，所以，
则在上无零点.
综上，在上有且仅有一个零点，
所以，且，
则.
由函数的单调性得函数在上单调递减，
则，故.
（3）令，
对任意，，都有，求实数的取值范围.
因为对于任意都有成立，
所以成立.
因为当且仅当时等号成立，所以，
即对于任意成立，
又需满足，对于任意成立，则，
由，可得，所以.
式可化为，
即对于任意成立，
即成立，
即对于任意成立，
因为，所以对于任意成立，
即对于任意成立，而，所以，
又，可得，所以的取值范围为.