四川省成都市锦江区2024年九年级中考二诊模拟考试数学试题（解析版）

这是一份四川省成都市锦江区2024年九年级中考二诊模拟考试数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 某植物种子发芽的最适宜温度是，如果低于最适宜发芽温度记作，那么高于最适宜发芽温度应该记作（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵某植物种子发芽的最适宜温度是，如果低于最适宜发芽温度记作，
∴高于最适宜发芽温度应该记作，
故选：A
2. 如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从正面看到的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】从正面看，共有三列，左边一列是三个小正方形，中间和右边一列分别是一个小正方形．
故选：B．
3. 2024年2月，中国载人月球探测任务新飞行器名称已经确定，新一代载人飞船命名为“梦舟”，月面着陆器命名为“揽月”，中国探月工程正向新的目标迈进．已知地球与月球之间的平均距离大约是384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】．
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算正确，符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
5. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：2，4，3，2，5，2，3．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 2，2B. 2，2.5C. 2，3D. 3，3
【答案】C
【解析】∵2出现的次数最多，
∴众数是2．
把这组数据从小到大排序为2，2，2，3，3，4，5．
∵3处于第四位的中间位置，
∴中位数是3．
故选：C．
6. 如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，得，
∴，
∴，即，
解得，
即河宽为，
故选：D．
7. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有x人，银子有y两，可列方程组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，
故选B．
8. 如图，抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 关于x的方程没有实数根
D. 若点在该抛物线上，则
【答案】D
【解析】由题得，，
∴；故A选项错误，不符合题意；
∵对称轴为直线，抛物线与x轴交于点，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
当时，；故B选项错误，不符合题意；
∵抛物线与直线有两个交点，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根；故C选项错误，不符合题意；
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，即当时，抛物线有最大值，
∴；故D选项正确，符合题意；
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9. 分解因式：x2y-4y=____．
【答案】y(x+2)(x-2)
【解析】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，
故答案为：y(x+2)(x-2)．
10. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为____．
【答案】2
【解析】∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：2．
11. 如图，在菱形中，，分别是，上的点，且，连接，．若，，则的大小为____．
【答案】
【解析】∵四边形是菱形，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
12. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则关于x的不等式的解集为____．
【答案】或
【解析】∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，∴，
∴关于x的不等式的解集为或．
13. 如图，在中，按以下步骤操作：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F；③分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点O；④作射线，交直线于点P，连接．若，，则____．
【答案】
【解析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，，
∴．
∵，
即，
∴，
∴．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. （1）；
（2）解不等式组：．
解：（1）原式 ；
（2），
解不等式①得：；
解不等式②得：；
∴不等式组解集为．
15. “岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“A：非遗博览园：B：武侯祠：C：杜甫草堂；D：大熊猫繁育基地：E：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有_____人，在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角是_____度；
（2）补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图；
（3）若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率．
解：（1）调查的总人数为（人），
在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角为；
故答案为：200，36；
（2）∵C组人数为（人），
∴A组人数为（人），
条形统计图补充为：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男同学和一名女同学的结果数为8种，
所以恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率=．
16. 如图，为了测量山坡的护坡石坝坝顶C与坝脚B之间的距离，把一根长为6米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处距离地面的高度为0.6米，又测得石坝与地面的倾斜角为．求石坝坝顶C与坝脚B之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
解：过点C作交延长线于点F．
在中，，
在中，，
，
在中，，
，
答：石坝坝顶C与坝脚B之间的距离为米．
17. 如图，在中，以边为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接交于点F，且．
（1）求证：；
（2）如图1，若，求的值；
（3）如图2，若，求阴影部分的面积．
解：（1）连接，
，
，
，
，
，
为直径，
，
；
（2）连接，
，，
且，
，，
，
，
，
；
（3），
，，
在中，，
，
，
在中， ，
，
，
；
18. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）连接，，点P为反比例函数图象第一象限上一点，连接，，若，求点P的坐标；
（3）已知为x轴上一点，作直线关于点T中心对称的直线，交反比例函数的图象于点E，F，若，求t的值．
解：（1）将代入，得：，
，
反比例函数表达式为：，
联立，求得点；
（2）①延长交图象于点，
反比例函数与正比例函数关于原点O中心对称，
交点B和关于原点O中心对称，
即，
，则，
点即为所求；
②，
取点，连接，，
，
过点Q作平行线交图象于点，
则的函数表达式为，联立，解得，
综上，点P坐标为或；
（3）与x轴交于，
由中心对称可知与x轴交点为，且，
直线函数表达式为，
化简得：，
联立，得：，
，；
，，
，
，
即：，
解得或．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19. 若，则的值为______．
【答案】10
【解析】
，
∵，
∴原式；
故答案为：10．
20. 如图，将沿方向平移得到，随机在与组成的图形中取点，取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为．若，则平移的距离为______．
【答案】
【解析】由平移可得，，，
∴，
∵在与组成的图形中取点，取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为
∴，∴，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
解得 ，
∴，
故平移的距离为，
故答案为：．
21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，直线l经过格点A，B，直线m经过格点C，D，直线n经过格点E，F．点O，Q分别在直线l，n上，连接交直线m于点P，则的值为_____．
【答案】
【解析】取格点H、L、K，连接交直线m于点I，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
连接，则四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
22. 如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安装电子显示屏．已知隧道截面为抛物线型，水平路面宽米，抛物线顶点到距离为12米．根据计划，安装矩形显示屏的高为1米，为了确保行车安全，显示屏底部距离地面至少8米，若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间，则该矩形显示屏的宽的最大长度为________米．

【答案】6
【解析】由题意建立平面直角坐标系如图所示：

由顶点为，
可设抛物线解析式为，
，，解得：，
抛物线的解析式为，
显示屏底部距离地面至少8米，
令，即，
解得：或（不符合题意，舍去），
，
距离左右墙壁各留至少1米的维修空间，
（米），此时是最大值，
故答案为：．
23. 如图，在等边中，，点D是边上一点，且，过点D作于点E，连接，则_____；点F是的中点，连接，过点F作交于点G，则_____．

【答案】
【解析】∵等边中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
如图，作于H，作于M，作于N，延长交于O，

∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴即，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，设，则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．
（1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
解：（1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程解，且符合题意，
∴（元），
答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元．
（2）设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，
根据题意得：，解得：，
又∵为正整数，∴的最大值为62，
答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品．
25. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，二次函数图象的顶点为D．
（1）若，求顶点D的坐标及线段的长；
（2）当时，二次函数的最小值为，求m的值；
（3）连接，，，若，求点C的坐标．
解：（1）当时，，
，
顶点，
令，
则
解得：或
，，
；
（2）二次函数对称轴为直线，
①当时，当时，时函数值最小，
，
，
，所以舍去；
②当时，时函数值最小，
，
，
，
；
③当时，时函数值最小，
，
，
，舍去；
综上所述，；
（3）由整理得：，
，，
，
，
，
过C作x轴平行线l，过D作于点M，
则，
，
，
，
，
，
，，，
∴
，解得：（负值舍），
26. 已知两个矩形，若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上（顶点不重合），我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”．
【模型探究】（1）如图1，矩形是矩形的“衍生矩形”，不连接其它线段，图中有哪几组全等三角形，请写出并任选一组证明；
【迁移应用】（2）如图2，在矩形中，，．点M在线段上，且，点N是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q落在矩形内．连接，，当面积为时，求的长；
【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，．点N是的中点，点M是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q始终落在矩形内（不含边界）．连接，点O是的中点，连接，求长的取值范围（用含a，b的式子表示）．
解：（1），．
矩形和矩形中，
，，
，
，
同理可得：，
，
在和中，，
，
同理可证：；
（2）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，四边形为矩形，则矩形为矩形的“衍生矩形”，
由（1）可知：，
，
，
，
，
由（1）可知：，
又，，，
设，则，，
解得或5，
或5；
（3）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，连接，
四边形为矩形，过点O，
由（1）知：，，
为中点，，
四边形为矩形，，
延长交于点F，则，，，
当最小时，最小；当最大时，最大，
即：当最大时，最小；当最小时，最大，
当Q在上时，，，，
点Q落在矩形内（不含边界），，
在矩形中，，
当最小时，最小，最大，
时，，此时，
，
，
综上，．