山东省临沂市2025届高三下学期5月第二次模拟考试数学试题（解析版）

这是一份山东省临沂市2025届高三下学期5月第二次模拟考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
所以，
故选：A.
2. 若复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意.
故选：A.
3. 已知实数满足，则（ ）
A. 11B. 12C. 16D. 17
【答案】D
【解析】因为，所以.
故选：D.
4. 已知为正项等差数列，若，则的最大值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】，解得，
由于为正项等差数列，则，解得，
，等号成立当且仅当，
所以的最大值为8.
故选：C.
5. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若的图象关于轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意是偶函数，
从而，解得.
故选：B.
6. 已知随机变量，为使在内的概率不小于（若，则)，则的最小值为（ ）
A. 8B. 16C. 32D. 64
【答案】C
【解析】若随机变量，则，，
为使在内的概率不小于，则，解得，
即的最小值为32.
故选：C.
7. 已知，若向量与向量互相垂直，则（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】C
【解析】因为，，显然、、、均不为，
所以，即，所以，
所以，
因为向量与向量互相垂直，
所以
则，又，解得.
故选：C
8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以的三个内角都是，
从而，结合双曲线定义得，故，
又，故，结合，
故由余弦定理得，化简得，解得.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】对于A，，因为，
所以，即，所以，故A正确；
对于B，取，此时，故B错误；
对于C，取，则，故C错误，
对于D，若，则显然成立，
若，则成立，
若，则成立，
综上所述，只要，就一定有，故D正确.
故选：AD.
10 设函数，则（ ）
A. 有3个零点
B. 过原点作曲线的切线，有且仅有一条
C. 与交点的横坐标之和为0
D. 在区间上的取值范围是
【答案】BC
【解析】，
，
所以有2个零点，A不正确；
对于选项B：设切点，则切线方程为，
代入原点，得，
故切线有且仅有一条，正确；
对于选项C：或，
若，根据对称性知，根之和0，
若，方程只有一个根为0，故正确；
对于选项D：，又，
故在区间上的取值范围是，错误.
故选：BC.
11. 三棱锥中，，则（ ）
A. 三棱锥的体积为
B. 三棱锥外接球的表面积为
C. 过中点的平面截三棱锥外接球所得最小截面的半径为1
D. 当时，的最小值为
【答案】ACD
【解析】由题设给定的三棱锥，，
所以，即，又平面，
所以平面，故可将其补全为一个正方体，
其中为三条棱，为体对角线，如下图示，
由，则，A对；
由图，易知三棱锥的外接球，即为正方体的外接球，且球心为的中点，
所以外接球的半径，故其表面积为，B错；
要使过中点的平面截三棱锥外接球所得截面半径最小，
连接，只需截面与垂直即可，此时最小半径为，而，
所以，C对；
构建如图示的空间直角坐标系，又，设，
则，
所以，当时，，D对.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为__________．
【答案】19
【解析】若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为.
故答案为：19.
13. 已知分别为椭圆的左、右焦点，的离心率为，过与长轴垂直的直线交于两点，交轴于点，若，则的周长为__________．
【答案】
【解析】因为离心率，且在椭圆中可得
，，
建立如何所示的平面直角坐标系，
，，
因为垂直于轴，垂足为，故，
代入椭圆方程可得，，
又为与轴交点，可得，
因为，由两点之间的距离公式可得，
又，，
解得，，
则则的周长为
，
故答案为：.
14. 已知正整数，欧拉函数表示、、、中与互质的整数的个数，例如，，，且、互质时，．若从、、、中随机取一个数，则满足的概率为__________．
【答案】
【解析】当时，，，此时；
当时，，，此时；
当时，，，此时；
当时，，，此时；
当时，，，此时；
当时，，，此时；
当时，，，此时；
当时，，，此时；
当时，，，此时；
当时，，，此时.
所以，从、、、中随机取一个数，则满足的数的取值集合为，
故所求概率为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，为等边三角形，．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：因为底面为矩形，所以，
又因为，所以，
又因为平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）解：取中点连接，因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如图所示，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
从而，
设平面的法向量分别为，
从而，，
令，解得，
故可取，
设平面与平面夹角为，则，
故所求为.
16. 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表：
已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为．
（1）求；
（2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值．
附：，
解：（1）因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为，
所以；
（2）零假设：喜爱足球运动与性别无关．
作出列联表如下：
由题，
根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，
也就是说没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关．
（3）现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是，
从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为，则，
所以，
令，解得，
故使事件“”概率最大的的值为20．
17. 已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设函数，已知有两个极值点．
①求的取值范围；
②求证：．
解：（1）对函数求导得，，
若，则，
若，，此时在定义域上单调递增，
若，则，当或时，，当时，，
此时在上单调递增，在上单调递减，
若，则，当或时，，当时，，
此时在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，若，则在定义域上单调递增；
若，则在上单调递增，在上单调递减；
若，则在上单调递增，在上单调递减.
（2）①，
求导得，
因为有两个极值点，所以有两个“变号”零点，
即有两个零点，
令，是一一对应的，
从而有两个零点，
设，该二次函数开口向下，对称轴是，
注意到，所以，
即的取值范围是；
②由（2）①不妨设，即，
等价于，
由韦达定理有，，
，
令，，
所以单调递增，
从而.
18. 对集合，定义集合，记为有限集合元素个数．
（1）若，求；
（2）给定集合的子集，求集合的元素个数；
（3）设为有限集合，证明：．
（1）解：因为中的元素是要么只属于，要么只属于，
所以；
（2）解：设，则，因为，
故符合条件的的个数为.
（3）证明：对任意元素，因为恰属于集合之一，不妨设且．
若，则；若，则．
故，从而．
因此，结论成立．
19. 已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，的最大值为．
（1）求的方程；
（2）已知点，按照如下方式构造点，设直线为在点处的切线，过点作的垂线交于另一点，记的坐标为．
①证明：当时，；
②设的面积为，证明：．
解：（1）抛物线的准线方程为，
由题意可知，所以，解得，
所以的方程为；
（2）①设，因为，
所以点处的切线斜率为，所以直线斜率为，
所以直线，
与联立可得，，
可得，即横坐标为，
所以，
当时，有，
又，故，所以；
②直线的方程为，
点到直线的距离为，
所以，
所以，
由（1）知，即，
所以当时，，
所以当时，，
所以，
当时，，
当时，
，
所以，.0
0
单调增
单调减
单调增
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男生
40
女生
25
合计
100
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男生
40
15
55
女生
20
25
45
合计
60
40
100