北京市海淀区2025届高三下学期期末练习（二模）数学试题（解析版）

这是一份北京市海淀区2025届高三下学期期末练习（二模）数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了 已知向量．若与共线，则， 已知集合．若，且，则， 在的展开式中，的系数为，则， 圆心为且与轴相切的圆的方程是， 设、、，，且，则， 中华人民共和国国家标准等内容，欢迎下载使用。
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知向量．若与共线，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】因为向量．且与共线，
所以得，解得.
故选：A.
2. 已知集合．若，且，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】由题意知，，
因为，
所以.
故选：B
3. 已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，动点满足，
∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，，
∴的轨迹的方程为，
故选：D.
4. 在的展开式中，的系数为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】的展开式通项为，
令，可得，所以的系数为，解得.
故选：A.
5. 圆心为且与轴相切的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为圆心为且与轴相切，所以半径，
则圆的方程为.
故选：D
6. 设、、，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A选项，不妨取，，，则，A错；
对于B选项，不妨设，，，则，B错；
对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对；
对于D选项，不妨设，，，则，D错.
故选：C.
7. 已知等差数列，为等比数列，其中，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵为等差数列且，
∴，
∴，，，
∵为等差数列且，
∴，
∴，，，
∴当时，，当时，，故A、B不正确；
∵，，∴，
故选：C.
8. 已知是非零平面向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，得，故必要性成立；
由，得，得，
不一定成立，故充分性不成立.
所以“”是“”必要不充分条件.
故选：B
9. 在锐角中，，则的一个可能的取值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】在锐角中，，则，又，
所以，
又，所以，所以，
所以，
故符合题意的只有B.
故选：B
10. 中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（ ）（参考数据：）

A. 4.5B. 4.6C. 4.8D. 5.0
【答案】C
【解析】已知当，时，代入，解得.
小明在距离该视力表3米处进行检测,即，代入，求解；
因为题中参考数据已知，；
所以.
所以.
故选：.
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若（为虚数单位），则__________．
【答案】
【解析】因为，又，
所以，则.
故答案为：
12. 抛物线的焦点坐标为________.
【答案】
【解析】由抛物线方程知，抛物线的焦点在上，
由，得，
所以焦点坐标为.
故答案：.
13. 在平面直角坐标系中，若点绕原点逆时针旋转可得到点，则__________，点到直线的距离之和的最大值为__________．
【答案】①. ②.
【解析】因为点，所以，
将点绕原点逆时针旋转可得到点，则且，
所以为等边三角形，所以；
将点绕原点逆时针旋转可得到点，
所以点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以点到直线的距离之和为
，
所以当，
即时，点到直线的距离之和取得最大值.
故答案为：；
14. 已知函数，则的值域为__________，曲线的对称中心为__________．
【答案】①. ②.
【解析】因为，
因为，则，故，即函数的值域为，
因为，
所以，，
因此，函数的对称中心为.
故答案为：；.
15. 如图，在正方体中，，、为上底面（包含边界）内的两个动点，且满足，．给出下面四个结论：
①当与重合时，五面体的体积为；
②记直线分别与平面和平面所成角为、，则的值不变；
③存在、，使得；
④存在、，使得五面体中，所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个彼此相等．
其中，所有正确结论的序号为__________．
【答案】①②④
【解析】对于①，当与重合时，
，①对；
对于②，过点作分别交、于点、，连接、，
过点作分别交、于点、，连接、，
过点在平面内作，垂足为点，
因为，，则，且，故平面，
因为平面，平面，则，
又因为，，、平面，故平面，
故，同理可得，
所以，为定值，②对；
对于③，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、，设点，则，
则，，
所以，，
故不存在、，使得，③错；
对于④，不妨取点，则点，则、，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
所以，，
故底面与平面夹角的余弦值为，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
所以，，
即底面与平面所成夹角的余弦值为，
同理可知，底面与平面所成夹角的余弦值为，
此时，点为棱的中点，则平面平面，
则底面与平面夹角的余弦值为，④对.
故答案为：①②④.
三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数．
（1）若，求及的单调递增区间；
（2）已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期．
条件①：；
条件②：是的一个极值点；
条件③：是的一个零点．
解：（1）因为
，
当时，则，
令，解得，
所以的单调递增区间为；
（2）因为，在区间上单调递增，且，
所以，解得；
若选①：，又在区间上单调递增，
所以关于对称，且点在递增区间上，
则，所以，解得，
又，所以，
则，所以的最小正周期为；
若选②：是的一个极值点，又在区间上单调递增，
所以在处取得最大值，
则，所以，解得，
又，所以，
则，所以的最小正周期为；
若选③：是的一个零点，
则，所以，解得，
又，所以或，
当时，所以的最小正周期为；
当时，所以的最小正周期为；
17. 如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2．
（1）求证：平面；
（2）记直线与平面所成角为．若，求的长．
（1）证明：因为平面平面，平面，平面平面，，
所以平面，又平面，
所以，又，平面，
所以平面.
（2）解：如图，过点作于点，则，
在中，，所以，得.
过点作轴平面，建立如图空间直角坐标系，
设，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，所以，
所以，
解得，即.
18. 某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率．
（1）从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率；
（2）从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求的分布列和数学期望；
（3）假设该市学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为，从学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为，试比较与（1）中的的大小．（结论不要求证明）
解：（1）由表可知200名顾客中愿意购买黑色新品跑鞋的人数为140人，
用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；
（2）用频率估计概率，由表可知从初中生组中抽取1人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为，
从高中生组中抽取1人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为，
由题意的可能取值为，
，
，
.
所以的分布列为
.
（3）小学生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为；
初中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为；
高中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为.
所以.
19. 已知椭圆．设直线交椭圆于不同的两点、，与轴交于点．
（1）当时，求的值；
（2）若点满足且，求的大小．
解：（1）设点、，当时，直线的方程为，
联立可得或，
所以.
（2）设点、，设线段的中点为，
因为，则，且，
联立，可得，
则，
由韦达定理可得，，
则，故点，
所以，，
，
，
又因为，，
因为，则，故.
20. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的极值点个数；
（3）若且时，都有成立，直接写出的取值范围．
解：（1）由题意知，，
，则，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）知，
令，则，
令，则，
又当时，，，
所以，函数在上单调递增，所以，
即，所以函数在上单调递减，
且当时，，所以，且，
当即时，，即，
所以函数在上单调递增，无极值点；
当即时，存在使得，即，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
此时在上有1个极大值点.
综上，当时，在上无极值点；当时，在上有1个极大值点.
（3）由，且，知，
由（2）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
且，所以.
若，则，不符合题意；
当时，在上单调递增，
满足的情况；
由（2）知，gx=f'(x)=-e-xln(x+1)+e-xx+1-a(x>-1)，
，设，
则，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，即，
所以在上为上凸函数，
则，均有，
所以.
21. 记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”：
①，其中；
②⫋，其中；
③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得．
（1）设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
（2）已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明：
（i）当时，；
（ii）．
（1）解：是平衡的，不是平衡的．
理由：，
，，满足，
显然⫋，且对于中的任意两个不同元素，，
都存在唯一的，使得．
故是平衡的，
，
并不是的子集，故不是平衡的．
（2）证明：（i）当时，对于中的每个元素，考虑．
由③知存在唯一的，满足，则．
将每一个对应到，
若，就有，否则且与③矛盾．
所以．
（ii）对中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次），
一方面总个数就是，
另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是，
所以．（＊）
不妨设中最小的（之一）为，
且，由②③知．
再不妨设．
由（i）的证明方法可证：当时，，
由③知，
所以，
又因为，所以都不大于，
全部相加得，
由的最小性知，
结合（＊）可得
，
所以．
颜色
小学生
初中生
高中生
愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
黑色
80
20
40
20
20
20
白色
60
40
30
30
30
10