江苏省苏北七市2025届高三第三次调研测试数学试题（解析版）

这是一份江苏省苏北七市2025届高三第三次调研测试数学试题（解析版），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以，
故选：C
2. 复数满足，则在复平面内，对应的点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】因为，故，
故z对应的点为，
故复数z对应的点在第一象限，
故选：A
3. 第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为（ ）
A. 134.75B. 144.75C. 154.75D. 159.50
【答案】C
【解析】六位选手得分由小到大排列如下：
119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，
因为，
所以该组数据的第40百分位数为第三个数154.75.
故选：C
4. 已知函数，曲线在点处的切线与轴平行，则（ ）
A. －3B. －1C. 0D. 1
【答案】D
【解析】因为，且曲线在点处的切线与轴平行，
所以，解得，
故选：D
5. 在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解析】令，则，
令，则，
以此类推，得，
则数列是以为首项，为公比的等比数列.
若数列是等比数列，设其公比为，则，
所以，，
得，
当时，；
当时，不成立.
所以甲是乙的充分不必要条件.
故选：A
6. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为
，
因为函数的图象关于直线对称，
所以，，
所以，，
所以，.
故选：D
7. 设函数的定义域为是的极大值点，则（ ）
A. 是的极小值点B. 是的极大值点
C. 是的极小值点D. 是的极大值点
【答案】C
【解析】A选项，的图象和的图象关于轴对称，
因为是的极大值点，故是的极大值点，A错误；
BD选项，取，则是的极大值点，
，故不是的极大值点，B错误；
，其为偶函数，在上单调递减，
不是的极大值点，D错误.
C选项，的图象和的图象关于原点对称，
因为是的极大值点，故是的极小值点，C正确.
故选：C
8. 已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】设，，
因为椭圆的离心率，则，
由，则，
即，解得，则，，
又，则，
即，
解得，所以.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】因为，所以，故A正确；
因为，故B正确；
因为，故C错误；
因为 ，故D正确.
故选：ABD
10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，直线交于，两点，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为D. 到的距离的最大值为
【答案】AC
【解析】A：由题意知，双曲线的渐近线方程为，
要使直线与双曲线交于点，需，故A正确；
B：由双曲线的定义知，
又点关于原点对称，所以四边形为平行四边形，
有，所以，故B错误；
C：设，则（或），得，
又，所以，
则，
即的最小值为-3，故C正确.
D：，易知当时，，则到直线的距离为0；
当时，到直线即的距离为，
又且，所以，则，
即到直线的距离小于，故D错误.
故选：AC
11. 定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，则（ ）
A. B. 面积的最大值为
C. 当时，D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】设角所对的边长为
由三角形的面积公式可得，
所以，由余弦定理，可得，所以，故A正确；
由，又，所以，
所以，所以，且仅当时取等，B正确；
设边上的中点分别为，在上取一点M，在上取一点，
由两点间线段最短可得，当且仅当
四点共线时取等，所以，又，
所以，解得，所以，，所以，故C错误；
由前可知，，当且仅当时取等，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若随机变量，则______．
【答案】
【解析】由，，得；
所以，
所以，又，
所以，解得.
故答案为：
13. 已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______．
【答案】
【解析】由函数满足，则，所以的周期为，
由，则，
可得的图象如图，
方程的解，即为与的交点横坐标，
且当时，
由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为.
故答案为：
14. 某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为______．
【答案】
【解析】由轴截面为等边三角形的高为6，易得圆锥的母线长与底面圆的直径均为．
小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环，
可知扇环的半径为，，扇环所在扇形的圆心角为，
所以扇环其面积为；
在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为其面积为．
综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成．
（1）先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率；
（2）在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望．
解：（1）设事件A为“选甲队”，事件B为“选乙队”，事件C为“选中男生”
则
（2）从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队,X的可能取值为1、3、5，
则,,
故分布列为：
数学期望为
16. 已知数列是等差数列，记其前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列与的所有项从小到大排列得到数列．
①求的前20项和；
②证明：．
解：（1）设等差数列的公差为，
由，得，即，
由，取，得，即，
解得，，所以；
（2）①由（1）知，，所以，
因为，
所以，所以；
②证明：因为，所以，
所以当时，；
当时，
，
综上可得.
17. 如图，在直三棱柱中，点在上，．
（1）证明：平面；
（2）若，二面角的大小为．
①求与平面所成角的正弦值；
②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度．
（1）证明：在直三棱柱中，平面ABC,
因为平面，所以
又因为，，平面，
所以平面
（2）解：①在直三棱柱中，平面，，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设,
设平面的法向量，
由，取，得，
所以平面的一个法向量，
又平面的法向量，
所以，解得
所以，
所以
设与平面所成角为，则
②因为，
所以
因为三棱锥的体积为，
所以到平面的距离为
因为在侧面上，可设,
到平面的距离为，
即轨迹方程为，而,
所以在侧面上的运动轨迹是线段，
所以的轨迹长度为.
18. 设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，．
（1）求曲线的方程；
（2）设直线的方程为，求直线的斜率；
（3）若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值．
解：（1）抛物线的焦点为，
由为线段的中点，可得，
所以曲线的方程为；
（2）设，，，，
联立，消去x整理得，解得，，
则，，
因为，则，
因，，则，所以，
所以，，即，直线的斜率为；
（3）因为，，，，
所以，，
因为，所以
因为，，，，
所以，①
由代入①得，
由得，
因为，，所以，所以，同理，
所以且，
所以，因为，所以，
所以，得，即，
设，联立消去x，得，
所以，所以，则，所以过定点，
则，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以四边形面积的最小值为
19. 记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”.
（1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由；
（2）设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围；
（3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”.
（1）解：函数和＂2次缠绕＂，
理由如下：，当和时，，
则对任意，
当且仅当和时，等号成立，
所以由＂次缠绕＂定义可知和在上＂2次缠绕＂．
（2）解：设，
因为和在上＂3次缠绕＂，
所以存在互异的三个正数，使得，
当且仅当时等号成立，
所以是的三个零点．
注意到，所以1是的一个零点．
，
①当时，在上单调递增，
1是的唯一零点，不合题意．
②当时，在上单调递减，
1是的唯一零点，不合题意．
③当时，令，存在两根，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，因为，
设，因为，
所以上单调递减，所以，即，
所以存在．
又，
所以存在．
所以恒成立，
即时，和在上＂3次缠绕＂，
综上，的取值范围是．
（3）证明：方法一：取，
设，
令，
显然，且，
当且仅当时，等号成立．
所以对任意，
存在，
其中，
使得，且和在上＂次缠绕＂．
方法二：记，取，
设，其中，则，
且当时，，
因为，
所以与同号，（＊）
为奇数时，设，
显然，且，
当时，与同号，
由（＊），（＊＊）式知，对给定，任意，与同号；
所以．
为偶数时，设，
同理可知，，且和“次缠绕”．
综上，存在，使得，
且和在上“次缠绕”X
1
3
5
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