福建省安溪俊民中学2024−2025学年高一下学期第一次质量检测 数学试题（含解析）

这是一份福建省安溪俊民中学2024−2025学年高一下学期第一次质量检测 数学试题（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
2．角的终边所在直线经过点，则有
A．B．C．D．
3．下列四个函数中，周期为π的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等B．若满足且与同向，则
C．对于任意向量，必有D．平行向量不一定是共线向量
5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
6．已知函数，则（ ）
A．B．C．1D．
7．已知是两个相互垂直的单位向量，且向量，则（ ）
A．B．C．D．
8．在平行四边形中，，，，，则（ ）
A．1B．C．2D．3
二、多选题（本大题共3小题）
9．与终边相同的角有（ ）
A．B．C．D．
10．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是边的中点
B．若，则点在边的延长线上
C．若，则点是的重心
D．若，且，则的面积是的面积的
11．函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的解析式为
B．函数的单调递增区间为
C．函数的图象关于点对称
D．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，那么 .
13．在等腰直角三角形中，，则 .
14．若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，且为第一象限角，为第二象限角，求的值.
16．化简求值：
（1）化简：
（2）求值，已知，求的值
17．已知，，且与的夹角为120°，求：
(1)；
(2)若向量与平行，求实数的值．
18．某公园内有一块半径为15m的扇形空地如图所示，其中一侧靠墙，，公园准备在扇形空地上靠墙修建一个矩形广场，记．

(1)写出矩形广场的面积与之间的函数关系式；
(2)求矩形广场面积的最大值，并求出此时的大小．
19．在边长为4的等边中，D为BC边上一点，且.

(1)若P为内部一点（不包括边界），求的取值范围；
(2)若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】命题“”的否定为：，
故选A.
2．【答案】D
【详解】由题意，角的终边所在直线经过点，可得的终边在第二象限或第四象限，
又由，
当的终边在第二象限时，取点时，
可得；
当的终边在第四象限时，取点时，
可得，
所以.
故选D.
3．【答案】D
【详解】函数周期为；函数周期为；函数周期为；函数周期为.
故选D.
4．【答案】C
【详解】A，方向相同，模相等的向量为相等向量，单位向量的方向不一定相同，故A错误；
B，向量模能比较大小，向量不能比较大小，故B错误；
C，根据向量加法的几何意义可得，故C正确；
D，平行向量也是共线向量，故D错误.
故选C.
5．【答案】C
【详解】解：因为，
所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选C.
6．【答案】B
【详解】解：由题意得：
由可得：
故选B.
7．【答案】A
【详解】法一：由题意得，
所以，则；
法二：因为是两个相互垂直的单位向量，且向量，
所以不妨设，则，
故，则，
故选A．
8．【答案】D
【详解】如图：
以为基底，则，，.
且，，
所以.
故选D.
9．【答案】BCD
【详解】与终边相同的角可表示为，
时，为；时，为；时，为；
故选BCD.
10．【答案】ACD
【详解】A中：,即：
,则点是边的中点
B. ,则点在边的延长线上，所以B错误.
C.
设中点D,则,，由重心性质可知C成立.
D．且设
所以，可知三点共线，所以的面积是面积的
故选择ACD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，由图可知，，可得，
由，则，
两式相减得：
，
所以①，
又因为，
所以，结合①，，
因为，
所以，
所以，故A正确；
对于B，，
解得：，故B正确；
对于C，令，解得：，
函数的图象关于点对称，所以C不正确；
对于D，将函数向右平移个单位得到，向上平移一个单位长度可得，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】若，
，，，
那么.
13．【答案】
【详解】由题得,
.
14．【答案】
【详解】因为，由，得到，
所以或，
所以或，
又因为存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，所以
且，即且，解得.
15．【答案】
【详解】因为为第一象限角，为第二象限角，，，
所以，，
所以.
16．【答案】（1）；（2）
【详解】（1）原式，
（2）原式
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
所以.
（2）由于向量与平行，
所以存在实数，使得，
所以，解得.
18．【答案】(1)
(2)面积最大值为，此时.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，
则
所以．
（2），因为，
所以，所以当，即时，．
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）取的中点，连接，则，
因为，
可得，
又因为，即，
所以，
故的取值范围为.
（2）由题意可得：，
则，
若，即，可得，
因为，
所以，
又因为三点共线，则，且，
可得，
所以，即，可得，即，
所以，
当，即时，实数k的最大值为.