福建省安溪龙门中学2024−2025学年高一下学期第一次质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份福建省安溪龙门中学2024−2025学年高一下学期第一次质量检测 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，，，则（ ）
A．6B．4C．-6D．-4
2．若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，点是上靠近点的四等分点，设，则（ ）
A．B．
C．D．
5．“”是“向量与向量的夹角为钝角”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．已知在中，M是线段BC上异于端点的任意一点．若向量，则的最小值为（ ）
A．6B．12C．18D．24
7．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．已知，若，则D．与夹角的余弦值为
10．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．曲线关于直线对称
C．在区间上有4个零点D．在区间内单调递减
11．如图，在边长为6的等边中，，点在以为直径的半圆上（不含点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
三、填空题（本大题共3小题）
12．设，若，则 ．
13．已知，则 ．
14．已知是圆的直径，，是圆上两点，且，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设都是第二象限的角，已知 .
(1)求的值；
(2)求的值.
16．已知，.
(1)设向量，的夹角为，求的值；
(2)求向量在向量上的投影向量；
(3)若和互相垂直，求k的值.
17．设，是两个不共线的向量，已知，，．
(1)求证：，，三点共线；
(2)若，且，求实数的值．
18．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 当时，求的取值范围.
19．如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
(1)若向量的“完美坐标”为，求；
(2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
(3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，x∈R，求的值域.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，，，所以，，
则．
故选C.
2．【答案】A
【详解】将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得，
再将图象向右平移个长度单位，得.
故选A.
3．【答案】A
【详解】在方向上的投影向量是，
故选A.
4．【答案】D
【详解】如图所示，

在中，.
已知点是上靠近点的四等分点，所以.
在中，，代入，可得.
.
又因为，，所以.
故选D.
5．【答案】C
【详解】若夹角为钝角，则且不反向共线，
则，解得且，
因为是的真子集，
所以“”是“向量与向量的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选C.
6．【答案】C
【分析】根据三点共线的结论可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可得答案.
【详解】由题意M是线段BC上异于端点的任意一点，向量可得，
且，，所以，
当且仅当，结合，即，时，等号成立，
故的最小值为18．
故选C.
7．【答案】D
【详解】由于，且，
则，
整理得，
则，
整理得，
所以.
故选D.
8．【答案】C
【详解】因为，所以，
因为函数在区间上至少有3个零点，
所以，解得，所以的取值范围是.
故选C.
9．【答案】BC
【详解】对于A，易知，所以不垂直，即A错误；
对于B，，可得，可得B正确；
对于C，由且可得，解得，即C正确；
对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误.
故选BC.
10．【答案】AD
【详解】A选项，的最小正周期为，的最小正周期为，
两者的最小公倍数为，故的最小正周期为，A正确；
B选项，，
故曲线不关于直线对称，B错误；
C选项，，
令得，故或，
因为，所以的解为，，，，，
的解为，，，
综上，在区间上有5个零点，C错误；
D选项，
当时，，，
即，所以在区间内单调递减，D正确.
故选AD.
11．【答案】ABD
【详解】，A正确;
因为点在以为直径的半圆上，所以，所以，B正确；
，C错误；
过点作交于点，过点作交于点，易得为的中点，
因为，所以，则，由图可知在上的投影向量为，即为，D正确．
故选ABD.
12．【答案】/
【详解】设，
若，则，则．
13．【答案】-1
【详解】将平方可得①，
将平方可得②，
将①②两式相加可得，
所以.
14．【答案】
【详解】如图：
设，因为、为圆上的点，且，
所以点也在圆上.所以.
又为圆的直径，所以.
所以.
当与方向相反的时候取“”.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为都是第二象限的角，由可得，
由可得，
则.
（2）因为，，
则.
16．【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）∵，，
∴，，，
∴.
（2）向量在向量上的投影向量为.
（3）由题意得，，，
∵和互相垂直，
∴，即，
解得或.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由已知，得．
因为，所以.
又与有公共点，所以，，三点共线．
（2）由（1），知，若，
且，可设（），
所以，即．
又，是两个不共线的向量，所以，解得．
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由图可得，
函数的最小正周期为，又，则，
所以，
又因为，得，
因为，则，所以，解得，
所以.
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，
可得到函数，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
则.
当时，则，所以，则.
所以的值域为.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可；
（2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证；
（3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域.
【详解】（1）因为的“完美坐标”为，则，
又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，
所以,，
所以.
（2）由（1）知，
所以
，
即.
（3）因为向量，的“完美坐标”分别为，，
由（2）得.
令，则，
因为x∈R，所以，即，
令，
因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的值域为.
【思路导引】本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可.