广西百色市平果市铝城中学2024-2025学年高二上学期开学收心考试数学试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：）如下：
110 120 123 428 174 190 318 235 165 432
则这10种零食的分位数是（ ）
A．235B．165C．373D．200
2．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：（，为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可知（ ）
A．B．1C．D．
3．在△中，，则＝( )
A．±B． C．－D．
4．正方体的棱长为1，则它的内切球与外接球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
5．设，为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．角的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在的终边上，点，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．或D．或
7．已知平面向量、的夹角为135°，且为单位向量，，则（ ）
A．B．C．1D．
8．抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件A，“三次试验恰有1次正面向上”为事件B，“三次试验恰有2次正面向上”为事件C，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件 D，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B互斥B．A与D相互独立
C．A与C相互独立D．C与D对立
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分。
9．从甲袋中摸出一个红球的概率为，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球.下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为D．2个球中恰有1个红球的概率为
10．三角形中，角的对边分别为，下列条件能判断是钝角三角形的有（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，正方体的棱长为2，则（ ）
A．平面
B．平面
C．异面直线与BD所成的角为60°
D．三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在中，内角的对边分别为a，b，c，若，则 .
13．根据党中央关于精准脱贫的要求，我市某部门派四位专家各自在周一､周二两天中任选一天对某县进行调研活动，选择周一､周二可能性相同，且四位专家周一或是周二去互不影响，则周一､周二都有专家参加调研活动的概率为 .
14．一个底面直径是的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了且无溢出，则这个球的表面积是 ．
四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在中，已知为的中点，，，.
(1)求的面积；
(2)求的长.
16．（15分）如图，在三棱柱中，⊥，AB＝AC＝1，D是BC的中点．
（1）求证：//平面；
（2）若面⊥面ABC，，求几何体的体积．
17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.
（i）求证:；
（ii）若，，求CD的长.
18．（17分）某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示频率分布直方图.
(1)求图中x的值；
(2)求这组数据的中位数、平均数；
(3)已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率.
19．（17分）如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点．
(1)证明：；
(2)若，直线与直线所成角的余弦值为．
（ⅰ）求直线与平面所成角；
（ⅱ）求二面角的余弦值．