湖北2024~2025学年高一数学第一学期第一次练习试题｛含答案｝

这是一份湖北2024~2025学年高一数学第一学期第一次练习试题｛含答案｝，共15页。试卷主要包含了 已知函数定义域为，则定义域是， 设函数,则， 已知命题，命题q， 下列命题，其中正确的命题是等内容，欢迎下载使用。
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式求出集合，再由并集概念求解即可得出结果.
【详解】对于集合，由,解得，
又∵，∴.
又∵，
∴满足条件的集合可能为，，，，，，，，共8个．
故选：C．
2. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本不等式求解最值即可求解.
详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立，
所以不等式恒成立，故，故，
故选：D
3. 若函数的值域是，则函数的值域是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件，结合不等式性质求的范围即可.
【详解】因为函数的值域是，
所以，
所以，
所以，
所以，
故函数的值域是.
故选：C
4. 已知函数定义域为，则定义域是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据的定义域为，可得的范围，也是的范围，解出的范围即是的定义域.
【详解】因为的定义域为，
，对于函数有，解得定义域为.
故选：
5. 设函数,则
A. 3B. 1C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接代入求解即可.
【详解】因为，所以．
故选：A．
6. 已知命题，命题q：不等式的解集为，则p成立是q成立的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式不等式以及一元二次解求解，为真命题时的范围，即可结合逻辑关系求解.
【详解】由得，
由不等式的解集为，所以或者，解得，
综上为真时，，
故成立是既不充分也不必要条件，
故选：D
7. 若函数的值域为，则实数m的取值范围是（）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围.
【详解】因为函数的值域为，
所以能取遍所有大于或等于零的实数，
即方程在实数范围内有解．
所以，解得．
故选：B．
8. 已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意利用二次函数的单调性求的取值范围．要使对任意的，都有，只要成立即可，进而列出不等式即可求出结果．
【详解】二次函数的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又已知在上单调递减，
所以，可得.
因函数在上单调递减，在上单调递增，
又，由对称性可知，
所以当时，取得最大值，即最大值为，
在当时取得最小值，即最小值为，
要使对任意的，都有，只要成立即可，
所以，解得，
又，所以的取值范围，即.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题，其中正确的命题是（）
A. 函数的最小值为2
B. 若，则的值为1
C. 函数的减区间是
D. 已知在上是增函数，若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数单调性的定义和复合函数单调性法则依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对于A选项，因为，所以，故A错误；
对于B选项，若，则，，则，故B正确；
对于C选项，解不等式得，所以函数的定义域为，开口向下，对称轴为，所以函数的减区间是，故C错误；
对于D选项，由得，由于在上是增函数，故，所以，故D正确.
故选：BD.
10. 定义运算，设函数，则下列命题正确的有（）
A. 的值域为
B. 的值域为
C. 不等式成立的范围是
D. 不等式成立的范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】求得的解析式，画出的图象，由此判断的值域，并求得不等式的解.
【详解】由函数，有，
即，作出函数的图像如下，
根据函数图像有的值域为，所以A选项正确，B选项错误.
若不等式成立，由函数图像有
当即时成立，
当即时也成立.
所以不等式成立时，.所以C选项正确，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】本小题主要考查分段函数图象与性质，属于中档题.
11. 已知正数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】设，求出，利用对数的运算及换底公式计算判断A；利用作商法计算判断B；利用作差法计算判断CD.
【详解】依题意，设，则，，
对于A，，A正确；
对于B，，而，即有，则，
又，，即有，则，
所以，B正确；
对于C，由选项A知，，得，
则，C错误；
对于D，，
因此，D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数f(x)＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．
【答案】2.
【解析】
【分析】由奇函数定义，列出等式可求得b的值，由奇函数定义域的对称性可列式求得a的值.
【详解】因为函数为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，所以－2a＋3a－1＝0，所以a＝1.
又，所以b＝1.故a＋b＝2.
【点睛】本题考查奇函数的定义以及奇函数定义域的特点，注意由解析式判断函数奇偶性要利用定义法，判断函数奇偶性的第一步就是要判断函数定义域是否关于原点对称.
13. 函数的值域为___________．
【答案】.
【解析】
【分析】令，则函数可变形为，然后结合其定义域利用单调性即可值域.
【详解】易知函数的定义域为，令，则，函数可变形为，此时函数在上单调递增，可得函数的值域为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查函数值域的求法，本题用换元法较合适，属中等难度题.
14. 设a、b分别是方程与的根，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数与互为反函数，图象关于对称，联立与，即可根据对称求解.
【详解】由可得，由可得，
所以是与的交点横坐标，
是与的交点横坐标，
由于函数与互为反函数，图象关于对称，
联立与可得，
故，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，全集
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交集与补集的运算求解即可；
（2）分与由条件列不等式求范围即可.
【小问1详解】
当时，，
所以或，又，
所以.
【小问2详解】
由题可得：当时，有，
解得a的取值范围为；
当时有，解得a的取值范围为，
综上所述a的取值范围为.
16. 已知函数.
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
对研究：
（1）分类讨论和，时，应该有；
（2）分类讨论和，时，应该有；
【详解】（1）函数的定义域为，
即在上恒成立。
当时，得或.
当时，显然在上不能恒成立，故舍去；
当时，恒成立；
当，即时，则.
解得或
综上可得，实数的取值范围为.
（2）设的值域为，
的函数值要取遍所有的正数，
即是值域的子集.
当时，得或.
当时，符合题意；
当时，不符合题意；
当时，函数为二次函数，
即函数的图象与轴有交点且开口向上，
则，解得.
综上可知，实数的取值范围为
【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域和值域．掌握对数函数的性质是解题基础．解题时注意对真数多项式中最高次项系数需分类讨论．
17. 某企业现有，两条生产线，根据市场调查，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，．假定且．
（1）求实数，，的值；
（2）该企业现有万元资金全部投入，两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．
【答案】（1），
（2）生产线投资万元，生产线投资万元时，企业获得最大利润，利润的最大值为为万元.
【解析】
【分析】（1）由，，列关于的方程，解方程可得结论；
（2）设生产线投入万元，由条件求企业获得的总利润，再求其最大值.
【小问1详解】
因为，，
，，
所以，，，
所以，
所以，，
【小问2详解】
设生产线投入万元，则生产线投入万元，设企业获得利润为,
则，，
所以，
所以，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以生产线投资万元，生产线投资万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为为万元.
18. 已知函数为对数函数，并且它的图象经过点，函数在区间上的最小值为，其中.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的最小值的表达式；
（3）是否存在实数同时满足以下条件:①；②当的定义域为时，值域为.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）答案见解析（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）代入点的坐标，求出的值，从而求出的解析式；
（2）设，通过讨论的范围，求出函数的最小值即可；
（3）根据对数函数的性质求出，得到矛盾，从而判断结论．
【小问1详解】
设且)，的图象经过点，，
即，，即，.
【小问2详解】
设==，，，，
即，则===，对称轴为，
当时，在上是增函数，；
当时，在上减函数，在上是增函数，；
当时，在上是减函数，，
综上所述，=
【小问3详解】
，.
的定义域为，值域为，且为减函数，，
两式相减得，，，得，
但这与“”矛盾，故满足条件的实数不存在.
19. 若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”．
（1）函数是否有“飘移点”？请说明理由；
（2）证明函数在上有“飘移点”；
（3）若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围．
【答案】（1）不存在，理由见详解
（2）证明见详解（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意整理得，通过判断该方程是否有解；
（2）根据题意可得，构建函数，结合零点存在性定理分析证明；
（3）根据题意整理得，利用换元结合基本不等式运算求解.
【小问1详解】
不存在，理由如下：
对于，则，整理得，
∵，则该方程无解，
∴函数不存在“飘移点”.
【小问2详解】
对于，则，整理得，
∵在内连续不断，且，
∴在内存在零点，则方程在内存在实根，
故函数在上有“飘移点”.
【小问3详解】
对于，则，即，
∵，则，
令，则，
∴，
又∵，当且仅当，即时等号成立，
则，，
∴，即，
故实数a的取值范围为.