2025届安徽省安庆市高三第三次模拟考试数学模拟试题（三模）含解析

这是一份2025届安徽省安庆市高三第三次模拟考试数学模拟试题（三模）含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
2．等比数列中的，是函数的极值点，，则（ ）
A．1B．C．D．
3．已知向量满足,,且,则（ ）
A．1B．C．D．2
4．曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．1
5．已知函数满足，当时，，则（ ）
A．2B．4C．8D．18
6．正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
7．已知点在圆上，A（，0），，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
8．已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（ ）
A．事件，为互斥事件B．事件B，C为独立事件
C．D．
10．设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，无极值点
C．，使在上是减函数
D．图象对称中心的横坐标不变
11．如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若，则直线与直线所成角的最小值为60°
D．若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 .
13．已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数 ．
14．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列中，，设为前n项和，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和
16．如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.

(1)证明：；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局．
(1)如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
(2)如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为．
①求甲获胜的概率；
②求．
18．已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由.
19．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若，求的值；
(3)求证.
答案
1．【正确答案】C
【详解】由题意知，
令，
所以复数的共轭复数为，
故选C.
2．【正确答案】A
【详解】由求导得.
由或；
由.
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
所以函数的极大值点为，极小值点为.
由题意可知，所以.
故选A.
3．【正确答案】A
【详解】因为，则，
又因为，
由得，
则，则，
故选A.
4．【正确答案】A
【详解】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为
故选A.
5．【正确答案】C
【详解】因为，所以．
因为，所以．
故选C.
6．【正确答案】B
【详解】
如图作出正四棱台的轴截面图，可知这个等腰梯形的内切圆就是内切球的最大圆，
根据，设球的半径为，则由直角三角形中的勾股定理得：
，
利用等面积法：，
可得：，
解得：，
再由棱台体积公式得：，
由球的体积公式得：，
所以正四棱台与球的体积之比是：，
故选B.
7．【正确答案】B
【详解】设，，，则，
整理后，
与已知轨迹方程展开整理得：，
对照，得，解得，所以.
则当、、三点共线时取得最小值
故选B.
8．【正确答案】A
【详解】因为，由可得，即函数的定义域为，
可得，
即，
构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，
所以，可得，则，
即，其中，令，其中，
则，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，解得.
综上，
故选A.
9．【正确答案】ACD
【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；
由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错；
，C正确；
事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确．
故选ACD．
10．【正确答案】BD
【详解】对于A，当时，，求导得，
令得或，由，得或，由，
得，于是在，上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误；
对于B，，当时，，即恒成立，
函数在上单调递增，无极值点，B正确；
对于C，要使在上是减函数，则恒成立，
而不等式的解集不可能为，C错误；
对于D，由，
得图象对称中心坐标为，D正确.
故选BD.
11．【正确答案】ABD
【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，
所以，即 ，
所以，又，
所以，
所以，所以，故A正确；
因为，，所以点在直线上，
又因为，，所以四边形是平行四边形，
所心，又平面，平面，所以平面，
所以到平面的距离为定值，又的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
点为的中点，坐标为，点的坐标为 ，
向量，向量，
设直线与直线所成的角为，
，
又因为，当 时，，
即直线与直线所成角的最小值为，故C错误；
因为三棱锥即为三棱锥，又底面是直角三角形，
过的中点作平面，是三棱锥外接球的球心，
因为平面，所以，又，
所以三棱锥外接球的半径，
因为点在平面内，又在三棱锥外接球的表面上，
所以 的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆，
又易得到平面的距离为1，所以截面圆的半径为，
所以 的轨迹的周长为 ，故D正确.
故选：ABD.
12．【正确答案】
【详解】 因为，所以，
所以.
13．【正确答案】
【详解】因为，所以，
所以，又，
所以在处的切线方程为：，
又切线方程过原点，把代入得，
解得：．
14．【正确答案】
【详解】设与轴交点，连接， 由对称性可知，，如图所示，
又∵，∴，∴．
又∵，∴，
在中， ，∴，∴ ，
由，且三角形的内角和为，
，即，则
综上， ．
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）数列中，，为前n项和，
当时，，，
当时，①，
②，
由②-①得：，，
即，
当时，，递推可得：，，，，
由累乘法可得：，
，又因为，所以，即，经检验，当时符合上式，
所以；
（2）由（1）可知，，所以：
，
所以
；
所以数列的前n项和.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取中点，连接
平面平面，平面平面平面
平面
平面

，即
又平面平面
平面
（2）连接，设，连接
平面平面，平面平面
，易知
取中点，连接，则两两互相垂直.
分别以为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系

则
，
，
设平面的一个法向量
则即令，则
设直线与平面所成角为，则
即直线与平面所成角的.正弦值为
17．【正确答案】(1)
(2)①；②．
【详解】（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各胜一局，并且第3，4局甲胜，
概率为；4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各胜一局，并且第3，4局乙胜，概率为，所以恰好4局结束比赛的概率为．
（2）①在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：
若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为；
若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，
根据全概率公式，，同理，，，，
由，，得，
与联立消去，得，
又，，得，
与联立消去，得，
所以甲获胜的概率为．
②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：
若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要局，共进行了局；
若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局，
则，即，
同理，即，
，即，
，即，
，即
联立与，得，
联立与，得，
代入，得，
所以．
18．【正确答案】(1)
(2)是，MN的中点为
【详解】（1）由题意得，，又，
解得，，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，，
因为直线经过且与椭圆交于BC两点，所以直线BC的斜率一定存在，
故设直线BC的方程为：，其中，
由得：，
，得；
x1+，，
又因为直线AB的方程:，得，
同理
由+=
=
=
故MN的中点为.
19．【正确答案】(1)在处取得极小值，无极大值；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得最值；
（2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值；
（3）利用放缩法，由，可知若证，即证，再根据，可得证.
【详解】（1）当时，，，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，无极大值.
（2）由题意得，
①当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，与矛盾；
②当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
因为恒成立，所以，
记，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以，
又因为，
所以，
所以.
（3）证明：先证，
设，则，
所以在区间上单调递减，
所以，即，
所以，
再证，
由（2）可知，当时等号成立，
令，则，
即，
所以，，，
累加可得，
所以.