2024-2025学年福建省部分优质高中高二下学期第二次阶段合格性质量检测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省部分优质高中高二下学期第二次阶段合格性质量检测数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共19小题，每小题5分，共95分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M=0,2,4,6,8，N={x∣00>b，则( )
A. a−b0C. a2>b2D. 1a>1b
6.已知x∈R，则x2+4x2+1的最小值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.已知x∈R，则“x=2”是“x2>1”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知向量AB=(−2,2 3),CD=(2,0)，则向量AB在向量CD上的投影向量为( )
A. −2B. 2C. (−2,0)D. 12,− 32
9.已知函数f(x)=x+1,x≥0x2,xc>aB. c>b>aC. c>a>bD. b>a>c
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
20.若sinα=3csα，则tanα的值为
21.i是虚数单位，则3−2i1+i=a+bi(a,b∈R)，则a+b的值为 ．
22.向量a,b是两个单位向量，夹角为π3，则a⋅(a−b)= ．
23.某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长(单位：小时)范围是[2,12]，数据分组为[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12].这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为 人.
三、解答题：本题共3小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
24.(本小题11分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AC与BD交于点O，PA⊥平面ABCD，且PA=2．

(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)求PD与平面PAC所成角的大小．
25.(本小题12分)
已知函数f(x)=xα+1x的图象经过2,52．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
26.(本小题12分)
记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asinA=bsinC．
(1)若A=π3，证明：▵ABC是等边三角形；
(2)若2 2sinA=2sinB+sinC，求csA．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.B
5.D
6.C
7.B
8.C
9.A
10.A
11.B
12.D
13.D
14.A
15.C
16.B
17.C
18.B
19.A
20.3
21.−2
22.12/0.5
23.68
24.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，则PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC；
(2)解：连接PO，如图所示：
∵BD⊥平面PAC，
∴∠DPO为PD与平面PAC所成的角，
∵AB=PA=2，四边形ABCD是正方形，
所以AO=DO= 2，
∴PO= PA2+OA2= 6，
在Rt△DPO中，tan∠DPO=DOPO= 2 6= 33，
因为，
，
即PD与平面PAC所成的角为π6．
25.(1)因为函数f(x)=xα+1x的图象经过2,52，
所以f(2)=2α+12=52，解得α=1，
所以f(x)=x+1x；
(2)函数f(x)为 xx≠0上的奇函数．
由(1)可知f(x)=x+1x,(x≠0)，
由于x≠0，其定义域关于原点对称，
f(−x)=−x−1x=−x+1x=−f(x)，
所以f(x)为奇函数．

26.(1)
证明：由A=π3，
可得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc，
因为asinA=bsinC，
由正弦定理可得a2=bc，
所以b2+c2−bc=bc，
即b2+c2−2bc=b−c2=0，
可得b=c，
结合A=π3，所以▵ABC为 等边三角形；
(2)
解：因为2 2sinA=2sinB+sinC，
由正弦定理得2 2a=2b+c，
平方可得8a2=4b2+c2+4bc，
又因为a2=bc，
可得8bc=4b2+c2+4bc，
可得(2b−c)2=0，
所以2b−c=0，即c=2b，
则a= bc= 2b，
由余弦定理，可得cs A=b2+c2−a22bc
=b2+4b2−2b22b×2b=34．