福建省部分优质高中2024_2025学年高二下学期入学质量检测数学试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
注意：全部选对的得6分，第9、10题选对其中一个选项得3分，第11题选对其中一个选项得2分。有错选的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．3 13．1941 14．272
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分，第一小题5分，第二小题8分）
解：（1）由题意知根据已知得到动点M到6, 0的距离等于到直线x=−6的距离，
即动点M的轨迹是以6, 0为焦点，x=−6为准线的抛物线，
所以轨迹C的方程为y2=24x.
（2）设Ax1, y1,Bx2, y2，则y12=24x1,y22=24x2,
两式相减得y12−y22=24x1−x2，整理可得y1−y2x1−x2=24y1+y2.
因为线段AB的中点坐标为4,−2，所以y1+y2=−4，
所以直线l的斜率k=y1−y2x1−x2=24−4=−6，
故直线l的方程为y+2=−6x−4，即6x+y−22=0经检验满足题意.
16．（本题满分15分，第一小题5分，第二小题10分）
解：（1）连接AC，交BD于点O，连接OE，
因为ABCD是矩形，所以O是AC的中点，
又因为E是PC的中点，所以PA ∥ OE，
因为PA⊄平面BDE, OE⊄平面BDE， 所以PA ∥平面BDE.
（2）因为PD⊥底面ABCD，DA⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
所以PD⊥DA，PD⊥DC，又DA⊥DC，所以DA,DC,PD两两垂直；
因此以D为原点，DA, DC, DP所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B2, 23, 0, D0, 0, 0, E0, 3, 32, C0, 23, 0，
则DB=2, 23, 0, DE=0, 3, 32，
设平面DEB的一个法向量n=x,y,z，
则n⋅DB=2x+23y=0n⋅DE=3y+32z=0，设z=2，则y=−3, x=3，则n=3, −3, 2，
因为DA⊥PD，DA⊥DC，DP∩DC=D，PD, DC⊂平面DEC，
所以DA⊥平面DEC，因此，平面DEC的一个法向量为DA=1, 0, 0，
设平面DEB与平面DEC的夹角为θ，则csθ=m⋅DAmDA=39+3+4×1=34，
所以平面DEB与平面DEC的夹角的余弦值为34.
17．（本题满分15分，第一小题5分，第二小题10分）
解：（1）设数列an的公比为q，则由已知得1q+q=52，
整理可得2q2−5q+2=0，分解因式可得2q−1q−2=0，
解得q=12或q=2，又q0，
∴y1+y2=−2mnm2+4，y1y2=n2−4m2+4，
∴x1+x2=my1+y2+2n=8nm2+4 ，x1x2=m2y1y2+mny1+y2+n2=4n2−4m2m2+4，
∵kAMkAN=−34，∴y1x1+2⋅y2x2+2=−34，即y1y2x1x2+2x1+x2+4=−34，
∴n2−4m2+44n2−4m2m2+4+16nm2+4+4=n2−44n2−4m2+16n+4m2+16=n2−44n2+16n+16=−34，
解得n=−1或n=−2（舍）．
当n=−1时，满足Δ=16m2−16+64>0，此时MN的方程为x=my−1，故直线MN过定点(−1, 0)．
19．（本题满分17分，第一小题5分，第二小题6分，第三小题6分）
解：（1）因为AB⊥AC，PB⊥AC，
PB∩AB=B，PB, AB⊂平面PAB，则AC⊥平面PAB，
又AC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD；
（2）取AB的中点M，连接PM，因为△PAB是等边三角形，所以PM⊥AB，
又平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，PM⊂平面PAB，
所以PM⊥平面ABCD，
因为MB, MG⊂平面ABCD，PM⊥MB，PM⊥MG，
取BC的中点G，连接MG，则MG//AC，由AB⊥AC，得MG⊥MB，
所以PM, MB, MG两两垂直，
以M为原点，MB, MG, MP，所在直线分别为x, y, z轴，建立空间直角坐标系，
因为BC=2AB=2，由勾股定理得AC=BC2−AB2=4−1=3，
所以B12, 0, 0，P0, 0, 32，C−12, 3, 0，D−32, 3, 0，A−12, 0, 0，
PA=−12, 0, −32，PD=−32, 3, −32，CD=−1, 0, 0 ，
设平面PAD的法向量为n=x1, y1, z1，
则PA⋅n=−12x1−32z1=0PD⋅n=−32x1+3y1−32z1=0，令z1=1，得x1=−3，y1=−1，则n=−3, −1, 1，
C到平面PAD的距离d=CD⋅nn=35=155.
（3）连接EF，因为AC//平面BEQF，平面BEQF∩平面PAC=EF，所以AC//EF，
不妨设PE=λPA，则PF=λPC，0