黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 为等差数列 的前 项和，已知 ，则 为（ ）
A. 25 B. 30 C. 35 D. 55
【答案】D
【解析】
【分析】由题意及等差数列的性质可得 的值，而 ，代值计算即可．
【详解】由题意及等差数列的性质可得 ，解得 ，
.
故选： ．
2. 已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】设等比数列 的公比为 ，根据题意可得出关于 、 的方程组，解出 的值，即可得
出 的值.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，
上述两个等式相除得 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，故 .
故选：B.
3. 在等差数列 中，前七项之和为 30，最后七项之和为 110，前 项之和是 230，则项数 为（ ）
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
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【答案】C
【解析】
【分析】由题意及等差数列的性质可得 的值，再利用等差数列的前 项和公式求出项数 的值.
【详解】由题意易得 ，
两式相加得 ，即 ，
所以 ，所以 ，
故选：C.
4. 数列 中， ， ，则 值为（ ）
A. B. C. 5 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据递推关系可判断数列为周期数列，进而求得 .
【详解】在数列 中， ，
则 ，
因此数列 是周期数列且周期为 3，由 ，得 ，
所以 .
故选：D
5. 在递增的等比数列 中， ， ，则数列 的公比为（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
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【分析】由等比数列的性质有 ，易知 是方程 的两个根，再由已知及等
比数列的通项公式求公比.
【详解】由题设 ，易知 是方程 的两个根，
又 为递增的等比数列，所以 ，故公比 .
故选：B
6. 已知数列 的前 n 项和为 ，满足 ，则 =（ ）
A. 11 B. 31 C. 61 D. 121
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用公式 ，判断数列 是等比数列，再代入公式，即可求解.
【详解】令 ，得 ，得 ，
由 ，
当 时， ，两式相减得，
，即 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
故选：D.
7. 在数列 中， ， （ ），则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合递推关系，利用累乘法求数列 的通项公式，再利用裂项相消法求结论.
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【详解】因为 （ ， ），
所以当 ， 时， ，
则 ，…， ， ，
以上 个式子左右两边分别相乘得 ，
即 ，所以 （ ， ），
又 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
8. 已知斜率为 的直线过抛物线 的焦点 ，且从上到下与 依次交于 两点，
，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到 的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得
到结果.
【详解】
由于 ，直线 方程为 ，
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联立方程 ，消去 得 ，
显然 ，得 ，
所以 ，即 .
故选：D.
二、多选题
9. 已知数列 的通项公式为 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】计算 即可判断 AB 选项，计算出 即可判断 CD 选项.
【详解】因为 以 ，
，所以 A 错误，B 正确；
，故 C 正确；
因为 ，所以 ，所以 ，故 D 错误．
故选：BC.
10. 已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与 C 的右支相交于 M，N 两点，
则（ ）
A. 直线 l： 与 C 恰有两个公共点
B. 若 ，则 的面积为
C. 双曲线 E： 的焦点在以 为直径的圆上
D. 若 ，则 的周长为 28
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【答案】BC
【解析】
【分析】A 选项，求出渐近线方程，由直线 l 与渐近线平行得到 A 正确；B 选项，设 ，
，由双曲线定义和余弦定理得到 ，由三角形面积公式得到 B 正确；C 选项，求出以 为直
径 的 圆 的 方 程 ， 焦 点 坐 标 在 圆 上 ， C 正 确 ； D 选 项 ， 由 双 曲 线 定 义 和 得 到
，求出三角形周长.
【详解】对于 A，双曲线 C： 的一条渐近线的方程为 ，
故直线 l： 与该渐近线平行，故直线 l 与 C 恰有一个公共点，A 错误；
对于 B，设 ， ，由 可知点 M 在 C 的右支上，
由双曲线定义得 ，又 ，故 ，
在 中，由余弦定理得 ，
解得 ，所以 的面积为 ，B 正确；
对于 C，由已知得 ， ，以 为直径的圆的方程为 ，
E： 的焦点为 ，很显然， 在圆 上，C 正确；
对于 D，由双曲线定义知 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 的周长为 ，D 错误．
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故选：BC．
11. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ，则下列说法正确
的有（ ）
A. 数列 为等差数列
B. 数列 为等比数列
C
D. 若 ，则数列 前 项和
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用等比数列的定义可判断 AB 选项；求出数列 的通项公式，利用分组求和法可判断 C 选项；
利用错位相减法结合分组求和法可判断 D 选项.
【详解】因为数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ，
对于 A 选项，由已知等式变形可得 ，且 ，
所以， ，所以，数列 是首项和公比均为 的等比数列，
故 ，A 错；
对于 B 选项，由已知等式变形得 ，且 ，
所以，数列 是首项和公比均为 的等比数列，则 ，B 对；
对于 C 选项，由 可得 ，
所以，
，C 对；
对于 D 选项， ，
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记 ，
则 ，
这两个等式作差得
，
所以， ，
故
，D 对.
故选：BCD.
三、填空题
12. 已知各项为正数的数列 是等比数列，且其前 n 项和为 .若 ， ，则公比 ______.
【答案】2
【解析】
【分析】利用等比数列的前 项和公式与通项公式即可求得结果.
【详解】若 ， ，则 ，
，
所以 ，由 ，解得 .
故答案为： .
13. 已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点，若 的周长
为 10，则 的离心率为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由已知可得 ，再由 的周长为 10，可得 ，求出 ，从而可求出离心率.
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【详解】由椭圆方程 可得 ，得 ，
因为 是 上一点，所以 ，
因为 的周长为 10，
所以 ，得 ，
所以 的离心率为 .
故答案为：
14. 若数列 的通项公式为 ，则数列 的前 项和为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用分组求和法，结合等比数列求和公式和等差数列求和公式求结论.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： .
四、解答题
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15. 已知数列 为等差数列， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 前 项和的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得等差数列 的首项和公差，从而求得 .
（2）由 以及等差数列的单调性求得数列 前 项和的最大值．
【小问 1 详解】
设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由 ，解得 ，
而 ，数列 是单调递减数列，
所以等差数列 的前 项为正数，从第 项起为负数，
所以 时，数列 前 项和的最大值为 .
16. 如图所示，在四棱锥 中， 平面
为 上一点，且 .
（1）证明： 平面
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（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用空间向量研究线面关系即可；
（2）利用空间向量计算面面夹角即可.
【小问 1 详解】
以点 为坐标原点， 分别为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 .
，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，则 .
又 ，可得 ，因为 平面 ，所以 平面 .
【小问 2 详解】
易知 ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 .
设平面 与平面 夹角为 ，
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则
故平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
17. 已知抛物线 ，斜率为 的直线 交抛物线于 两点，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）试探究：抛物线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理
由.
【答案】（1）
（2）存在， 和
【解析】
【分析】（1）由 在抛物线上，代入求出 ，即可求出抛物线 的方程；
（2）设 ，求出直线 并与抛物线 的方程联立，求出 点坐标，将 转化为
，求出 并检查是否符合题意即可.
【小问 1 详解】
由 在抛物线上，则 ，解得 ，
因此可得抛物线 的方程为 .
【小问 2 详解】
存在点 在抛物线 上，
设点 ，
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由直线 的斜率为 ，且过 ，
则直线 的方程为： ，即 ，
联立 ，可得 ，解得 ，或 ，
即可得 点的纵坐标为 ，代入 ，得 ，即 ，
若 ，则 ，即 ，
又 ，
则可得 ，
整理得， ，解得 ，或 ，或 ，或 ，
当 时， 与 重合，舍去，
当 时， 与 重合，舍去，
当 时， ，
当 时， ，
综上知，抛物线 上存在点 ，为 和 时， .
18. 已知 为数列 的前 n 项和， ，且 且 .
（1）证明： 是等比数列，并求数列 的通项公式;
（2）若 ，记 为数列 的前 n 项和，求证： .
【答案】（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）当 时，可得 ，进而两式相减，可得 ，进而可得
是等比数列，可求通项公式；
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（2）利用裂项相消法可求得 ，进而可证结论.
【小问 1 详解】
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，可得 ，
两式相减并整理得 ，所以 .
又 ，所以 ，又 ，满足上式，
所以数列 是以 为首项，2 为公比 等比数列，
所以 ，所以 ；
【小问 2 详解】
由（1）知 = ，
所以
.
因为 ，所以 递增，所以 ，即 .
19. 某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立．
（1）若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得 3 分，负者获得 1 分；②连续 2 局获胜或积分率先达到 11
分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为 ．求甲乙决出冠军时比赛局数 X
的分布列与数学期望 ；
（2）若每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ．已知甲乙进行了 n 局比赛且甲胜了 13
局，试给出 n 的估计值（X 表示 n 局比赛中甲胜的局数，以使得 最大的 n 的值作为 n 的估计值）．
（3）若每局比赛甲获胜的概率为 ，规定在 场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其
概率为 ，试说明 的单调性并给出证明．
【答案】（1）分布列见解析，
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（2）21 （3）单调增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）讨论极端情况，若刚开始连胜，则 局结束，若一直没有连胜，则最多比赛 局，再具体讨论
每种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可解决；
（2）每场比赛是相互独立的，则 服从二项分布 ，求出 ，再求最值即
可；
（3）该模型符合马尔科夫链，得出 和 之间的递推关系即可判断.
【小问 1 详解】
（1）由比赛规则可知，1 局比赛后，甲乙双方共获得 4 分，若比赛进行了 4 局还未结束，
则双方共计 16 分，此时双方均为 8 分，则第 5 局比赛后必定有一人积分可达到 11 分，
故比赛次数不会超过 5；
由比赛规则可知，若比赛共进行了 n 局，（ ），
即随机事件 “第 i 局比赛中甲获胜” ，
，
，
，
．
于是 X 的分布列为：
X 2 3 4 5
P
故 ；
【小问 2 详解】
（2）易得 ， ， ，
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记 ，则 ，
由 ，得 ，即 ， ； ，
，
故 时， 最大，所以 n 的估计值为 21．
【小问 3 详解】
在 场比赛中甲获胜概率为 ，则在 场比赛中甲获胜概率为 ，记乙在每场比赛是获胜概率
为 ，则
由已知 ，所以 单调增
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