四川省遂宁市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
2. 某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（ ）
A. B.
C. D.
3. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷次，第5次和第8次某一面朝下的概率分别记为，，则，的大小关系为（ ）
A. ，的大小由确定B.
C. D.
5. 已知圆，圆，则圆与圆位置关系是（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含
6. 已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
7. 某地区今年举行了校园足球联赛.赛季结束后的数据显示：甲学校足球代表队（下称甲队）每场比赛平均失球数是1.3，每场失球个数的标准差是1.2；乙学校足球代表队（下称乙队）每场比赛平均失球数是1.9，每场失球个数的标准差是0.5.下列说法中正确的是（ ）
A. 平均来说乙队比甲队防守效果好
B. 甲队比乙队技术水平更稳定
C. 甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好
D. 甲队每场比赛必失球
8. 已知点集，分别表示曲线，，若，有四个公共点，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列说法中，正确是（ ）
A. 直线的一个方向向量为
B. ，，三点共线
C. 直线（其中）必过定点
D. 经过点，倾斜角为的直线方程为
11. 在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为，记的轨迹为，则下列描述正确的是（ ）
A. 当时，曲线是以原点为圆心，半径为1圆
B. 当时，点所在曲线的焦点在轴上
C. 当时，过点的直线与曲线至少有一个公共点
D. 当时，直线与曲线有两个不同公共点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若与互相垂直，则实数的值为___________.
13. 已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为_____.
14. 已知三棱柱，点在内，，，分别为三边一个三等分点，为面的一个法向量，且.若到面的距离为2，则_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知椭圆长轴长为8，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程.
16. 已知直线，圆（点为圆心）.
（1）若直线与圆相切，求实数的值；
（2）当时，判断直线与圆是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为，并求的面积，如果不相交，请说明理由.
17. 甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步比赛，甲、乙各有一个不透明的盒子，甲的盒子里面有2个红球1个白球，乙的盒子里面有2个红球3个白球，这些球只有颜色不同.每一轮比赛的规则是：甲、乙同时各自从自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到红球，甲向前走一步，否则原地不动；如果乙摸到白球，乙向前走一步，否则原地不动.各自摸球后都放回自己的盒子中.
（1）经过多轮比赛后，试估计甲、乙走步数谁多？说明理由？
（2）以频率作为概率，试求2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率.
18. 如图，等腰梯形的高为2，，，是上靠近的三等分点，如图①所示，将沿折起到的位置，使得，如图②所示，点在棱上.
（1）求证：直线平面；
（2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若平面与平面所成的锐二面角为，求的值.
19. 已知抛物线的焦点为，第一象限内的一点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线的另一个交点为，求的面积（其中为坐标原点）；