2023年山东省菏泽市中考数学试卷

这是一份2023年山东省菏泽市中考数学试卷，共7页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2B．a2•a3＝a5
C．（2a3）2＝2a6D．（a+b）2＝a2+b2
3．（3分）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．（3分）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．c（b﹣a）＜0B．b（c﹣a）＜0C．a（b﹣c）＞0D．a（c+b）＞0
5．（3分）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则的值为（ ）
A．B．﹣3C．3D．
7．（3分）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等腰直角三角形
8．（3分）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．﹣≤c＜1B．﹣4≤c＜﹣3C．﹣≤x＜6D．﹣4≤c＜5
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）
9．（3分）因式分解：m3﹣4m＝ ．
10．（3分）计算：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝ ．
11．（3分）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 ．
12．（3分）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．
13．（3分）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，则∠EGC＝ 度．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 ．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区城内.）
15．（6分）解不等式组．
16．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x，y满足2x+y﹣3＝0．
17．（6分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF．
18．（6分）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的侧角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）．
19．（7分）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟），分为如下五组：A组：50≤x＜75，B组：75≤x＜100，C组100≤x＜125，D组：125≤x＜150，E组：150≤x＜175．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．
根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：
（1）A组数据的中位数是 ，众数是 ；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是 度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（2）一般运动的适宜心率为100≤x＜150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
20．（7分）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y＝在第一象限的图象于点C（a，1）．
（1）求反比例函数y＝和直线OC的表达式；
（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
21．（10分）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：BC＝DE；
（2）P是上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；
（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．
23．（10分）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
24．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x＝﹣．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+FP的最大值．
2023年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.
1．（3分）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2B．a2•a3＝a5
C．（2a3）2＝2a6D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则以及完全平方公式分别判断即可．
【解答】解：A、原式＝a3，故本选项计算错误，不符合题意；
B、原式＝a5，故本选项计算正确，符合题意；
C、原式＝4a6，故本选项计算错误，不符合题意；
D、原式＝a2+2ab+b2，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方以及完全平方公式，掌握运算法则及乘法公式是解题的关键．
3．（3分）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】由平行线的性质可得∠3＝∠1＝20°，从而可求∠2．
【解答】解：如图，
由题意得：∠CAD＝60°，
∵AB∥DE，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°，
∴∠2＝∠CAD﹣∠3＝40°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
4．（3分）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．c（b﹣a）＜0B．b（c﹣a）＜0C．a（b﹣c）＞0D．a（c+b）＞0
【分析】由数轴可得a＜0＜b＜c，然后得出b﹣a，c﹣a，b﹣c，c+b与0的大小关系，再根据有理数乘法法则进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得a＜0＜b＜c，
则b﹣a＞0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，c+b＞0，
那么c（b﹣a）＞0，b（c﹣a）＞0，a（b﹣c）＞0，a（c+b）＜0，
则A，B，D均不符合题意，C符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴的关系，结合数轴得出b﹣a，c﹣a，b﹣c，c+b与0的大小关系是解题的关键．
5．（3分）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．
【解答】解：从正面看有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、1、1．
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．
6．（3分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则的值为（ ）
A．B．﹣3C．3D．
【分析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣3；x1x2＝﹣1．
∴
＝
＝
＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
7．（3分）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等腰直角三角形
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由 a2+b2＝c2 的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．
【解答】解：由题意得，
解得，
∵a2+b2＝c2，且a＝b，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负 数均为0，和勾股定理逆定理．
8．（3分）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．﹣≤c＜1B．﹣4≤c＜﹣3C．﹣≤x＜6D．﹣4≤c＜5
【分析】由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，根据二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”转化为y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，求Δ≥0，再根据x＝﹣3和x＝1时两个函数值大小即可求出．
【解答】解：由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，
在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y和y＝3x至少有一个交点，
令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，
则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣12+c，代入y＝3x得y＝﹣9，
∴﹣9＞﹣12+c，解得c＜3；
把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，
∴3＞﹣2+c，解得c＜5，
综上，c的取值范围为：﹣4≤c＜5．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）
9．（3分）因式分解：m3﹣4m＝ m（m+2）（m﹣2） ．
【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（m2﹣4）＝m（m+2）（m﹣2），
故答案为：m（m+2）（m﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10．（3分）计算：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝ 1 ．
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：|﹣2|+2sin60°﹣20230
＝2﹣+2×﹣1
＝2﹣+﹣1
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
11．（3分）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 ．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中是偶数的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中是偶数的结果有5种，
∴是偶数的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 6π （结果保留π）．
【分析】先根据正八边形的性质求出圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：由题意得，∠HAB＝＝135°，AH＝AB＝4，
∴S阴影部分＝＝6π，
故答案为：6π．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形内角和的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
13．（3分）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，则∠EGC＝ 80 度．
【分析】先根据正方形的性质可得∠ABC＝90°，从而可得∠EBC＝35°，然后根据旋转的性质可得：BE＝BF，∠EBF＝90°，从而可得∠BEF＝∠BFE＝45°，最后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABE＝55°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝35°，
由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∵∠EGC是△BEG的一个外角，
∴∠EGC＝∠BEF+∠EBC＝80°，
故答案为：80．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质，以及正方形的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 ﹣2 ．
【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，证得∠DFA＝90°，于是得到点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，据此解答即可．
【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，
∵∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠ADF＝∠BAE，
∴∠DFA＝∠ABE＝90°，
∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，
∵AD＝4，
∴，
∴，
∴线段BF的最小值为﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了勾股定理，平行线的性质，圆周角定理，根据题意得到点F的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区城内.）
15．（6分）解不等式组．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＜2.5，
解不等式②，得：x≤，
∴该不等式组的解集是x≤．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
16．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x，y满足2x+y﹣3＝0．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：（+）÷
＝
＝
＝2（2x+y），
∵2x+y﹣3＝0，
∴2x+y＝3，
∴原式＝2×3＝6．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．（6分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF．
【分析】根据平行四边形的性质AB＝CD，∠A＝∠D，∠BAD＝∠BCD，进而利用角平分线得出∠BAE＝∠FCD，利用ASA证明△ABE与△CDF全等解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠D，∠BAD＝∠BCD，
∵AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F，
∴∠BAE＝∠FCD，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义；熟练掌握平行四边形的性质，证出∠BAE＝∠FCD是解题的关键．
18．（6分）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的侧角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）．
【分析】过P作 PH⊥AB于H，过C作CG⊥PH于Q，而 CB⊥AB，则四边形 CQHB是矩形，先解Rt△APH，求出PH，AH，得到CQ的长度，再解Rt△PQC，得到PQ的长
即可解决问题．
【解答】解：如图所示：
过P作 PH⊥AB于H，过C作CG⊥PH于Q，而 CB⊥AB，
则四边形 CQHB是矩形，
∴QH＝BC，BH＝CQ，
由题意可得：AP＝80，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝70，
∴PH＝APsin6°＝80×＝40，AH＝AP cs60°＝40，
∴CQ＝BH＝70﹣40＝30，
∴PQ＝CQ••tan30°＝10，
∴BC＝QH＝40﹣10＝30，
∴大楼的高度BC为30m．
【点评】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键．
19．（7分）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟），分为如下五组：A组：50≤x＜75，B组：75≤x＜100，C组100≤x＜125，D组：125≤x＜150，E组：150≤x＜175．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．
根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：
（1）A组数据的中位数是 69 ，众数是 74 ；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是 54 度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（2）一般运动的适宜心率为100≤x＜150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
【分析】（1）分别根据中位数、众数的定义可得A组数据的中位数和众数；用A组频数除以A组所占百分比可得样本容量，用360°乘B组数据所占比例可得在统计图中B组所对应的扇形圆心角度数；
（2）先求出C组频数，即可补全学生心率频数分布直方图；
（3）用2300乘样本中C组和D组所占百分比即可．
【解答】解：（1）把A组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74，
故A组数据的中位数是：＝69，众数是74；
由题意得，样本容量为：8÷8%＝100，
在统计图中B组所对应的扇形圆心角是：360°×＝54°．
故答案为：69，74，54；
（2）C组频数为：100﹣8﹣15﹣45﹣2＝30，
补全学生心率频数分布直方图如下：
（3）2300×（30%+）＝1725（名），
答：估计大约有1725名学生达到适宜心率．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、众数、中位数以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（7分）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y＝在第一象限的图象于点C（a，1）．
（1）求反比例函数y＝和直线OC的表达式；
（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于点D，先证△CBD∽△BAO，求出点C的坐标，即可求出反比例函数的解析式和直线OC的解析式；
（2）先求出直线l的解析式，然后与反比例函数的解析式组成方程组，求出方程组的解即得出直线l与反比例函数图象的交点坐标．
【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠BDC＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BDC＝∠AOB，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
∴△CBD∽△BAO，
∴，
∵A（0，4），B（2，0），C（a，1），
∴AO＝4，BO＝2，CD＝1，
∴，
∴BD＝2，
∴OD＝BO+BD＝4，
∴a＝4，
∴点C的坐标是（4，1），
∵反比例函数过点C，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为；
设直线OC的解析式为y＝mx，
∵其图象经过点C（4，1），
∴4m＝1，
解得，
∴直线OC的解析式为；
（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，
∴直线l的解析式为，
由题意得，，
解得，，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或（2，2）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数交点问题，熟知反比例函数与一次函数的交点坐标就是两个解析式组成的方程组的解．
21．（10分）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
【分析】（1）设垂直于墙的边为x米，根据矩形面积公式得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，由二次函数性质可得答案；
（2）设购买牡丹m株，根据学校计划购买费用不超过5万元，列不等式可解得答案．
【解答】解：（1）设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为（120﹣3x）米，
根据题意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，
∵﹣3＜0，
∴当x＝20时，S取最大值1200，
∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，
∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；
（2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，
∵学校计划购买费用不超过5万元，
∴25m+15（2400﹣m）≤50000，
解得m≤1400，
∴最多可以购买1400株牡丹．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：BC＝DE；
（2）P是上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；
（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．
【分析】（1）由D是 的中点得 ＝由垂径定理得＝得到 ，根据同圆中，等 弧对等弦即可证明；
（2）连接OD，证明△ACB∽△OFD，设⊙O的半径为r，利用相似三角形的性质得r＝5，AB＝2r＝10，由勾股定理求得BC，得到 ，即可得到 ；
（3）过点B作 BG⊥CP 交CP于点G，证明△CBG是等腰直角三角形，解直角三角形得到 ，由 得到 ，解得 ，即可求解．
【解答】（1）证明：∵D是 的中点，
∴，
∵DE⊥AB且AB为⊙O的直径，
∴，
∴，
∴BC＝DE；
（2）解：连接OD，
∵，
∴∠CAB＝∠DOB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DFO＝90°，
∴△ACB∽△OFD，
∴，
设⊙O的半径为r，
则 ，
解得r＝5，经检验，r＝5是方程的根，
∴AB＝2r＝10，
∴，
∴，
∵∠BPC＝∠CAB，
∴；
（3）解：如图，过点B作BG⊥CP交CP于点G，
∴∠BGC＝∠BGP＝90°，
∵∠ACB＝90°，CP是∠ACB 的平分线，
∴∠ACP＝∠BCP＝45°，
∴∠CBG＝45°，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟 练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
23．（10分）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
【分析】（1）由矩形的性质得∠C＝∠ADE＝90°，再证∠AED＝∠DFC，即可得出结论；
（2）证Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），得DE＝CF，再证△DCF≌△DCH（SAS），得∠DFC＝∠H，然后由平行线的性质得∠ADF＝∠DFC，即可得出结论；
（3）延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，△ADE≌△DCG（SAS），得∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，再证△DFG是等边三角形，得FG＝DF＝11，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，
即CF的长为3．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
24．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x＝﹣．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+FP的最大值．
【分析】（1）由题易得c的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答；
（2）过B′作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到 AB'＝AB＝5 ，由 AB'＝AB＝5＝2AH，推出 ，解直角三角形得到OD的长，即可解答；
（3）求得BC所在直线的解析式为 y1＝﹣4x+4，设 P（m，﹣m2﹣3m+4），设PE所在直线的解析式为：y2＝﹣x+b2，得 ，令 y1＝y2，解得 ，分别表示出FG和 ，再 对 进行化简计算，配方成顶点式即可求解．
【解答】解：（1）抛物线与y轴交于点C（0，4），
∴c＝4，
∵对称轴为 ，
∴，b＝﹣3，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）如图，过 B'作x轴的垂线，垂足为H，
令﹣x2﹣3x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣4）＝5，
由翻折可得AB′＝AB＝5，
∵对称轴为 ，
∴，
∴AB'＝AB＝5＝2AH，
∴∠AB'H＝30°，∠B'AB＝60°，
∴，
在Rt△AOD中，，
∴；
（3）设BC所在直线的解析式为 y1＝k1x+b1，
把B、C坐标代入得：，
解得：，
∴y1＝﹣4x+4，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝45°，
∵∠AEB＝90°，
∴直线PE与x轴所成夹角为 45°，
设 P（m，﹣m2﹣3m+4），
设PE所在直线的解析式为：y2＝﹣x+b2，
把点P代入得 ，
∴，
令 y1＝y2，则﹣4x+4＝﹣x﹣m2﹣2m+4，
解得 ，
∴FG＝，
，
∴，
∵点P在直线AC上方，
∴﹣4＜m＜0，
∴当m＝时，FG+FP的最大值为．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合问题，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
2023/7/2 17:01:30