2023年山东省菏泽市中考数学试卷

这是一份2023年山东省菏泽市中考数学试卷，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
3．（3分）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则
A．B．C．D．
4．（3分）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是
A．B．
C．D．
6．（3分）一元二次方程的两根为，，则的值为
A．B．C．3D．
7．（3分）的三边长，，满足，则是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等腰直角三角形
8．（3分）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）
9．（3分）因式分解： ．
10．（3分）计算： ．
11．（3分）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 ．
12．（3分）如图，正八边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留．
13．（3分）如图，点是正方形内的一点，将绕点按顺时针方向旋转，得到．若，则 度．
14．（3分）如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，，则线段的最小值为 ．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区城内.）
15．（6分）解不等式组．
16．（6分）先化简，再求值：，其中，满足．
17．（6分）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．求证：．
18．（6分）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点80米，点处的俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为70米（点，，，在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）．
19．（7分）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数（次分钟），分为如下五组：组：，组：，组，组：，组：．其中组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．
根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：
（1）组数据的中位数是 ，众数是 ；在统计图中组所对应的扇形圆心角是 度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）一般运动的适宜心率为（次分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
20．（7分）如图，已知坐标轴上两点，，连接，过点作，交反比例函数在第一象限的图象于点．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）将直线向上平移个单位，得到直线，求直线与反比例函数图象的交点坐标．
21．（10分）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为，两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，，两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
22．（10分）如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，弦，垂足为点．
（1）求证：；
（2）是上一点，，，求；
（3）在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长．
23．（10分）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
24．（10分）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其对称轴为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是线段上的一动点，连接，，将沿直线翻折，得到△，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点的坐标；
（3）如图2，动点在直线上方的抛物线上，过点作直线的垂线，分别交直线，线段于点，，过点作轴，垂足为，求的最大值．
2023年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.
1．（3分）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
2．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则以及完全平方公式分别判断即可．
【解答】解：、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
、原式，故本选项计算正确，符合题意；
、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：．
3．（3分）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则
A．B．C．D．
【分析】由平行线的性质可得，从而可求．
【解答】解：如图，
由题意得：，
，，
，
．
故选：．
4．（3分）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是
A．B．C．D．
【分析】由数轴可得，然后得出，，，与0的大小关系，再根据有理数乘法法则进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得，
则，，，，
那么，，，，
则，，均不符合题意，符合题意，
故选：．
5．（3分）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．
【解答】解：从正面看有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、1、1．
故选：．
6．（3分）一元二次方程的两根为，，则的值为
A．B．C．3D．
【分析】直接根据根与系数的关系得出、的值，再代入计算即可．
【解答】解：一元二次方程的两根为，，
；．
．
故选：．
7．（3分）的三边长，，满足，则是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等腰直角三角形
【分析】由等式可分别得到关于、、的等式，从而分别计算得到、、的值，再由 的关系，可推导得到为直角三角形．
【解答】解：由题意得，
解得，
，且，
为等腰直角三角形，
故选：．
8．（3分）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求△，再根据和时两个函数值大小即可求出．
【解答】解：由题意得，三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
则△，解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得，
综上，的取值范围为：．
故选：．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）
9．（3分）因式分解： ．
【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式，
故答案为：
10．（3分）计算： 1 ．
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
．
故答案为：1．
11．（3分）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 ．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中是偶数的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中是偶数的结果有5种，
是偶数的概率为，
故答案为：．
12．（3分）如图，正八边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留．
【分析】先根据正八边形的性质求出圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：由题意得，，，
，
故答案为：．
13．（3分）如图，点是正方形内的一点，将绕点按顺时针方向旋转，得到．若，则 80 度．
【分析】先根据正方形的性质可得，从而可得，然后根据旋转的性质可得：，，从而可得，最后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
【解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
由旋转得：，，
，
是的一个外角，
，
故答案为：80．
14．（3分）如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，，则线段的最小值为 ．
【分析】设的中点为，以为直径画圆，连接交于，证得，于是得到点在以为直径的半圆上运动，当点运动到与是交点时，线段有最小值，据此解答即可．
【解答】解：设的中点为，以为直径画圆，连接交于，
，
，
，
，
，
点在以为直径的半圆上运动，当点运动到与是交点时，线段有最小值，
，
，
，
线段的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区城内.）
15．（6分）解不等式组．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
该不等式组的解集是．
16．（6分）先化简，再求值：，其中，满足．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：
，
，
，
原式．
17．（6分）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．求证：．
【分析】根据平行四边形的性质，，，进而利用角平分线得出，利用证明与全等解答即可．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，，
平分，交于点，平分，交于点，
，
在与中，
，
，
．
18．（6分）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点80米，点处的俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为70米（点，，，在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）．
【分析】过作于，过作于，而，则四边形是矩形，先解，求出，，得到的长度，再解，得到的长
即可解决问题．
【解答】解：如图所示：
过作于，过作于，而，
则四边形是矩形，
，，
由题意可得：，，，，
，，
，
，
，
大楼的高度为．
19．（7分）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数（次分钟），分为如下五组：组：，组：，组，组：，组：．其中组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．
根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：
（1）组数据的中位数是 69 ，众数是 ；在统计图中组所对应的扇形圆心角是 度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）一般运动的适宜心率为（次分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
【分析】（1）分别根据中位数、众数的定义可得组数据的中位数和众数；用组频数除以组所占百分比可得样本容量，用乘组数据所占比例可得在统计图中组所对应的扇形圆心角度数；
（2）先求出组频数，即可补全学生心率频数分布直方图；
（3）用2300乘样本中组和组所占百分比即可．
【解答】解：（1）把组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74，
故组数据的中位数是：，众数是74；
由题意得，样本容量为：，
在统计图中组所对应的扇形圆心角是：．
故答案为：69，74，54；
（2）组频数为：，
补全学生心率频数分布直方图如下：
（3）（名，
答：估计大约有1725名学生达到适宜心率．
20．（7分）如图，已知坐标轴上两点，，连接，过点作，交反比例函数在第一象限的图象于点．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）将直线向上平移个单位，得到直线，求直线与反比例函数图象的交点坐标．
【分析】（1）过点作轴于点，先证，求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式和直线的解析式；
（2）先求出直线的解析式，然后与反比例函数的解析式组成方程组，求出方程组的解即得出直线与反比例函数图象的交点坐标．
【解答】解：（1）如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，，，
，
，
，
，
点的坐标是，
反比例函数过点，
，
反比例函数的解析式为；
设直线的解析式为，
其图象经过点，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）将直线向上平移个单位，得到直线，
直线的解析式为，
由题意得，，
解得，，
直线与反比例函数图象的交点坐标为或．
21．（10分）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为，两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，，两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
【分析】（1）设垂直于墙的边为米，根据矩形面积公式得：，由二次函数性质可得答案；
（2）设购买牡丹株，根据学校计划购买费用不超过5万元，列不等式可解得答案．
【解答】解：（1）设垂直于墙的边为米，围成的矩形面积为平方米，则平行于墙的边为米，
根据题意得：，
，
当时，取最大值1200，
，
垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；
（2）设购买牡丹株，则购买芍药株，
学校计划购买费用不超过5万元，
，
解得，
最多可以购买1400株牡丹．
22．（10分）如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，弦，垂足为点．
（1）求证：；
（2）是上一点，，，求；
（3）在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长．
【分析】（1）由是的中点得由垂径定理得得到，根据同圆中，等 弧对等弦即可证明；
（2）连接，证明，设的半径为，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；
（3）过点作 交于点，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由 得到，解得，即可求解．
【解答】（1）证明：是 的中点，
，
且为的直径，
，
，
；
（2）解：连接，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
设的半径为，
则，
解得，经检验，是方程的根，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作交于点，
，
，是 的平分线，
，
，
，
，
，
．
23．（10分）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【分析】（1）由矩形的性质得，再证，即可得出结论；
（2）证，得，再证，得，然后由平行线的性质得，即可得出结论；
（3）延长至点，使，连接，，得，，再证是等边三角形，得，即可解决问题．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
点在的延长线上，
，
又，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，延长至点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
即的长为3．
24．（10分）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其对称轴为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是线段上的一动点，连接，，将沿直线翻折，得到△，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点的坐标；
（3）如图2，动点在直线上方的抛物线上，过点作直线的垂线，分别交直线，线段于点，，过点作轴，垂足为，求的最大值．
【分析】（1）由题易得的值，再根据对称轴求出的值，即可解答；
（2）过作轴的垂线，垂足为求出和的坐标，得到，由，推出，解直角三角形得到的长，即可解答；
（3）求得所在直线的解析式为，设，设所在直线的解析式为：，得，令，解得，分别表示出和，再 对 进行化简计算，配方成顶点式即可求解．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点，
，
对称轴为，
，，
抛物线的解析式为；
（2）如图，过作轴的垂线，垂足为，
令，
解得：，，
，，
，
由翻折可得，
对称轴为，
，
，
，，
，
在中，，
；
（3）设所在直线的解析式为，
把、坐标代入得：，
解得：，
，
，
，
，
直线与轴所成夹角为，
设，
设所在直线的解析式为：，
把点代入得，
，
令，则，
解得，
，
，
，
点在直线上方，
，
当时，的最大值为．