黑龙江省哈尔滨市东方红中学校2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市东方红中学校2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在等差数列中，若，，则公差等于（ ）
A．2B．3C．D．
2．在等比数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则＝ （ ）
A．B．
C．D．
4．下列求导结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线上一点，则在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
7．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．2D．
8．已知数列的项满足，而，则＝（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知数列{}中，，，下列说法正确的是（ ）
A．若{}是等比数列，则=-8或8B．若{}是等比数列，则或-16
C．若{}是等差数列，则=17D．若{}是等差数列，则公差为
10．若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是
A．B．
C．数列是等比数列D．数列是等比数列
11．下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．已知函数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等比数列满足，，则公比q= ．
13．已知函数，则 ．
14．已知数列满足.且，若，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
（1）求{an}的通项an；
（2）求{an}前n项和Sn的最大值．
16．已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
17．已知函数的图象在原点处的切线的斜率为2.
(1)求的值；
(2)若，求曲线的过点的切线方程.
18．已知曲线.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线方程.
19．在①；②；③这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题．
已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有______．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题意可得.
故选:C
2．【答案】D
【详解】由，∴．
故选D
3．【答案】C
【详解】由题意.
故选C.
4．【答案】A
【详解】，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D错误.
故选A
5．【答案】A
【详解】由题意得，即，则．
故选A．
6．【答案】B
【详解】抛物线在点处的切线的斜率为
，故切线的倾斜角为．
故选B.
7．【答案】B
【详解】因为曲线，所以
所以在点处的切线斜率为，
直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以.
故选B.
8．【答案】B
【分析】由，可得，然后利用累乘法可求得结果
【详解】由，得，
所以，，，……，，，（），
所以，
所以，
因为，所以，
因为满足上式，所以.
故选B.
9．【答案】BCD
【分析】分类讨论根据等差等比数列的相关知识即可进行判断.
【详解】由已知，
当数列{}为等差数列时：
，解得，故D正确
，解得，故C正确.
当数列{}为等比数列时：
，所以，解得
，故A错误.
，故B正确.
故选BCD.
10．【答案】AC
【详解】根据题意，先得到，再由，推出数列是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为为数列的前项和，且，
所以，因此，
当时，，即，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；
因此，故A正确；
又，所以，故B错误；
因为，所以数列不是等比数列，故D错误.
故选AC.
11．【答案】BD
【详解】对于因为函数在上可导，且，
所以，故错误.
对于因为，若则，即，故正确.
对于因为，故错误.
对于因为,故，故，正确.
故选:
12．【答案】
【详解】∵数列为等比数列，公比为q，，，
∴ ，
∴ .
13．【答案】
【详解】因为，所以，
则，解得：，
所以，则.
14．【答案】
【详解】因为，所以，
又，则，
所以
，
故，则，
所以，
则的各项分别为，
所以
.
15．【答案】（1）an＝－2n＋5.（2）4
【详解】（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2．
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．
（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4．
16．【答案】（1），；
（2）.
【详解】（1）设的公差为，因为是的等比中项，故，
即，
整理得：，又，故可得；
又，即，故，，
解得，，；
故，.
（2）由（1）可知，，故，
故
.
故数列的前项和.
17．【答案】(1)或1
(2)或
【详解】（1）由已知得，
根据题意得，解得或1；
（2）因为，所以由（1）可得，
所以，
设切点坐标为，则切线的斜率，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，
得，解得或，
所以切线方程为或.
18．【答案】（1）
（2）和.
【详解】（1）
，
当时，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为，
故切线方程为，
因为切线过点，所以，
即，所以或，
故过点且与曲线相切的直线有两条，
其方程分别是和，
即和.
19．【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【详解】（1）对于条件①，当时，，不符合题意．（如果选条件①，不得分）
如选②：，
，，
则是公差为1的等差数列，
则，则．
当时，，
当时，满足上式．
所以的通项公式为．
如选③：因为，则，
当时，，解得：．
当时，，
即，因为，所以，
则是首项为1，公差为2的等差数列，
所以的通项公式为．
（2）因为，
．
因为，且在时单调减小，
所以，且在时单调增加，并在时取最小值，
所以．