黑龙江省哈尔滨市东方红中学校2024−2025学年高二下学期第二次月考考试 数学试卷（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市东方红中学校2024−2025学年高二下学期第二次月考考试 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则的值可以是（ ）
A．10B．12C．13D．15
3．从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（ ）
A．1440B．120C．60D．24
4．在等比数列中，，，则数列的前5项和为（ ）
A．B．C．和5D．和5
5．小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（ ）
A．16B．24C．166D．180
6．设，，，，，数列，则的前100项和是（ ）
A．B．C．D．0
7．已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（ ）
A．B．1C．2D．
8．展开式中的常数项为（ ）
A．3B．-3C．7D．-7
二、多选题（本大题共3小题）
9．设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
10．若，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则t的最小值为2
D．当时，方程有且只有两个实根
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等比数列的前项和为，且，，则 .
13．已知函数，，令，若函数存在3个零点，则实数的取值范围是 .
14．已知离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量满足，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值.
16．已知展开式前三项的二项式系数和为22．
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中二项式系数最大的项．
17．盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔.
(1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？
(2)一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？
(3)将这些笔分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子中至少有一支铅笔和一支水笔，共有多少种不同的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）
18．已知为正项数列的前n项积，且.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求的前n项和.
19．某次物理考试后，学校随机抽取了100名参加本次考试的学生的成绩（单位：分），得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；
(2)为进一步调查学生每天学习物理的时间，从样本采用比例分层抽样从成绩在，内的学生中抽取13人，再从中任选3人进行调查，求抽到成绩在内的人数X的分布列和数学期望．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，
所以，
则，
故选C.
2．【答案】A
【详解】由可得或，解得或，
故选A
3．【答案】B
【详解】从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生，
所以抽取的女生人数为2，男生人数为3，共有抽取方法为：.
故选B.
4．【答案】A
【详解】从和两种情况入手分析,根据等比数列的求和公式解得,求出通项公式,即可得到,代入公式即可得出结果.
【详解】解析：若，则，，故．
由得，解得，故，
，的前5项和．
故选A．
5．【答案】B
【详解】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有（种）不同的结果，
故选B．
6．【答案】D
【详解】由，
则，
则，
则，
则，
所以是以4为周期的函数，
又，
所以的前100项和为：
．
故选D．
7．【答案】C
【详解】易知，，且，
所以直线，
它与两坐标轴的交点坐标分别为和，
可得，又，
解得.
故选C.
8．【答案】D
【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为（其中）．
与展开式中项相乘得到常数项，
令，则，解得．
将代入通项公式可得，
那么与相乘得到的常数项为．
与展开式中常数项相乘得到常数项，
令，则，解得．
将代入通项公式可得，
那么与相乘得到的常数项为．
将上述两部分常数项相加，可得展开式中的常数项为．
故选D．
9．【答案】AC
【详解】由题意知与轴有三个交点，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
则在区间上单调递减，
在区间上单调递增，故A，C正确；B，D错误．
故选AC．
10．【答案】AC
【详解】令，则，故A正确，
令可得，故，故B错误，
令可得，故，故C正确，
令可得，，故D错误，
故选AC
11．【答案】BD
【详解】，令，解得或，
当或时，，故函数在，上单调递减，当时，，故函数在上单调递增，
且函数有极小值，有极大值，当趋近负无穷大时，趋近正无穷大，当趋近正无穷大时，趋近于零，故作函数草图如下，

由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．
故选BD．
12．【答案】32
【详解】首先，等比数列的公比不是1，这是因为若，则，所以.
由.
由.
所以.
13．【答案】
【详解】由题意可知，
当时，，，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；可得函数在处的极大值为：，
当时，图象趋近于轴.函数的大致图象如图所示，
可知函数存在3个零点时，的取值范围是.
14．【答案】
【详解】依题意，解得，
所以，
则，
又，所以.
15．【答案】(1)
(2)单调增区间为，，单调减区间为；极大值为，极小值为.
【详解】（1）函数的定义域为R.
导函数.
所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）令，解得：或.列表得：
所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；
的极大值为，极小值为.
16．【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】解：由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．
1二项式定理展开：前三项二项式系数为：，
解得：或舍去．
即n的值为6．
2由通项公式，
令，
可得：．
展开式中的常数项为；
是偶数，展开式共有7项则第四项最大
展开式中二项式系数最大的项为．
17．【答案】(1)共有种不同的排法
(2)共有种不同的取法
(3)共有种不同的放法
【详解】（1）将支不同的水笔和支不同的铅笔排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也不相邻，
只需先将支不同的铅笔进行排序，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端），
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.
（2）随机一次性摸出支笔，使得摸出的三支笔中至少有支铅笔，
则铅笔得支数可以是或或，
由分类加法计数原理可知，不同的取笔种数为种.
（3）先将支水笔分为组，这三组水笔的支数分别为、、，
再将这三组水笔分配给三个盒子，
所以不同的放法种数为种，
再将3支铅笔放入3个盒子，每个盒子1支，不同的放法种数为种，
由分步乘法计数原理可得，不同的放法种数为种.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意知①，
当时，.
当时，②.
①-②得适合上式，
③，则④.
得，
两边同时取以2为底的对数，得，
则，又，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由题意及（1）知，则，
所以，
两式相减得，
.
19．【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由题意，得，解得．
（2）由题意，抽取的13人，成绩在，的学生人数分别为，，
则X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为
所以X的数学期望
0
1
2
x
1
3
+
2
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
X
0
1
2
3
P