河南省项城市第三高级中学2024−2025学年高二下学期第一次考试 数学试题（含解析）

这是一份河南省项城市第三高级中学2024−2025学年高二下学期第一次考试 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．用0，1，…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．652B．648C．504D．562
2．若，则（ ）
A．380B．190C．188D．240
3．已知函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．函数在点处的切线斜率为2，则a=（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．已知函数，若，则（ ）
A．B．1C．D．e
6．定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022，3110”，则所有“吉祥数”的个数是（ ）
A．35B．32C．29D．20
7．某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到、、三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去公司，则不同的安排方式有（ ）
A．种B．种C．种D．种
8．已知的数的高阶导数为，即对函数连续求阶导数.例如，则，，若，则的展开式中的系数是（ ）
A．210B．255C．280D．360
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导的运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．的展开式中（ ）
A．前三项系数之和为112
B．二项式系数最大的项是第3项
C．常数项为240
D．所有项的系数之和为1
11．湖南矮寨特大悬索桥，创造了4个世界第一，堪称世界建桥史上的经典之作.它的两个主塔之间的悬索可近似看作一条“悬链线”，通过适当建立坐标系，悬链线可以为双曲余弦函数的图象，相应的双曲正弦函数为.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是偶函数
C．函数的值域为，
D．当直线与和共有3个交点时，
三、填空题（本大题共3小题）
12．的展开式中的系数为 .（用数字作答）
13．数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有 种.
14．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．计算下列各式．
（1）；
（2）；
（3）解方程：.
16．已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为.
（1）求；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
17．设，求：
（1）；
（2）
18．已知函数.
（1）当时，求函数的极值;
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.
19．已知函数.
（1）求函数的单调区间与极值；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象；
（3）讨论方程的实数解的个数.
参考答案
1．【答案】B
【详解】用0，1，…，9十个数字，
先取百位数有9种情况，因为无重复数字再取十位数有9种情况，最后个位数字有8种情况。
所以可以组成无重复数字的三位数的个数为.
故选B.
2．【答案】B
【详解】由，得，所以.
故选B
3．【答案】C
【详解】解：函数，则，令得或，
令，解得：或；令，解得： ；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
又，，
要使有3个不同的零点，则，
解得：.
故选C
4．【答案】B
【详解】，，
故选B.
5．【答案】B
【详解】，
由，得，则，解得．
故选B.
6．【答案】A
【详解】各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，按首位数字分别计算，
当首位数字为5时，则剩余三位数分别是0，0，0，共有1个“吉祥数”；
当首位数字为4时，则剩余三位数分别是1，0，0，共有3个“吉祥数”；
当首位数字为3时，则剩余三位数分别是1，1，0或2，0，0，共有个“吉祥数”；
当首位数字为2时，剩余三位数分别是2，1，0或3，0，0或1，1，1，共有个“吉祥数”；
当首位数字为1时，则剩余三位数分别是3，1，0或4，0，0或1，1，2或2，2，0，共有个“吉祥数”，
则共有个“吉祥数”．
故选A．
7．【答案】D
【详解】因为甲和乙都不能去公司，对公司去的学生人数进行分类讨论：
若去公司只有个人，有种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司，
此时有种不同的安排方式；
若去公司有人，有种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司，
此时有种不同的安排方式；
若去公司有人，只需将甲、乙两人分配给、公司即可，每个公司个人，
此时有种不同的安排方式；
由分类加法计数原理可知，不同的安排方式种数为种.
故选D.
8．【答案】A
【详解】由得：，
再继续求二阶导整理得：，
求三阶导整理得：，
此时可以把求函数的10阶导理解为十次方的二项式展开式，
则有的系数是，
故选A.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选ACD.
10．【答案】ACD
【详解】的展开式的通项为，，
对于A，由通项可得，前三项系数之和为，故A正确；
对于B，因二项展开式有7项，故二项式系数最大的项是最中间项，即第4项，故B错误；
对于C，在通项中，使，解得，故常数项为，故C正确；
对于D，在中，令，即得所有项的系数之和为1，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】AC
【详解】A选项，，故A正确；
B选项，由于双曲余弦函数为偶函数，
双曲正弦函数为奇函数，
则为奇函数，故B错误；
C选项，由，
又，所以，
则，故C正确；
D选项，，令得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以在处取得最小值1.
在上单调递增，且当，；
当，.
所以，当直线与和共有3个交点时，，故D错误.
故选AC
12．【答案】-30
【详解】的展开式的通项公式为，
故的展开式中的系数为.
13．【答案】
【详解】依题意，排，相邻且站在正中间，有种站法；
再排，不相邻，而两侧各有2个位置，即不在同侧，
在两侧各取1个位置再排列，共有种站法，
最后排有种站法，
所以不同的站法共有（种）.
14．【答案】
【详解】设，则．
由当时，，得，即，故在区间上单调递增．
又，所以，即．
因为为上的偶函数，所以，
即，计算得，所以，
解得或．
15．【答案】（1）480
（2）16
（3）或
【详解】（1）；
（2）；
（3）因为，由可得或，
解得或.
16．【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
【详解】（1）由得，
所以，又，
所以在点处的切线方程为，即.
当时，；当时，.
因为与坐标轴所围成的三角形的面积为且，
所以，所以.
（2）由（1）得，.
由得或.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因为，，
，，且，
所以在上的最大值为，最小值为.
17．【答案】（1）.
（2）.
【详解】（1）取 ,得到 ；
取 得到 ，
取得到 ，
两式相加得到 ，
所以 .
（2）根据（1）知： .
展开式的通项为： ，
故当 r 为偶数时，对应系数为正；当 r 为奇数时，对应系数为负，
故
.
18．【答案】（1）极大值，极小值.
（2）.
【详解】（1），，
令可得：或，
令可得：，
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数有极大值，
当时，函数有极小值.
（2）由题意知在上恒成立，当时，显然成立;
当时，，函数在上单调递减，
当时，，所以.
当时，，函数在上单调递减，
当时，，所以.
综上可知:求的取值范围为.
19．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，极大值，极小值－1；
（2）答案见解析；
（3）答案见解析.
【详解】（1）因为的定义域为，
令，得，或，列表如下：
由表可得，的单调递增区间为，单调递减区间为；
极大值为；极小值为.
（2）函数的大致图象如下：
（3）方程实数解的个数等价于函数的图象与直线的公共点个数.
由图可得，当或时，方程有1个实数解；
当或或时，方程有2个实数解；
当时，方程有3个实数解.
0
＋
\
＋
0
－
0
＋
↗
\
↗
极大值
↘
极小值
↗