广东省东莞市海德双语学校2024−2025学年高二下学期第一次教学质量检测 数学试题（含解析）

这是一份广东省东莞市海德双语学校2024−2025学年高二下学期第一次教学质量检测 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数，则（ ）
A．5B．6C．8D．10
2．下面导数运算错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的导函数为，则“”是“函数在处有极值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项至多报1人，每人只参加1项，则这 3名学生的参赛的不同方法有（ ）
A．24种B．48种C．64种D．81种
6．下列函数中，在内为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若函数，且，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
10．下列有关排列数､组合数的等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，则（ ）
A．的定义域是
B．曲线在点处的切线方程是
C．
D．有两个不同的解，且
三、填空题（本大题共3小题）
12．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有 种．
13．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 .
14．已知定义在的函数满足，则不等式的解集为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．现有4名男生和3名女生，
(1)若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？
(2)若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？
16．设函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求在区间上的最大值与最小值．
17．已知函数，且曲线在点处的切线与轴垂直．
（1）求函数的单调区间；
（2）若在时恒成立，求实数的取值范围．
18．已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且
（1）写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少?
（注：年利润年销售收入-年总成本）
19．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若在区间内有最小值，求的取值范围；
(3)若关于的方程有两个不同的解，，求证：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，
所以，则.
故选B
2．【答案】D
【详解】，故A正确；
故B正确；
故C正确；
故D错误.
故选
3．【答案】B
【详解】若函数在处有极值，则一定有；
反之，若，函数在处不一定有极值，
如在处满足，但在处无极值，
所以“”是“函数 在处有极值”的必要不充分条件．
故选B
4．【答案】C
【详解】因为，则，
所以，
故选C.
5．【答案】A
【详解】由于每班每项至多报1人，每人只参加1项，
故当前面的学生报了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有种不同的参赛方法.
故选A
6．【答案】B
【详解】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误；
对B，在内大于0恒成立，故B正确；
对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误；
对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误.
故选B
7．【答案】D
【分析】利用导数判断出的单调性可得答案.
【详解】，
当时，，所以是单调递增函数，
因为，所以.
故选D.
8．【答案】C
【详解】易知的定义域为，
由可得，即；
因为，所以，即，
构造函数，则，
可知函数在上单调递增，因此，
即，所以，
令，则，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
因此在处取得极小值，也是最小值，；
即可得，解得.
所以正实数的取值范围是.
故选C.
9．【答案】BC
【详解】由图知：上，上，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在、上不单调，在、上分别单调递减、单调递增.
故选BC
10．【答案】ACD
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B, 因为，所以，故B错误；
对于C, 因为，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选ACD
11．【答案】ABD
【详解】由解析式知，故函数的定义域为，A对；
由且，则，
所以曲线在点处的切线方程，
则，B对；
，C错；
令，则，
所以在上都单调递增，
在区间上，时趋向，时趋向，故该区间存在一个零点，
在区间上，时趋向，时趋向，故该区间存在一个零点，
所以在定义域内存在两个不同零点，分别位于、内，
若零点，则，且，即，
此时，
所以是的一个零点，即，故，D对.
故选ABD
12．【答案】6
【详解】从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有.
13．【答案】
【详解】因为在区间上单调递增，
所以当时，恒成立，
即在恒成立，
又，所以.
14．【答案】
【详解】构造函数，则，
又，，可得，
因此在上单调递增，
原不等式可化为，即，
可得，因此，
解得.
15．【答案】(1)1440
(2)1440
【分析】（1）利用捆绑法，结合排列组合知识求解；
（2）利用插空法，结合排列组合知识求解.
【详解】（1）将甲乙看作一个整体，相当于有6个元素（甲乙整体、其他5人）进行排列有，
甲乙内部有2种排列方式，有分步乘法计数原理可得；
（2）先安排4名男生站成一排，有种排法，由于要求3名女生互不相邻，
因此女生只能站在男生之间的空隙中有
因此由分步乘法计数原理可得.
16．【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为.
【详解】（1）由题意知，，即切点为，
由已知，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故在点处的切线方程为：
（2）令，即得，
令，则得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值点为，，
的极小值点为，，
又,,
故在区间上的最大值为，最小值为.
17．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）
【详解】（1）由题意得，的定义域为，
∵，∴，故，
∵在点处的切线与轴垂直，∴，即，
∴，
∵时，，时，，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由（1）得，.
∵对恒成立，∴在上恒成立，
设，则，
设，则，
∴在上单调递增，∴，
∴，即在上单调递减，
∴，
∴．
18．【答案】（1）
（2）当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元
【详解】（1）由题意当时，，
当时，，
综上可得.
（2）①当时，，
则，
所以当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减.
所以当时，取最大值，且.
②当时，，
当且仅当，即时等号成立.
综上，当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元.
19．【答案】(1)答案见详解；
(2)
(3)证明见详解.
【详解】（1）的定义域为，，
当时，，所以的单调递减区间为，无单调递增区间，
当时，，随的变化情况如下表所示，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）当时，，所以在区间内单调递减，无最小值，不合题意，
当时，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得最小值，
当时，，所以在区间内单调递增，无最小值，不合题意．
综上，的取值范围为；
（3）不妨设，
由题意得消去得，
设，代入上式得，
，
下证，
即证，
设，则，
令，则，
所以在区间内单调递增，即，
所以在区间内单调递增，即，
所以，所以，
因为，，所以．
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