吉林省长春市二道区力旺实验中学八年级下学期期末数学试卷

这是一份吉林省长春市二道区力旺实验中学八年级下学期期末数学试卷，共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若分式1x−1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x≠1C．x≠0D．x≠﹣1
2．（3分）若点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则点P的坐标是（ ）
A．（3，2）B．(−2，−3)C．(−2，3)D．（﹣3，2）
3．（3分）每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ）
A．0.21×10﹣4B．2.1×10﹣4C．2.1×10﹣5D．21×10﹣6
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，DE＝4，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AB的长为（ ）
A．4B．6C．10D．14
5．（3分）下列分式化简正确的是（ ）
A．2xx+2=xx+1B．x2xy=xy
C．y2x2=yxD．x+1y+1=xy
6．（3分）在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（ ）
A．①：对角线相等B．②：对角互补
C．③：一组邻边相等D．④：有一个角是直角
7．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（a，﹣4）和点B（﹣4，0），正比例函数y＝2x的图象过点A，则不等式2x≤kx+b的解集为（ ）
A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≥﹣4D．x≤﹣4
8．（3分）如图，点A在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（3分）（﹣2）﹣2＝ ．
10．（3分）如图，已知AD∥BE∥CF，若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm，则DE的长为 cm．
11．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
12．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝56°，则∠BAC＝ °．
13．（3分）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度v＝ m/s．
14．（3分）如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形ABCDEFGH被分割成两个正方形和四个菱形，则∠JIK＝ °．
三、解答题（共10道题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：(1−3x+1)÷x−2x2−1，其中x＝2024．
16．（6分）解方程：
（1）（3x﹣2）2＝16；
（2）x2+4x﹣7＝0．
17．（6分）列方程解应用题．
某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了20%，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC、AE，延长AE、BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若CD＝10，CF＝6，则四边形ABCE的周长为 ．
19．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①、图②中，以线段AB为对角线，分别画一个平行四边形和矩形．（要求两个四边形不全等）
（2）在图③中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
20．（7分）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线y=mx（m为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式．
（2）请直接写出关于x的不等式kx+b＞mx的解集．
21．（8分）小辉、小辰两人分别从A、B两地去同一城市C．他们离A地的路程y（km）随时间x（h）变化的图象如图所示．
（1）A、B两地之间的距离为 km．
（2）求小辰离A地的路程y（km）关于时间x（h）的函数表达式．
（3）直接写出当他们两人在途中相遇时离C地的路程．
22．（9分）【教材呈现】
如图是华师版八年级下册数学教材18.1.1平行四边形的性质章节中的部分内容．
（1）如图①，在▱ABCD中，OA与OC数量关系为 ，OB与OD数量关系为 ；
【性质应用】
（2）如图②，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F，连接AF、CE．
①求证：四边形AECF是平行四边形；
②若EF⊥AC，EF＝AC，△ABF周长是18，CF＝6，则AB的长是 ．
23．（10分）如图，正方形ABCD的边长为6，P为BC中点，动点Q从点C出发以1个单位每秒的速度沿C﹣D﹣C运动，返回到点C时运动停止，连结AP、PQ、AQ，设Q的运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示DQ的长度．
（2）Q从C向D运动时，AQ＝AP，求t的值．
（3）当△APQ的面积为14时，求t的值．
（4）当∠PAQ＝45°时，直接写出t的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝kx﹣4（k为常数）的图象经过点A（2，0），点P在直线y＝kx﹣4上一动点，且P的横坐标为m，以AP为对角线构造▱ABPC，B、C分别在x轴、y轴上．
（1）求k的值．
（2）当点P纵坐标为2，求点B的坐标．
（3）当P在第一象限时，▱ABPC的面积是△AOC的面积的4倍，求点P的坐标．
（4）在（2）的条件下，若▱ABPC的面积为2，直接写出m的值．
吉林省长春市二道区力旺实验中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）若分式1x−1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x≠1C．x≠0D．x≠﹣1
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案．
【解答】解：若分式1x−1有意义，则x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
2．（3分）若点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则点P的坐标是（ ）
A．（3，2）B．(−2，−3)C．(−2，3)D．（﹣3，2）
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】C
【分析】由点P在第二象限可知横坐标为负，纵坐标为正，然后根据点P到两坐标轴的距离确定出点P的坐标即可．
【解答】解：∵x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∴点的纵坐标是±3，横坐标是±2，
又∵第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0，
∴点P的横坐标是−2，纵坐标是3．
故点P的坐标为（−2，3）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了点的坐标的几何意义：横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．
3．（3分）每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ）
A．0.21×10﹣4B．2.1×10﹣4C．2.1×10﹣5D．21×10﹣6
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000021＝2.1×10﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，DE＝4，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AB的长为（ ）
A．4B．6C．10D．14
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝10，由平行线的性质和角平分线的定义可求AB＝AE，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝10．
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，求出AB＝AE是本题的关键．
5．（3分）下列分式化简正确的是（ ）
A．2xx+2=xx+1B．x2xy=xy
C．y2x2=yxD．x+1y+1=xy
【考点】分式的混合运算．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据分式化简的性质进行判断即可．
【解答】解：A、C、D中无法化简，错误，故不符合要求；
B正确，故符合要求；
故选：B．
【点评】本题考查了分式化简．解题的关键在于熟练掌握分式化简时，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
6．（3分）在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（ ）
A．①：对角线相等B．②：对角互补
C．③：一组邻边相等D．④：有一个角是直角
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】B
【分析】由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确，不符合题意；
B、对角互补的矩形不一定是正方形，错误，故B符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故C不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．
7．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（a，﹣4）和点B（﹣4，0），正比例函数y＝2x的图象过点A，则不等式2x≤kx+b的解集为（ ）
A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≥﹣4D．x≤﹣4
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力．
【答案】B
【分析】由正比例函数的解析式求得A点的坐标，根据图象即可得出不等式2x≤kx+b的解集．
【解答】解：∵正比例函数y＝2x的图象过点A（a，﹣4），
∴﹣4＝2a，解得a＝﹣2，
∴一次函数y＝kx+b与一次函数y＝2x的图象的交点为A（﹣2，﹣4），
由图象可知，2x≤kx+b的解集为x≤﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想，找到不等式与一次函数图象的关系是解题关键．
8．（3分）如图，点A在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】连接OA，OB、如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到12×4+12|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连接OA，OB，如图，
∵AB⊥y轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝3，
∴12×4+12|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（3分）（﹣2）﹣2＝ 14 ．
【考点】负整数指数幂．
【答案】见试题解答内容
【分析】运用负整数指数幂的法则求解即可．
【解答】解：（﹣2）﹣2=14．
故答案为：14．
【点评】本题主要考查了负整数指数幂，解题关键是熟记法则．
10．（3分）如图，已知AD∥BE∥CF，若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm，则DE的长为 2.4 cm．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】2.4．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ABBC=DEEF，
∵AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm，
∴35=DE4，
解得：DE＝2.4，
故答案为：2.4．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
11．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜1 ．
【考点】根的判别式．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用根的判别式得出Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＞0进而求出答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1，
则k的取值范围是：k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出△符号是解题关键．
12．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝56°，则∠BAC＝ 62 °．
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】62．
【分析】由菱形的性质得到AB＝BC，推出∠BAC＝∠BCA，而∠ABC＝56°，由三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠ABC＝56°，
∴∠BAC=12（180°﹣56°）＝62°．
故答案为：62．
【点评】本题考查菱形的性质，关键是由菱形的性质推出AB＝BC．
13．（3分）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度v＝ 4.5 m/s．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将m＝80代入计算即可．
【解答】解：设反比例函数解析式为v=km，
∵机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；
∴k＝60×6＝360，
∴反比例函数解析式为v=360m，
当m＝80kg时，v=36080=4.5（m/s），
故答案为：4.5．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式是关键．
14．（3分）如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形ABCDEFGH被分割成两个正方形和四个菱形，则∠JIK＝ 45 °．
【考点】正方形的性质；菱形的性质．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】45°．
【分析】由正八边形ABCDEFGH被分割成两个正方形和四个菱形，得∠BIH＝∠A=(8−2)×1808=135°，即可得∠JIK＝360°﹣∠BIH﹣∠BIJ﹣∠KIH＝45°．
【解答】解：由正八边形ABCDEFGH被分割成两个正方形和四个菱形，
得∠BIH＝∠A=(8−2)×1808=135°，
得∠JIK＝360°﹣∠BIH﹣∠BIJ﹣∠KIH＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式，解题关键是正确计算．
三、解答题（共10道题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：(1−3x+1)÷x−2x2−1，其中x＝2024．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x﹣1，2023．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算得到答案．
【解答】解：原式＝（x+1x+1−3x+1）•x2−1x−2
=x−2x+1•(x+1)(x−1)x−2
＝x﹣1，
当x＝2024时，原式＝2024﹣1＝2023．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
16．（6分）解方程：
（1）（3x﹣2）2＝16；
（2）x2+4x﹣7＝0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1=2，x2=−23；
（2）x1=−2+11，x2=−2−11．
【分析】（1）用直接开平方法对所给方程进行求解即可．
（2）用配方法对所给方程进行求解即可．
【解答】解：（1）（3x﹣2）2＝16，
3x﹣2＝±4，
则3x﹣2＝4或3x﹣2＝﹣4，
所以x1=2，x2=−23．
（2）x2+4x﹣7＝0，
x2+4x＝7，
x2+4x+4＝7+4，
（x+2）2＝11，
则x+2=±11，
所以x1=−2+11，x2=−2−11．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法及解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知直接开平方法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
17．（6分）列方程解应用题．
某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了20%，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】引进新设备前工程队每天改造道路30米．
【分析】设引进新设备前工程队每天改造道路x米．根据某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用22天完成了任务．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设引进新设备前工程队每天改造道路x米．
根据题意得：210x+750−210(1+20%)x=22，
解得 x＝30，
经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意，
答：引进新设备前工程队每天改造道路30米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC、AE，延长AE、BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若CD＝10，CF＝6，则四边形ABCE的周长为 26 ．
【考点】矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）26．
【分析】（1）证明△ADE≌△FCE（AAS），得AE＝FE，所以四边形ACFD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；
（2）根据矩形的性质和勾股定理求出DF的值，由四边形ABCD是平行四边形，得AB＝CD＝10，AD＝BC＝CF＝6，根据四边形ACFD是矩形，得AE＝CE＝EF=12AF＝5，进而可以求出四边形ABCE的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，
∵E为线段CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝FE，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∵∠ACF＝90°，
∴四边形ACFD是矩形；
（2）解：∵四边形ACFD是矩形，
∴∠CFD＝90°，AC＝DF，AD＝CF＝6，AF＝CD＝10，
∴DF=CD2−CF2=102−62=8，
∵△ADE≌△FCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝10，AD＝BC＝CF＝6，
∵四边形ACFD是矩形，
∴AE＝CE＝EF=12AF＝5，
∴四边形ABCE的周长＝AB+BC+CE+AE＝10+6+5+5＝26．
故答案为：26．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
19．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①、图②中，以线段AB为对角线，分别画一个平行四边形和矩形．（要求两个四边形不全等）
（2）在图③中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
【考点】作图—应用与设计作图；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见解析．
【分析】（1）根据平行四边形，矩形的定义画出图形即可；
（2）根据正方形的定义以及题目要求作出图形．
【解答】解：（1）如图①中，平行四边形ACBD即为所求（答案不唯一）．如图②中，矩形ADBC即为所求；
（2）如图，这发型ABCD即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
20．（7分）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线y=mx（m为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式．
（2）请直接写出关于x的不等式kx+b＞mx的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣x+1；
（2）x＜﹣1或0＜x＜2．
【分析】（1）先将点B坐标代入y=mx，求出反比例函数解析式，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求出点A坐标，最后将A，B两点坐标代入y＝kx+b即可解决问题．
（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【解答】解：（1）将点B坐标代入y=mx得，
m＝﹣2，
所以反比例函数解析式为y=−2x．
将点A坐标代入y=−2x得，
a＝﹣1，
所以点A坐标为（2，﹣1）．
将点A和点B坐标代入y＝kx+b得，
2k+b=−1−k+b=2，
解得k=−1b=1，
所以直线y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+1．
（2）由函数图象可知，
当x＜﹣1或0＜x＜2时，函数y＝kx+b的图象在函数y=mx图象的上方，即kx+b＞mx，
所以不等式kx+b＞mx的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
21．（8分）小辉、小辰两人分别从A、B两地去同一城市C．他们离A地的路程y（km）随时间x（h）变化的图象如图所示．
（1）A、B两地之间的距离为 30 km．
（2）求小辰离A地的路程y（km）关于时间x（h）的函数表达式．
（3）直接写出当他们两人在途中相遇时离C地的路程．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）30；
（2）y＝30x+30（0≤x≤4）；
（3）75km．
【分析】（1）根据图1和图2直接作答即可；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）根据“速度＝路程÷时间”和“路程＝速度×时间”写出小辉离A地的路程y（km）关于时间x（h）的函数表达式，求出两图象的交点坐标，AC两地的距离减去其纵坐标即为答案．
【解答】解：（1）根据题意，得A、B两地之间的距离为30km．
故答案为：30．
（2）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标（0，30）和（4，150）分别代入y＝kx+b，
得b=304k+b=150，
解得k=30b=30，
∴小辰离A地的路程y（km）关于时间x（h）的函数表达式为y＝30x+30（0≤x≤4）．
（3）小辉的速度为150÷3＝50（km/h），
∴小辉离A地的路程y（km）关于时间x（h）的函数表达式为y＝50x（0≤x≤3），
当二人在途中相遇时，得y=30x+30y=50x，
解得x=1.5y=75，
150﹣75＝75（km），
∴当他们两人在途中相遇时离C地的路程是75km．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程之间的数量关系及待定系数法求函数关系式是解题的关键．
22．（9分）【教材呈现】
如图是华师版八年级下册数学教材18.1.1平行四边形的性质章节中的部分内容．
（1）如图①，在▱ABCD中，OA与OC数量关系为 OA＝OC ，OB与OD数量关系为 OB＝OD ；
【性质应用】
（2）如图②，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F，连接AF、CE．
①求证：四边形AECF是平行四边形；
②若EF⊥AC，EF＝AC，△ABF周长是18，CF＝6，则AB的长是 7.5 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）OA＝OC，OB＝OD；
（2）①证明过程见解答；
②7.5．
【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分即可解决问题；
（2）①根据平行四边形的性质证明△OAE≌△OCF（AAS），得OE＝OF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解决问题；
②证明四边形AECF是正方形，得AF＝CF＝6，根据△ABF周长是18，得BF＝12﹣AB，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）解：如图①，在▱ABCD中，OA与OC数量关系为OA＝OC，OB与OD数量关系为OB＝OD；
故答案为：OA＝OC，OB＝OD；
（2）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC，
∴△OAE≌△OCF（AAS），
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
②解：∵四边形AECF是平行四边形，EF⊥AC，EF＝AC，
∴四边形AECF是正方形，
∴∠AFC＝90°＝∠AFB，AF＝CF＝6，
∵△ABF周长＝AB+AF+BF＝18，
∴AB+BF＝12，
∴BF＝12﹣AB，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：AB2＝AF2+BF2，
∴AB2＝62+（12﹣AB）2，
∴AB＝7.5，
∴AB的长是7.5．
故答案为：7.5．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握正方形的判定与性质．
23．（10分）如图，正方形ABCD的边长为6，P为BC中点，动点Q从点C出发以1个单位每秒的速度沿C﹣D﹣C运动，返回到点C时运动停止，连结AP、PQ、AQ，设Q的运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示DQ的长度．
（2）Q从C向D运动时，AQ＝AP，求t的值．
（3）当△APQ的面积为14时，求t的值．
（4）当∠PAQ＝45°时，直接写出t的值．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）当0≤t≤6时，DQ＝6﹣t；当6＜t≤12时，DQ＝t﹣6；
（2）t的值为3；
（3）当△APQ的面积为14时，t的值为103或263；
（4）当t的值为4或8时，∠PAQ＝45°．
【分析】（1）分两种情况讨论即可解决问题；
（2）根据正方形的性质得AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠D＝90°，利用勾股定理求出AP，Q从C向D运动时，DQ＝6﹣t，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值；
（3）根据△APQ的面积＝正方形ABCD的面积﹣△ABP的面积﹣△PCQ的面积﹣△ADQ的面积＝14，得3CQ+6DQ＝26，当0≤t≤6时，CQ＝t，DQ＝6﹣t，当6＜t≤12时，DQ＝t﹣6，CQ＝12﹣t，代入面积公式即可解决问题；
（4）过点A作EA⊥AP，交CD延长线于点E，根据正方形的性质证明△ABP≌△ADE（ASA），得AP＝AE，BP＝DE＝3，再证明△PAQ≌△EAQ（SAS），得PQ＝EQ＝DE+DQ＝3+DQ，然后利用勾股定理得（3+DQ）2＝9+CQ2，分两种情况①当0≤t≤6时，②当6＜t≤12时，代入值求解即可．
【解答】解：（1）当0≤t≤6时，DQ＝6﹣t；
当6＜t≤12时，DQ＝t﹣6；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠D＝90°，
∵P为BC中点，
∴PB＝PC=12BC＝3，
在Rt△APB中，根据勾股定理得：AP2＝AB2+PB2，
∴AP=62+32=35，
∴AQ＝AP＝35，
∵Q从C向D运动时，DQ＝6﹣t，
在Rt△ADQ中，AQ2＝AD2+DQ2，
∴（35）2＝62+（6﹣t）2，
∴t＝3或t＝9（舍去），
∴t的值为3；
（3）∵△APQ的面积为14，
∴△APQ的面积＝正方形ABCD的面积﹣△ABP的面积﹣△PCQ的面积﹣△ADQ的面积＝14，
∴AB2−12×AB•BP−12CP•CQ−12AD•DQ＝14，
∴62−12×6×3−12×3×CQ−12×6×DQ＝14，
∴3CQ+6DQ＝26，
①当0≤t≤6时，CQ＝t，DQ＝6﹣t，
∴3t+6（6﹣t）＝26，
∴t=103；
②当6＜t≤12时，DQ＝t﹣6，
∴CQ＝6﹣（t﹣6）＝12﹣t，
∴3（12﹣t）+6（t﹣6）＝26，
∴t=263，
综上所述：当△APQ的面积为14时，t的值为103或263；
（4）如图，过点A作EA⊥AP，交CD延长线于点E，
∠PAQ＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠EAP＝∠B＝∠ADC＝90°，AB＝AD，
∴∠BAP+∠PAD＝∠DAE+∠PAD，
∴∠BAP＝∠DAE，
∵∠B＝∠ADE＝90°，
∴△ABP≌△ADE（ASA），
∴AP＝AE，BP＝DE＝3，
∵∠PAQ＝45°，∠EAP＝90°，
∴∠PAQ＝∠EAO＝45°，
∴△PAQ≌△EAQ（SAS），
∴PQ＝EQ＝DE+DQ＝3+DQ，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得PQ2＝PC2+CQ2，
∴（3+DQ）2＝9+CQ2，
①当0≤t≤6时，CQ＝t，DQ＝6﹣t，
∴（3+6﹣t）2＝9+t2，
解得t＝4；
②当6＜t≤12时，CQ＝12﹣t，DQ＝t﹣6，
∴（3+t﹣6）2＝9+（12﹣t）2，
解得t＝8，
综上所述：当t的值为4或8时，∠PAQ＝45°．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝kx﹣4（k为常数）的图象经过点A（2，0），点P在直线y＝kx﹣4上一动点，且P的横坐标为m，以AP为对角线构造▱ABPC，B、C分别在x轴、y轴上．
（1）求k的值．
（2）当点P纵坐标为2，求点B的坐标．
（3）当P在第一象限时，▱ABPC的面积是△AOC的面积的4倍，求点P的坐标．
（4）在（2）的条件下，若▱ABPC的面积为2，直接写出m的值．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）k＝2；
（2）B（5，0）；
（3）P（4，4）；
（4）m的值为1+2或1−2或1．
【分析】（1）把点A（2，0）代入y＝kx﹣4得，解方程得到k＝2；
（2）把y＝2代入函数解析式，解方程即可得到P（3，2），根据平行四边形的性质得到PC＝AB，PC∥AB，求得AB＝PC＝3，于是得到B（5，0）；
（3）由P的横坐标为m，得到P（m，2m﹣4），根据题意列方程即可得到结论；
（4）当点P在第一象限时，m（2m﹣4）＝2，当点P在第三象限时，m（2m﹣4）＝2，当点P在第四象限时，m[﹣（2m﹣4）]＝2，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）把点A（2，0）代入y＝kx﹣4得，0＝2k﹣4，
∴k＝2；
（2）∵点P在直线y＝2x﹣4上一动点，点P纵坐标为2，
∴2＝2m﹣4，
∴m＝3，
∴P（3，2），
∵四边形ABPC是平行四边形，
∴PC＝AB，PC∥AB，
∴AB＝PC＝3，
∵OA＝2，
∴OB＝5，
∴B（5，0）；
（3）∵P的横坐标为m，
∴P（m，2m﹣4），
∵▱ABPC的面积是△AOC的面积的4倍，
∴m（2m﹣4）＝4×12×2×（2m﹣4），
∴m＝4，
∴P（4，4）；
（4）∵P（m，2m﹣4），
∵点P在直线y＝kx﹣4上一动点，
∴当点P在第一象限时，m（2m﹣4）＝2，
∴m＝1+2或m＝1−2（不合题意舍去），
当点P在第三象限时，m（2m﹣4）＝2，
∴m＝1−2或m＝1+2（不合题意舍去），
当点P在第四象限时，m[﹣（2m﹣4）]＝2，
∴m＝1，
综上所述，▱ABPC的面积为2，m的值为1+2或1−2或1．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
考点卡片
1．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
2．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
3．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
4．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
5．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
6．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
7．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
10．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
11．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（−bk，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞−bk，不等式kx+b＜0的解为：x＜−bk；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜−bk，不等式kx+b＜0的解为：x＞−bk．
12．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
13．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
14．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
15．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
16．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．
17．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
18．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
20．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
21．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
22．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
23．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
24．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
25．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
26．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
27．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
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探究如图，在▱ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
C
B
B
B
B
D

探究如图，在▱ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）