北师大版数学七年级下学期精品期末模拟试卷（含详细解析）

这是一份北师大版数学七年级下学期精品期末模拟试卷（含详细解析），共50页。试卷主要包含了下列运算正确的是，下列事件为必然事件的是等内容，欢迎下载使用。
1．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，近似轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，已知AB∥DE，BD∥AC，若∠A＝120°，则∠D的度数为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．100°
3．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2ab）2＝4ab2B．4a2b÷a2b＝3a2b
C．a2•a4＝a8D．（a2）3＝a6
4．△ABC与△EDF按如图所示方式放置，点B、F、C、D在同一条直线上，AB∥ED，CD＝BF，若要使得△ABC≌△EDF，则需要补充的条件可以是（ ）
A．∠B＝∠EB．AC＝EFC．DE＝BCD．AB＝ED
5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，CE是△ACD的高，若AD＝CD，∠DCE＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
6．下列四个图形中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
7．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣b2）3＝b6B．﹣4a3b2÷（﹣4ab2）＝a2
C．3ab+2b＝6abD．（﹣x2）•（﹣2x）3＝﹣8x5
8．如图，在△ABC和△DCB中，AC、BD相交于点E，AB＝DC，若利用“SSS”来判定△ABC≌△DCB，则需添加的条件是（ ）
A．AE＝DEB．CE＝CDC．BE＝CED．AC＝DB
9．“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法制、爱国、敬业、诚信、友善”，这24个字是党的十八大提出社会主义核心价值观的基本内容，24字中，可以看作轴形的汉字个数（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．下列事件为必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是奇数
B．某射击运动员射靶一次，正中靶心
C．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻
D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
11．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，且S△ABC＝18，则S△ADF﹣S△BEF＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
12．爷爷每天坚持体育锻炼，今天爷爷从家里跑步到蝶湖公园，坐椅子上休息了一会儿，然后沿原路慢步走到家，下面能反映今天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
13．如图，等腰直角三角板的顶点A，C分别在直线a，b上．若a∥b，∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
14．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（ ）
A．38B．39C．40D．41
15．一把直尺和一个三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
16．如图，要测出池塘A、B两端的距离，可在平地上取一点C，连接AC、BC，并分别延长到点D、E，使CD＝CA、CE＝CB，连接DE，那么△ACB≌△DCE．此时，量出DE的长就是A、B两端的距离，在这个过程中，证明△ACB≌△DCE的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
17．甲、乙两车沿同一条路从A地出发匀速行驶至相距300km的B地，甲出发1小时后乙再出发，如图表示甲、乙两车离开A地的距离s（km）与乙出发的时间t（h）之间的关系，下列结论错误的是（ ）
A．甲车的速度是60 km/h
B．乙车的速度是100 km/h
C．a的值为60，b的值为4
D．甲车出发2.3h后被乙车追上
二．填空题（共6小题）
18．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝12，则△AOB的面积是 ．
19．如图，在△ABC中，DE、DF分别是AC、BC边的垂直平分线，连接AD、BD、CD，若∠ACB＝40，则∠BAD的度数为 °．
20．如图，直线AB、CD相交于点O，OM平分∠BOD，ON平分∠BOC，∠1：∠2＝7：1，则∠AON的度数为 °
21．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了5个相同的扇形，5个扇形分别标有数字“1”、“2”、“3”、“5”、“8”，任意转动转盘1次，指针指向偶数（指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）的概率为 ．
22．如图，△ABC和△ADH的顶点A重合，点C在AH上，∠ACB＝∠H＝90°，AD＝AB，且∠BAD＝90°，若BC＝10，AC＝3，则CH的长为 ．
23．对于整数a，b，我们定义：a▲b＝10a×10b，a△b＝10a÷10b．例如：5▲3＝105×103＝108，5△3＝105÷103＝102，则（2▲1）﹣（6△3）的值为 ．
三．解答题（共17小题）
24．计算：(14)−1−(−5×3)0−|−2|
25．先化简，再求值：（x+2）2﹣（x3+3x）÷x，其中x＝﹣2．
26．在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中任意摸出一个球为红球的概率；
（2）现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是25，问取走了多少个红球？
27．如图，直线AB、CD交于点O，∠AOC＝120°，射线OE将∠BOC分成两个角，∠BOE＝2∠COE．
（1）求∠COE的度数；
（2）若OF⊥OE，且射线OF在∠AOC内部，求∠DOF的度数．
28．如图是一个长方形纸片，它的长为（2a+b）cm，宽为（3b﹣a）cm，现用剪刀在长方形纸片内剪去2个边长均为b cm的正方形．
（1）用含a，b的代数式表示剩余纸片的面积；（结果化为最简形式）
（2）若a＝6，b＝8，求剩余纸片的面积．
29．如图，在四边形ABCD中，经过点C的直线CE交AB于点E，且AD∥CE，∠1+∠A＝180°．
（1）试说明AB∥CD；
（2）∠ADC的平分线与∠BCE的平分线交于点F，若∠1＝108°，∠BCE＝28°，求∠F的度数．
30．如图，点D、C均在线段BF上，AC、DE相交于点M，连接AB、EF，∠B＝∠1，∠A＝∠E，试说明AC∥EF．
31．如图，已知，∠C＝∠E，AC＝AE，∠CAD＝∠EAB．求证：AB＝AD．
32．先化简，再求值：[（2a+b）2+（b+2a）（b﹣2a）﹣2b（a+2b）]÷2b，其中a＝6，b＝2．
33．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为14，请求出m的值．
34．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数；
（2）若点F在AD延长线上，AF的垂直平分线交线段AC于点E，垂足为G，连接EF，试说明：EF∥AB．
35．先化简，再求值：（x2y﹣2xy2﹣y3）÷y﹣（x﹣y）（x+y），其中x，y满足．x＝2﹣1，y＝40．
36．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠B，试说明：AB∥EF，阅读下面的推理过程，请在括号内填写合适的理由，并将横线上的空补充完整．
解：因为∠1＝∠2，
所以DE∥BC．（ ）
所以∠B＝ ．（ ）
又因为∠3＝∠B，所以∠3＝ ．（等量代换）
所以AB∥EF．（ ）
37．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 吨油；运输飞机的油箱有余油量 吨油；
（2）这些油全部加给运输飞机需 分钟；
（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 吨油；
（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 小时．
38．如图，某新建高铁站广场前有一块长（4a+3b）m，宽（3a+4b）m的长方形空地，现计划在空地中间留一个长方形喷泉池（图中阴影部分），喷泉池四周是宽度均为bm的人行通道．
（1）求喷泉池的占地面积（用含a、b的代数式表示）．
（2）喷泉池建成后，需给人行通道铺上地砖以方便旅客通行，若每块地砖的面积是113bm2，则刚好铺满且不留缝隙时，需要多少块这样的地砖？
39．某夏令营主办方暑假带领营员去旅游，甲旅行社说：“若领队买全票一张，则学生可享受半价优惠”，乙旅行社说：“包括领队在内都六折优惠”，若全票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲、乙旅行社收费为y乙，求：
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．
（2）当学生人数为8人时，哪家旅行社更优惠？
（3）当学生人数是多少时，两家旅行社的收费是一样的？
40．已知△ABC．
（1）如图1，E为边BC的中点，连接AE并延长到点F，使EF＝AE，连接BF，求BF与AC的数量和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若AB＝AC，E为边AC上一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D，连接AD，若∠ABD＝∠CAD，试说明：AE＝CE．
北师大版数学七年级下学期精品期末模拟试卷（含详细解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共17小题）
一．选择题（共17小题）
1．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，近似轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，已知AB∥DE，BD∥AC，若∠A＝120°，则∠D的度数为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．100°
【考点】平行线的性质．
【专题】运算能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等解答即可．
【解答】解：∵BD∥AC，
∴∠B＝∠A＝120°；
∵AB∥DE，
∴∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝60°；
故选：A．
【点评】此题考查平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，熟记平行线的性质是解题的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2ab）2＝4ab2B．4a2b÷a2b＝3a2b
C．a2•a4＝a8D．（a2）3＝a6
【考点】整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：A、（﹣2ab）2＝4a2b2≠4ab2，故该选项是错误的；
B、4a2b÷a2b＝4≠3a2b，故该选项是错误的；
C、a2•a4＝a6≠a8，故该选项是错误的；
D、（a2）3＝a6，故该选项是正确的；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的乘法、整式的除法、积的乘方、幂的乘方等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．△ABC与△EDF按如图所示方式放置，点B、F、C、D在同一条直线上，AB∥ED，CD＝BF，若要使得△ABC≌△EDF，则需要补充的条件可以是（ ）
A．∠B＝∠EB．AC＝EFC．DE＝BCD．AB＝ED
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可求解．
【解答】解：∵AB∥ED，
∴∠B＝∠D，
∵CD＝BF，
∴BF+CF＝CD+CF，
即BC＝DF，
∴若补充∠B＝∠E，无法判定△ABC≌△EDF；选项A不符合题意；
若补充AC＝EF，无法判定△ABC≌△EDF；选项B不符合题意；
若补充DE＝BC，无法判定△ABC≌△EDF；选项C不符合题意；
若补充AB＝ED，根据SAS能判定△ABC≌△EDF，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，CE是△ACD的高，若AD＝CD，∠DCE＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】先求得∠ACD＝60°，因为AD是BC边上的中线，所以DB＝DC＝AD，则利用三角形的外角性质求得∠B的度数为30°，即可作答．
【解答】解：∵CE是△ACD的高，
∴∠DEC＝90°，
∵∠DCE＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵AD是BC边上的中线，
∴DB＝DC，
∵AD＝CD，
∴DB＝DC＝AD，
∴∠B＝∠BAD，∠B+∠BAD＝∠ADC＝60°，
∴∠B的度数为30°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与外角性质，关键是等腰三角形性质的应用．
6．下列四个图形中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【解答】解：A、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意；
B、符合轴对称图形定义，故此项符合题意；
C、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意；
D、不符合轴对称图形定义，故不此项符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键．
7．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣b2）3＝b6B．﹣4a3b2÷（﹣4ab2）＝a2
C．3ab+2b＝6abD．（﹣x2）•（﹣2x）3＝﹣8x5
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】结合选项分别进行幂的乘方、积的乘方和单项式的除法等运算，即可得出答案．
【解答】解：A．（﹣b2）3＝﹣b6，原式计算错误，故A选项不符合题意；
B．﹣4a3b2÷（﹣4ab2）＝a2，原式计算正确，故B选项符合题意；
C．3ab与2b不是同类项，不能合并，原式计算错误，故C选项不符合题意；
D．（﹣x2）•（﹣2x）3＝﹣x2•（﹣8x3）＝8x5，原式计算错误，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的乘除法等知识，熟练掌握整式的相关运算法则是关键．
8．如图，在△ABC和△DCB中，AC、BD相交于点E，AB＝DC，若利用“SSS”来判定△ABC≌△DCB，则需添加的条件是（ ）
A．AE＝DEB．CE＝CDC．BE＝CED．AC＝DB
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；运算能力．
【答案】D
【分析】找出三组对应边相等，即可SSS可判定△ABC≌△DCB．
【解答】解：∵AB＝DC，BC＝CB，
∴当AC＝DB时，
根据SSS可判定△ABC≌△DCB；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键．
9．“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法制、爱国、敬业、诚信、友善”，这24个字是党的十八大提出社会主义核心价值观的基本内容，24字中，可以看作轴形的汉字个数（ ）
A．4B．5C．6D．7
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
【解答】解：“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法制、爱国、敬业、诚信、友善”，共24字，
可以看作轴形的汉字是由，平，业，善，
∴看作轴形的汉字个数是4个，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的定义，熟知平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形是解题的关键．
10．下列事件为必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是奇数
B．某射击运动员射靶一次，正中靶心
C．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻
D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
【考点】随机事件．
【专题】统计与概率；应用意识．
【答案】D
【分析】根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、是随机事件，故本选项错误，不符合题意；
B、是随机事件，故本选项错误，不符合题意；
C、是随机事件，故本选项错误，不符合题意；
D、是必然事件，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是事件的分类，即事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，熟知以上知识是解答此题的关键．
11．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，且S△ABC＝18，则S△ADF﹣S△BEF＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】由EC＝2BE得S△AEC=23S△ABC=23×18=12，同理可得S△BCD=12S△ABC=9，根据S△ADF﹣S△BEF＝S△ADF+S四边形CEFD﹣（S△BEF+S四边形CEFD）＝S△AEC﹣S△BCD即可得到答案．
【解答】解：∵EC＝2BE，
∴S△AEC=23S△ABC=23×18=12，
∵点D为AC中点，
∴S△BCD=12S△ABC=9，
∴S△AEC﹣S△BCD＝3，
即S△ADF﹣S△BEF＝S△ADF+S四边形CEFD﹣（S△BEF+S四边形CEFD）＝S△AEC﹣S△BCD＝3，
∴S△ADF﹣S△BEF＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积计算，同高不等底的三角形面积之比为底之比，熟悉以上性质是解题关键．
12．爷爷每天坚持体育锻炼，今天爷爷从家里跑步到蝶湖公园，坐椅子上休息了一会儿，然后沿原路慢步走到家，下面能反映今天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】B
【分析】由爷爷锻炼身体的行程，可得出距离的变化是先增加、中间有段不变后减少，再根据跑步的速度快于漫步的速度，对照选项即可得出结论．
【解答】解：∵爷爷跑步去公园，漫步回家，且在公园停留打了一会儿太极拳，
∴距离的变化是先增加、中间有段不变后减少，且增加的快，减少的慢．
故选：B．
【点评】此题考查函数的图象，关键是根据速度的物理意义和比较物体运动快慢的基本方法．
13．如图，等腰直角三角板的顶点A，C分别在直线a，b上．若a∥b，∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【考点】等腰直角三角形；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，由平行线的性质得出∠1+∠BAC+∠ACB+∠2＝180°，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，
∵a∥b，
∴∠1+∠BAC+∠ACB+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣25°﹣45°＝20°；
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．
14．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（ ）
A．38B．39C．40D．41
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】先根据折叠的性质得到∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，则利用平角的定义得到∠AED+∠BEF＝90°，∠ADE+∠BFE＝128°，再利用三角形内角和定理得到∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，则可计算出∠A+∠B＝142°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠C的度数．
【解答】解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，
∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，
∵∠AEO+∠BEO＝180°，
∴∠AED+∠BEF＝90°，
∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°，
∴∠ADE+∠BFE＝128°，
∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，
即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°，
∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°，
∴∠A+∠B＝142°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了折叠的性质．
15．一把直尺和一个三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【考点】平行线的性质；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】直接利用“两直线平行，同位角相等”结合平角即可求解．
【解答】如图，由题意得：∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵∠1＝20°，
∴∠3＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，余角和补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
16．如图，要测出池塘A、B两端的距离，可在平地上取一点C，连接AC、BC，并分别延长到点D、E，使CD＝CA、CE＝CB，连接DE，那么△ACB≌△DCE．此时，量出DE的长就是A、B两端的距离，在这个过程中，证明△ACB≌△DCE的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：在△ACB与△DCE中，
CD=CA∠ACB=∠DCECE=CB，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB＝CD，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
17．甲、乙两车沿同一条路从A地出发匀速行驶至相距300km的B地，甲出发1小时后乙再出发，如图表示甲、乙两车离开A地的距离s（km）与乙出发的时间t（h）之间的关系，下列结论错误的是（ ）
A．甲车的速度是60 km/h
B．乙车的速度是100 km/h
C．a的值为60，b的值为4
D．甲车出发2.3h后被乙车追上
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据函数图象，列出关于a，b的方程，求出a，b的值，从而即可逐一判断各个选项．
【解答】解：根据图象可知，300−ab=a240−a3=a，解得：a=60b=4，
∴甲车的速度：60÷1＝60 km/h，乙车的速度：300÷3＝100，
故A，B，C正确，不符合题意；
∵60÷（100﹣60）＝1.5，
乙车出发1.5小时后追上甲车，
故D错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解函数图象以及分别求出甲、乙两人的速度是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
18．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝12，则△AOB的面积是 18 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】18．
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，根据BO平分∠ABC，OD⊥BC，得到OE＝OD＝3，根据面积公式求出三角形的面积．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，
∴OE＝OD＝3，
∴△AOB的面积=12AB⋅OE=12×12×3=18，
故答案为：18．
【点评】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质定理是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，DE、DF分别是AC、BC边的垂直平分线，连接AD、BD、CD，若∠ACB＝40，则∠BAD的度数为 50 °．
【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】50．
【分析】延长CD交AB于M，由线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，BD＝CD，即得到∠DAC＝∠DCA，∠DBC＝∠DCB，AD＝BD，得到∠ADM＝2∠DCA，∠BDM＝2∠DCB，∠BAD＝∠ABD，进而由三角形外角性质可得到∠ADB＝80°，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：延长CD交AB于M，
∵DE、DF分别是AC、BC边的垂直平分线，
∴AD＝CD，BD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，∠DBC＝∠DCB，AD＝BD，
∴∠ADM＝2∠DCA，∠BDM＝2∠DCB，∠BAD＝∠ABD，
∴∠ADM+∠BDM＝2∠DCA+2∠DCB＝2（∠DCA+∠DCB）＝2∠ACB＝80°，
即∠ADB＝80°，
∴∠BAD=∠ABD=180°−80°2=50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角性质及内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键．
20．如图，直线AB、CD相交于点O，OM平分∠BOD，ON平分∠BOC，∠1：∠2＝7：1，则∠AON的度数为 110 °
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】110．
【分析】根据角平分线的定义得到∠BOD＝2∠2，根据∠1：∠2＝7：1得到∠1＝140°，∠BOD＝40°，由对顶角的性质得到∠AOC＝40°，∠BOC＝140°，根据角平分线的定义得到∠CON＝70°，即可得到结论．
【解答】解：∵OM平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠2，
∵∠1：∠2＝7：1，
∴∠1：∠BOD＝7：2，
∵∠1+∠BOD＝180°，
∴∠1＝140°，
∴∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，∠BOC＝∠1＝140°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠CON=12∠BOC=70°，
∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝110°．
故答案为：110．
【点评】本题主要考查了相交线，角平分线．熟练掌握角平分线定义，邻补角定义，对顶角性质，是解决问题的关键．
21．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了5个相同的扇形，5个扇形分别标有数字“1”、“2”、“3”、“5”、“8”，任意转动转盘1次，指针指向偶数（指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）的概率为 25 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】25．
【分析】由题意可知，共有5种等可能得情况，其中指针指向偶数的情况有2种，即可得到概率．
【解答】解：由题意可知，共有5种等可能得情况，其中指针指向偶数的情况有2种，
即概率为25，
故答案为：25．
【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题关键．
22．如图，△ABC和△ADH的顶点A重合，点C在AH上，∠ACB＝∠H＝90°，AD＝AB，且∠BAD＝90°，若BC＝10，AC＝3，则CH的长为 7 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【专题】推理能力．
【答案】7．
【分析】根据∠BAD＝90°，∠ACB＝∠H＝90°，得到∠DAH＝∠B，根据AD＝AB，得到△ABC≌△DAH（AAS），得到AH＝BC＝10，即得CH＝7．
【解答】解：∵∠BAD＝90°，∠ACB＝∠H＝90°，
∴∠DAH+∠BAC＝90°，∠BAC+∠B＝90°，
∴∠DAH＝∠B，
∵AD＝AB，
∴△ABC≌△DAH（AAS），
∴AH＝BC＝10，
∵AC＝3，
∴CH＝AH﹣AC＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的判断和性质，是解决问题的关键．
23．对于整数a，b，我们定义：a▲b＝10a×10b，a△b＝10a÷10b．例如：5▲3＝105×103＝108，5△3＝105÷103＝102，则（2▲1）﹣（6△3）的值为 0 ．
【考点】同底数幂的除法；有理数的混合运算；同底数幂的乘法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】0．
【分析】根据题干中新定义进行转化，再计算同底数幂的乘法和除法，然后合并同类项，即可计算求值．
【解答】解：（2▲1）﹣（6△3）
＝（102×10）﹣（106÷103）
＝103﹣103
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法和同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
三．解答题（共17小题）
24．计算：(14)−1−(−5×3)0−|−2|
【考点】有理数的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】1．
【分析】先算零指数幂，负整数指数幂，去绝对值符号，再算加减即可．
【解答】解：(14)−1−(−5×3)0−|−2|
=114−1−2
＝4﹣1﹣2
＝1．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，负整数指数幂、零指数幂和绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
25．先化简，再求值：（x+2）2﹣（x3+3x）÷x，其中x＝﹣2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】4x+1；﹣7．
【分析】首先化简（x+2）2﹣（x3+3x）÷x；然后把x＝﹣2代入化简后的算式计算即可．
【解答】解：当x＝﹣2时，
（x+2）2﹣（x3+3x）÷x
＝（x2+4x+4）﹣（x2+3）
＝x2+4x+4﹣x2﹣3
＝4x+1
＝4×（﹣2）+1
＝﹣8+1
＝﹣7．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值问题，解答此题的关键是要明确：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
26．在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中任意摸出一个球为红球的概率；
（2）现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是25，问取走了多少个红球？
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）35；
（2）3．
【分析】（1）从袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中是红球的有6种结果，再根据概率公式求解即可；
（2）设取走了x个红球，根据随机摸出一个球是白球的概率是25列出关于x的方程，解之即可得出答案．
【解答】解：（1）从袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中是红球的有6种结果，
所以从袋中任意摸出一个球为红球的概率为610=35；
（2）设取走了x个红球，
根据题意，得：1+x10=25，
解得x＝3，
答：取走了3个红球．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
27．如图，直线AB、CD交于点O，∠AOC＝120°，射线OE将∠BOC分成两个角，∠BOE＝2∠COE．
（1）求∠COE的度数；
（2）若OF⊥OE，且射线OF在∠AOC内部，求∠DOF的度数．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）∠COE＝20°；
（2）∠DOF＝110°．
【分析】（1）根据∠AOC＝120°，得出∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，根据∠BOE＝2∠COE，∠BOE+∠COE＝60°，求出∠COE＝20°即可；
（2）根据垂线定义得出∠EOF＝90°，求出∠COF＝90°﹣∠COE＝70°，根据邻补角求出∠DOF＝180°﹣∠COF＝110°．
【解答】解：（1）因为∠AOC＝120°，
所以∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，
因为∠BOE＝2∠COE，∠BOE+∠COE＝60°，
所以2∠COE+∠COE＝60°，
所以∠COE＝20°．
（2）因为OE⊥OF，
所以∠EOF＝90°，
所以∠COF＝90°﹣∠COE＝70°，
所以∠DOF＝180°﹣∠COF＝110°．
【点评】本题主要考查了垂线定义，邻补角定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角度间的关系．
28．如图是一个长方形纸片，它的长为（2a+b）cm，宽为（3b﹣a）cm，现用剪刀在长方形纸片内剪去2个边长均为b cm的正方形．
（1）用含a，b的代数式表示剩余纸片的面积；（结果化为最简形式）
（2）若a＝6，b＝8，求剩余纸片的面积．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（b2﹣2a2+5ab）cm2；
（2）232cm2．
【分析】（1）用长方形纸片的面积减去2个正方形的面积进行列式，然后根据多项式乘以多项式以及合并同类项的法则进行计算即可；
（2）直接代入（1）中结果计算即可．
【解答】解：（1）（2a+b）（3b﹣a）﹣2b2
＝6ab﹣2a2+3b2﹣ab﹣2b2
＝（b2﹣2a2+5ab）cm2，
所以剩余纸片的面积为（b2﹣2a2+5ab）cm2；
（2）若a＝6，b＝8，
则b2﹣2a2+5ab＝82﹣2×62+5×6×8＝64﹣72+240＝232（cm2），
所以剩余纸片的面积为232cm2．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式的乘法法则．
29．如图，在四边形ABCD中，经过点C的直线CE交AB于点E，且AD∥CE，∠1+∠A＝180°．
（1）试说明AB∥CD；
（2）∠ADC的平分线与∠BCE的平分线交于点F，若∠1＝108°，∠BCE＝28°，求∠F的度数．
【考点】角平分线的定义；平行线的判定与性质；三角形内角和定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）40°．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADC＝∠1，根据∠1+∠A＝180°可得∠ADC+∠A＝180°，再根据平行线的判定即可证明结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ADC＝108°，根据角平分线的定义可求得∠CDF＝54°，∠ECF＝14°，再根据三角形内角和定理即得答案．
【解答】（1）证明：∵AD∥CE，
∴∠ADC＝∠1，
∵∠1+∠A＝180°，
∴∠ADC+∠A＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠1＝108°，
∴∠ADC＝∠1＝108°，∠DCE＝180°﹣∠1＝72°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=12∠ADC=54°，
∵∠BCE＝28°，CF平分∠BCE，
∴∠ECF=12∠BCE=14°，
∴∠DCF＝72°+14°＝86°，
∴∠F＝180°﹣∠CDF﹣∠DCF＝180°﹣54°﹣86°＝40°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
30．如图，点D、C均在线段BF上，AC、DE相交于点M，连接AB、EF，∠B＝∠1，∠A＝∠E，试说明AC∥EF．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】先根据∠B＝∠1得AB∥DE，再由平行线的性质得∠A＝∠CMD，等量代换得∠CMD＝∠E，即可证明．
【解答】证明：∵∠B＝∠1，
∴AB∥DE，
∴∠A＝∠CMD，
∵∠A＝∠E，
∴∠CMD＝∠E，
∴AC∥EF．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
31．如图，已知，∠C＝∠E，AC＝AE，∠CAD＝∠EAB．求证：AB＝AD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】利用ASA证明△CAB≌△EAD即可证明AB＝AD．
【解答】证明：∵∠CAD＝∠EAB，
∴∠CAD﹣∠BAD＝∠EAB﹣∠BAD，
∴∠CAB＝∠EAD，
在△CAB和△EAD中，
∠C=∠EAC=AE∠CAB=∠EAD
∴△CAB≌△EAD（ASA），
∴AB＝AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是全等三角形判定定理的应用．
32．先化简，再求值：[（2a+b）2+（b+2a）（b﹣2a）﹣2b（a+2b）]÷2b，其中a＝6，b＝2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】a﹣b，4．
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据多项式除单项式的运算法则进行计算，再代入求值即可．
【解答】解：原式＝（4a2+4ab+b2+b2﹣4a2﹣2ab﹣4b2）÷2b
＝（2ab﹣2b2）÷2b
＝a﹣b，
当a＝6，b＝2时，
原式＝6﹣2＝4．
【点评】本题考查了整式的混合运算，求代数式的值，关键是熟记乘法公式，合并同类法则，单项式除多项式法则．
33．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为14，请求出m的值．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】（1）715；
（2）m＝3．
【分析】（1）根据简单事件的概率计算公式求解即可；
（2）先根据摸出红球的概率求得从盒子里取出m个白球后的球的总数，进而可得m值．
【解答】解：（1）因为红球3个，白球5个，黑球7个，
所以盒子中球的总数为：3+5+7＝15（个），
所以任意摸出一个球是黑球的概率为715；
（2）因为任意摸出一个球是红球的概率14，
所以盒子中球的总量为：3÷14=12
所以可以将盒子中的白球拿出15﹣12＝3（个），
所以m＝3．
【点评】本题考查了概率公式，解题的关键是熟练掌握概率公式．
34．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数；
（2）若点F在AD延长线上，AF的垂直平分线交线段AC于点E，垂足为G，连接EF，试说明：EF∥AB．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的判定；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）54°；
（2）见解析．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°，由直角三角形的特征即可求解；
（2）由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得∠F＝∠CAD，由等量代换得∠F＝∠BAD，由平行线的判定方法即可判断．
【解答】解：（1）因为AB＝AC，AD⊥BC于点D，
所以∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°，
因为∠B＝36°，
所以∠BAD＝90°﹣∠B＝54°，
所以∠CAD＝54°．
（2）因为EG垂直平分AF，
所以AE＝EF，
所以∠F＝∠CAD．
由（1）知，∠BAD＝∠CAD，
所以∠F＝∠BAD，
所以EF∥AB．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定；掌握相关的性质及判定方法是解题的关键．
35．先化简，再求值：（x2y﹣2xy2﹣y3）÷y﹣（x﹣y）（x+y），其中x，y满足．x＝2﹣1，y＝40．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣2xy，﹣1．
【分析】先根据多项式除以单项式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（x2y﹣2xy2﹣y3）÷y﹣（x﹣y）（x+y）
＝x2﹣2xy﹣y2﹣（x2﹣y2）
＝x2﹣2xy﹣y2﹣x2+y2
＝﹣2xy，
当x=2−1=12，y＝40＝1时，
原式=−2×12×1=−1．
【点评】本题考查整式的化简求值，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
36．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠B，试说明：AB∥EF，阅读下面的推理过程，请在括号内填写合适的理由，并将横线上的空补充完整．
解：因为∠1＝∠2，
所以DE∥BC．（ 内错角相等，两直线平行 ）
所以∠B＝ ∠ADE ．（ 两直线平行，同位角相等 ）
又因为∠3＝∠B，所以∠3＝ ∠ADE ．（等量代换）
所以AB∥EF．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】内错角相等，两直线平行；∠ADE；两直线平行，同位角相等；∠ADE；内错角相等，两直线平行．
【分析】根据内错角相等，两直线平行得出DE∥BC，再根据两直线平行，同位角相等得出∠B＝∠ADE，结合已知∠3＝∠B得出∠3＝∠ADE，最后根据内错角相等，两直线平行即可得证．
【解答】解：因为∠1＝∠2，
所以DE∥BC．（内错角相等，两直线平行）
所以∠B＝∠ADE．（两直线平行，同位角相等）
又因为∠3＝∠B，所以∠3＝∠ADE．（等量代换）
所以AB∥EF．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：内错角相等，两直线平行；∠ADE；两直线平行，同位角相等；∠ADE；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
37．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 30 吨油；运输飞机的油箱有余油量 40 吨油；
（2）这些油全部加给运输飞机需 10 分钟；
（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 0.1 吨油；
（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 11.5 小时．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象．
【答案】（1）30；40．
（2）10；
（3）0.1；
（4）11.5．
【分析】（1）通过观察线段Q1，Q2段图象，不难得到加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油．
（2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟．
（3）首先根据运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，求出每小时耗油量．
（4）根据（3）中的耗油量，可直接得出最多飞行时间．
【解答】解：（1）由题意及图象得
加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油．
故答案为：30；40．
（2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟；
故答案为：10；
（3）∵运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，
所以说10分钟内运输飞机耗油量为1吨，
∴运输飞机每分钟耗油量为0.1吨；
故答案为：0.1；
（4）由（3）知运输飞机每小时耗油量为＝6（吨），
∴69÷6＝11.5（小时），
故答案为：11.5．
【点评】本题考查函数图象．解决本题的关键是读懂图象，其中尤其注意运输飞机每小时耗油量这个隐含条件的确定．
38．如图，某新建高铁站广场前有一块长（4a+3b）m，宽（3a+4b）m的长方形空地，现计划在空地中间留一个长方形喷泉池（图中阴影部分），喷泉池四周是宽度均为bm的人行通道．
（1）求喷泉池的占地面积（用含a、b的代数式表示）．
（2）喷泉池建成后，需给人行通道铺上地砖以方便旅客通行，若每块地砖的面积是113bm2，则刚好铺满且不留缝隙时，需要多少块这样的地砖？
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）喷泉池的占地面积为（12a2+11ab+2b2）m2；
（2）需要（182a+130b）块这样的地砖．
【分析】根据题意列出算式，并运用多项式乘多项式和多项式除以单项式的计算法则进行逐一计算．
【解答】解：（1）由题意得，
（4a+3b﹣2b）（3a+4b﹣2b）
＝（4a+b）（3a+2b）
＝12a2+11ab+2b2，
∴喷泉池的占地面积为（12a2+11ab+2b2）m2；
（2）由题意得，[(4a+3b)(3a+4b)−(12a2+11ab+2b2)]÷113b
=(12a2+25ab+12b2−12a2−11ab−2b2)÷113b
=(14ab+10b2)÷113b
=14ab÷113b+10b2÷113b
＝182a+130b（块），
答：需要（182a+130b）块这样的地砖．
【点评】本题考查了多项式乘多项式及多项式除以单项式的应用，关键是能准确根据题意列出算式，并能运用以上知识进行正确地计算．
39．某夏令营主办方暑假带领营员去旅游，甲旅行社说：“若领队买全票一张，则学生可享受半价优惠”，乙旅行社说：“包括领队在内都六折优惠”，若全票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲、乙旅行社收费为y乙，求：
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．
（2）当学生人数为8人时，哪家旅行社更优惠？
（3）当学生人数是多少时，两家旅行社的收费是一样的？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）y甲＝600x+1200；
y乙＝720x+720；
（2）当学生人数为8人时，甲旅行社更优惠．
（3）当学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的．
【分析】（1）根据收费总额＝学生人数×单价+领队的票价就可以分别求出两家旅行社的收费；
（2）代入计算进行比较即可求解；
（3）利用y甲＝y乙时，得出600x+1200＝720x+720，进而求出即可．
【解答】解：（1）y甲＝0.5×1200x+1200＝600x+1200；
y乙＝0.6×1200（x+1）＝720x+720；
（2）当x＝8时，y甲＝600×8+1200＝6000，
y乙＝720×8+720＝6480，
6000＜6480，
答：当学生人数为8人时，甲旅行社更优惠．
（3）当 y甲＝y乙时，600x+1200＝720x+720，
解得x＝4．
答：当学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，运用代数式解决方案设计问题的运用，在解答时根据两个代数式建立方程是关键．
40．已知△ABC．
（1）如图1，E为边BC的中点，连接AE并延长到点F，使EF＝AE，连接BF，求BF与AC的数量和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若AB＝AC，E为边AC上一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D，连接AD，若∠ABD＝∠CAD，试说明：AE＝CE．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）BE＝CE，BF∥AC；理由见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）根据线段中点的定义得出BE＝CE，进而证明△BFE≌△CAE（SAS），根据全等三角形的性质，平行线的判定，即可得出结论；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，过点C作CT∥AB交AD的延长线于点T，证明△ABE≌△CAT（ASA），△CDE≌△CDT（AAS），根据全等三角形的性质，即可得证．
【解答】（1）解：BF∥AC，BF＝AC，理由如下：
因为E为边BC的中点，
所以BE＝CE．
在△BFE和△CAE中，
因为BE＝CE，∠BEF＝∠CEA，FE＝AE，
所以△BFE≌△CAE（SAS），
所以BF＝AC，∠CAE＝∠BFE，
所以BF∥AC．
（2）证明：如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点C作CT∥AB交AD的延长线于点T．
因为AB∥CT，
所以∠BAE＝∠ACT．
在△ABE和△CAT中，
因为∠BAE＝∠ACT，AB＝CA，∠ABE＝∠CAT，
所以△ABE≌△CAT（ASA），
所以AE＝CT，∠AEB＝∠ATC．
因为∠CED＝∠AEB，
所以∠CED＝∠ATC．
因为AH⊥BC，CD⊥CB，
所以AH∥CD，
所以∠CAH＝∠ACD．
因为AB＝AC，AH⊥BC，
所以∠BAC＝2∠CAH，
所以∠ACT＝2∠ACD，
所以∠DCE＝∠DCT．
在△CDE和△CDT中，
因为∠DCE＝∠DCT，∠CED＝∠CTD，CD＝CD，
所以△CDE≌△CDT（AAS），
所以CE＝CT，
所以AE＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，掌握其性质定理是解决此题的关键．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
3．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
4．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
5．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
6．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
7．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
8．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
9．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
10．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
11．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
12．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
13．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
14．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
15．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
16．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
17．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
18．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
19．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
20．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
21．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
22．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
23．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
24．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
25．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
26．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
27．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
28．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
29．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
30．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
31．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
32．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
33．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
34．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
35．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
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答案
B
A
D
D
C
B
B
D
A
D
B
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答案
B
C
A
C
A
D