吉林省梅河口市第五中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份吉林省梅河口市第五中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面向量，且，则（ ）
A．B．C．D．3
3．已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
4．若向量，，，则可用向量，表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（ ）
A．B．C．D．
6．函数的部分图象如图所示，则=
A．6B．14C．3D．6
7．如图，在中，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（ ）
A．B．C．3D．4
8．设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列关于向量的说法正确的是（ ）
A．任意向量，满足
B．若且，则
C．若非零向量满足，则
D．任意两个非零向量和，向量与向量垂直
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）．
A．函数是奇函数B．函数的值域为
C．函数是周期为的周期函数D．函数在上单调递减
11．函数，的反函数称为反正弦函数，记为，；函数，的反函数称为反余弦函数，记为，．则下列等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．函数的定义域为 ．
13．如图，角的终边与单位圆在第一象限交于点P．且P的横坐标为，半径绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点关于x轴的对称点为，角的终边在上，则 ．

14．如图，在等腰中，底边，是腰上的两个动点，且，则当取得最小值时，的值为 ．

四、解答题
15．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b．
(1)求为偶数的概率；
(2)求为整数的概率．
17．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l．
(1)若，求扇形的弧长l；
(2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积；
(3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
18．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）；
(2)根据表格中的数据作出在一个周期内的图象；
(3)将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，再将所得函数图像上所有点向左平移个单位长度得到的图像，求在区间上的值域．
19．已知函数（，），若的图象的相邻两对称轴间的距离为，且过点．
(1)当时，求函数的值域；
(2)记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．
1．B
由向量的坐标除以向量的模，可得与向量同向的单位向量的坐标.
【详解】因为，所以，
所以与向量同向的单位向量的坐标为：，
故选：B
2．A
利用向量的坐标运算及向量共线的坐标表示求出.
【详解】向量，则，
由，得，所以.
故选：A
3．A
直接求出函数的周期T，利用周期公式可求，得到函数的解析式，利用图象平移的规律：左加右减，图象伸缩变换的规律即可得解．
【详解】由题意可知，
所以，
所以可将的图象上所有的点先向右平移个单位长度得到，
再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象，
即的图象，
故选：A
4．A
根据向量基本定理，设，代入计算得到方程组，解出即可.
【详解】设，即，
则有，解得，则.
故选：A.
5．B
由三角函数定义得、、三者之间关系，另有弧长公式，两式相除即可.
【详解】
设该圆弧所对应的圆的半径为，则，，两式相除得
故选：.
6．D
【详解】在中，
令，得，所以点A的坐标为；
令，得，所以点B的坐标为．
∴，
∴，
∴.
故选D．
7．D
【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系：
因为在中，为线段的中点，所以，
则，所以，
设，，则，
所以，故，
又因为，所以，
所以，故，，
，因为，所以
即的最大值与最小值的差为.
故选：D.
8．B
利用换元，将原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，继而数形结合，列出符合题意的不等式，求得答案.
【详解】令，则，令，则，
则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，
使得，求的取值范围；
作出和的图象，如图：
结合图象可知满足条件的最短区间的长度为，
最长区间的长度为，
故得，解得，即，
故选：B
9．ACD
利有向量的运算律，向量数量积运算，向量垂直的性质即可作出判断.
【详解】对于A，根据向量数量积的分配律成立，故A正确；
对于B，由可得，
因为，所以，所以不一定成立，
举反例：如此时，故B错误；
对于C，因为非零向量满足，所以，
即，所以，故C正确；
对于D，由于，
所以向量与向量垂直，故D正确；
故选：ACD.
10．ABD
根据函数的奇偶性、单调性、周期性知识，逐项分析即可求解.
【详解】由于，又函数的定义域为，
所以定义域关于原点对称，
而，
故为奇函数，A正确，
由于，所以，
从而，B正确，
，
所以不是周期为的周期函数，C错误，
由于在上单调递减，所以在上单调递减，
从而在上单调递增，则在上单调递减，
则在上单调递减，D正确.
故选：ABD.
11．BCD
根据反余弦函数的定义，设，即，设，即，得即可判断A，由，利用反正弦函数的定义即可判断B，设，即，得，利用诱导公式即可判断C，由，根据同角三角函数的关系即可判断D.
【详解】设，即，设，即，
所以，又，所以，即，
所以，故A错误；
由，，所以，故B正确；
设，，，，
所以，故C正确；
由，，即，所以，故D正确.
故选：BCD.
12．
根据对数函数的定义域，结合三角函数的诱导公式以及单调性，可得答案.
【详解】由，则，
化简可得，解得.
故答案为：.
13．
利用三角函数的定义结合两角和与差的正弦公式求解即可.
【详解】因为P的横坐标为所以P的坐标为
由因为半径绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点
所以以为终边的角大小为
关于x轴的对称点为，角的终边在上，
所以角的终边构成的角为
，
故答案为：
14．
根据条件，利用三点共线的条件，得到，再结合条件，利用基本不等式，可得，从而可得，利用数量积的几何意义，即可求解.
【详解】因为是腰上的两个动点，则，，
所以，又，
则，得到，所以，
当且仅当，即，所以，
则，
又是等腰三角形，且底边，取中点，连接，则，且，
所以，

故答案为：.
15．(1)2
(2)
（1）将其次式的分子分母同时除以，转化为的式子计算求解即可；
（2）利用诱导公式化简转化为其二次式分子分母同时除以，转化为的式子计算求解即可.
【详解】（1）．
（2）
．
16．(1)
(2)．
（1）写出样本空间，设出事件，列举出满足要求的样本点，得到答案；
（2）在（1）基础上，事件“为整数”，得到事件共有3个样本点，得到答案.
【详解】（1）样本空间可记为
，共包含20个样本点．
设事件“为偶数”，，
包含8个样本点，则．
（2）由（1）得样本空间共包含20个样本点，
设事件“为整数”，
因为，，，
所以，包含3个样本点，
则．
17．(1)
(2)
(3)
（1）直接根据弧长公式进行计算即可；
（2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积
（3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得；
【详解】（1）．
（2）设弓形面积为．由题知．
．
（3）由已知得，，
所以．
所以当时，S取得最大值，
此时．
18．(1)表格见解析，
(2)作图见解析；
(3)
（1）利用最大值求；由表格中数据先求周期，再求；再由求得，进而得到解析式，由解析式补全表格即可；
（2）由表格数据描点连线作图即可；
（3）求出后，结合正弦型函数的性质计算即可得.
【详解】（1）由题可知，，所以，
，，
，
则数据补全如下表：
（2）由（1），在一个周期内的图象如图所示，
；
（3），
当时，，
则，则，
即在区间上的值域为.
19．(1)
(2)，n=5
（1）根据题设条件可求的值，再利用整体法可求函数的值域.
（2）结合图象特征可求的值．
【详解】（1）的图象的相邻两对称轴间的距离为，故，故，故，
因为图象过点，故，
故，故.
当时，，，
故函数的值域为.
（2）在上的图象如图所示：

因此与的图象在上共有5不同的交点，
这些交点的横坐标从小到大依次为，，…，, 故n=5.
令，则，
故的图象在内的对称轴分别为：
，，，，，
结合图象可得，，，
，0
0
3
0
0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
A
B
D
D
B
ACD
ABD
题号
11









答案
BCD









0
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3
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