江苏省南京市联合体2024年中考二模数学试题（解析版）

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1. 的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
的算术平方根是．
故选：．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、与不是同类项，不能进行合并，故该项不符合题意；
B、，故该项符合题意；
C、，故该项不符合题意；
D、，故该项不符合题意；
故选：B．
3. 下列整数中，与最接近的整数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】∵，，
∴4＜＜4.5
∴与最接近的整数是4
故选B．
4. 若第一组数据，，，，的平均数为，则第二组数据，，，，，与第一组数据相比（ ）
A. 平均数变小，方差变小B. 平均数不变，方差变小
C. 平均数变小，方差变大D. 平均数不变，方差变大
【答案】B
【解析】由题意可知，第二组数据，，，，，与第一组数据相比，平均数不变，
设第一组数据的方差为，第二组数据的方差为，
则，
，
，
，
若第一组数据，，，，的平均数为，则第二组数据，，，，，与第一组数据相比平均数不变，方差变小．
故选：B．
5. 如图，五边形内接于，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，如图，
，，
，
，
，
∴，
，
四边形是圆内接四边形，
，
．
故选：C．
6. 小华参加植树活动，当太阳光线与地面成夹角时，直立的树苗在地面的影长为，由于培土不足，树苗栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗的影长的最大值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，得（米）．
当树与光线垂直，即时，影长最长，最大影长为，
在中，，
∴（米）．
故选：D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7. 已知一粒米的质量是千克，用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
故答案为：．
8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__．
【答案】x≥-4
【解析】由题意得：x+4≥0，
∴x≥-4，
故答案是：x≥-4．
9. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
10. 若关于的方程有一个根为2，则的值为______．
【答案】
【解析】把代入方程，
得：，
解得，
故答案为：．
11. 分解因式的结果是______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
12. 若反比例函数的图象经过点2,3，，则______．
【答案】1
【解析】设反比例函数的图象为，
把点2,3代入得：，
则反比例函数的图象为，
把代入得：，
解得：．
故答案为：1．
13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，顶点都在第一象限，若，则顶点的坐标为______．
【答案】
【解析】如图，过点作于，
四边形是菱形，点，，
，，
，
，
，
，，
，
点坐标为，
故答案为：．
14. 如图，在四边形中，，，若，则______．
【答案】78
【解析】设，则，
∵，，
，
又
故答案为：．
15. 如图，内接于，，点在上，于点，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】连接，
内接于，且，
是的直径，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
中，，，
，
，
．
故答案为：．
16. 如图，在中，，，，点在边上，且，点在边上，把沿折叠，若点恰好落在边上，则的长为______．
【答案】4或
【解析】过点分别作的垂线，连接，如图，
则四边形都是矩形，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
由折叠的性质得，，
设，，
∵，
∴，
∴，
∵，
在中，由勾股定理得，
整理得，
解得或，
当时，点重合，此时；
当时，中，，，
由勾股定理得，
解得，
综上，的长为4或．
故答案为：4或．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解不等式，并在数轴上表示解集．
解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
在数轴上表示：
18. 先化简，再求值：，其中．
解：
，
当时，原式．
19. 如图，在中，，分别是，的中点．
（1）求证：；
（2）连接，若，求证：四边形是矩形．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，分别是，的中点，
，
在和中，，；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
20. 如图，将边长为的正方形扩大成面积为的矩形，若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽．
解：设一边增加的长度为，则另一边增加的长度为，
依题意得．
解得，（不合题意，舍去）．
∴，．
答：矩形的长与宽分别是，．
21. 某共享单车停放点有3辆黄色单车、2辆蓝色单车，甲、乙两人分别从中随机选择1辆结伴骑行．
（1）甲选择蓝色单车的概率是______；
（2）求甲、乙两人选择同一种颜色单车的概率．
解：（1）有3辆黄色单车、2辆蓝色单车，共5辆单车，
甲选择蓝色单车的概率是；
（2）黄色单车用表示、蓝色单车用表示，
列表如下：
由表可知，共有20种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一种颜色单车的有8种结果，
甲、乙两人选择同一种颜色单车的概率为．
22. 某车站抽样调查了部分旅客的等车时间，并列出如下频数分布表．
（1）本次抽样调查的样本容量是______；
（2）关于此样本的结论：
①等车时间的众数是；
②等车时间的中位数可能是；
③等车时间的极差小于．
其中所有正确结论的序号是______；
（3）车站称“旅客等车的平均时间不超过”，你认为这个说法正确吗？请说明理由．
解：（1）本次抽样调查的样本容量是：，
故答案为：50；
（2）等车时间的众数是，故①结论错误；
等车时间的中位数位于，即可能是，故②结论正确；
等车时间的极差小于，故③结论正确；
故答案为：②③；
（3）车站的说法错误，理由如下：
旅客等车的平均时间的最小值大约为：
，
∵14.1>14，
∴车站的说法错误．
23. 如图，小亮和小刚为测量某建筑物的高度，他们都从处出发，小亮沿着水平方向步行到达处，测得顶部的仰角为；小刚沿着坡角为的坡道行至处，分别测得他沿垂直方向上升的高度为、顶部的仰角为，求该建筑物的高度．（参考数据：．）

解：在中，
，，
，
过作于，

则，，
在中，设，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
答：该建筑物的高度为．
24. 甲、乙两人沿同一直道从A处跑步到B处，图①、②分别表示甲跑步的路程（单位：），甲乙两人之间的距离（单位：）与甲出发的时间（单位：）的函数关系，若乙先出发．
（1）甲的跑步速度是______，乙的跑步速度是______；
（2）求甲到达B处所用的时间；
（3）直接写出甲、乙两人之间的距离不超过的总时间．
解：（1）根据图①甲的跑步速度是，
设乙的跑步速度是，根据图②得4秒时，两人间距离是0即甲追上了乙，
由此得，
解得，
故乙的跑步速度是，
故答案为：150，100．
（2）根据图②从第一次追上到目的地，乙行驶了，乙独立行驶全程共用时，
故全程长，
甲行驶全程用时间为：．
（3）乙先行，乙在甲前面，
根据图②得到，乙行驶了，
设解析式为，确定解析式为，得到，解得；
根据甲走完全程，得甲追上乙以后，再行驶两人距离最大，最大为，
设此段的解析式为，结合题意，得，得，
故，
当，
解得；
此时，持续时间为
乙最后行驶，乙在甲后面，
故总时间为：．
25. 二次函数的图像过点，．
（1）的值为______；
（2）若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：；
（3）若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围．
解：（1）图像过点，，
；
故答案：；
（2）解：由（1）得，
∵n>2，
∴n-1>1，
，
到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
，
到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，
；
（3）由（1）得ax-12+4=2a+5，
整理得：ax2-2ax-a-1=0，
方程有一个正根和一个负根，
即方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=-2a2-4a-a-1=8a2+4a>0，
令，
画出图象如图所示：
由图象得：或，
∵方程有一个正根和一个负根，
∴x1⋅x2=-a-1a