江苏省扬州市部分学校2024年中考二模数学试题（解析版）

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1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴的相反数是，
故选：．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3. 在下列LOGO中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
4. 一组数据：，，，，，，这组数据的平均数和众数分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】∵，，，，，这组数据中出现了两次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是，
这组数据的平均数是，
∴这组数据的平均数和众数分别是，．
故选．
5. 若关于的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴不等式组的解集为：，∴，
解得：，则符合条件的所有整数的和为
故选：D．
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，，则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴（）2，∴．
故选B．
7. 如图，的圆心在上，且与边相切于点，与交于点，，连接，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，
∵与边相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
8. 八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作于点B，如图所示：
∵正方形的边长为1，
∴，
∵经过原点的直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边的面积都是4，
∴，∴，∴，
把代入得：，
解得：，
故选：A．
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
9. 我国天文学家算出了仙女星系“体重”．仙女星系是距离银河系最近的大型漩涡星系，是研究星系形成和演化的绝佳案例．计算得到仙女星系质量约为11400亿倍太阳质量．把数据11400亿用科学记数法表示应是__________．
【答案】
【解析】11400亿，
故答案为：．
10. 在实数范围内分解因式：=___________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
11. 要使式子有意义，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题可知，，
解得，
故答案为：．
12. 一辆汽车，新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为，如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元，那么可以列出关于的方程是_______．（列出方程即可，无需求解）
【答案】
【解析】设每年的年折旧率为，
根据题意，得，
故答案为：．
13. 圆锥的底面半径为，母线为，则圆锥的侧面积为___________（结果保留）．
【答案】
【解析】∵圆锥的底面周长是，∴圆锥的侧面积是．
14. 如图，正六边形内接于，点在上，点是的中点，则的度数为 ________．
【答案】
【解析】如图，连接、、、，
∵正六边形是的内接正六边形，
，
∵点是的中点，
，
，
．
故答案为：．
15. 如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为______．

【答案】
【解析】∵，∴四边形的面积为，
∵两点在反比例函数的图象上，，
∴四边形的面积为：，
故答案为: .
16. 如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则的最小值为_________．
【答案】15
【解析】如图，在BC上截取BE＝3，连接BP，PE，
∵正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，
∴BC＝12＝CD，BP＝6，EC＝9，
∵ ，且∠PBE＝∠PBC，
∴△PBE∽△CBP，∴ ，
∴PE＝PC，∴PD+PC＝PD+PE，
∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，
∴PD+PC最小值为DE＝＝15，
故答案为：15．
17. 关于的方程有增根，则的值为__________．
【答案】
【解析】去分母得，，
合并同类项得，，
∵有增根，
∴该方程无解，即，解得：，
∴．
18. 如图，已知的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，请写出所有符合条件的点P的坐标为______．
【答案】或或
【解析】由切线的性质可知，当与x轴相切时，，
当时，，
解得，或，
∴或；
当时，，
解得，，
∴；
综上所述，点P的坐标为或或；
故答案为：或或．
三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 计算．
（1）；
（2）解不等式组，并写出它的所有的整数解．
解：（1）原式；
（2）由得，
由得：，
则不等式组的解集为，
所以其整数解为、、．
20. 先化简：，然后从中选一个你认为合适的整数作为x的值代入求值．
解：
，
∵，，，且，
∴可取，原式．
21. 清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，节期在仲春与暮春之交，是中华民族最隆重盛大的祭祖大节．清明节兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日，扫墓祭祖与踏青郊游是清明节的两大礼俗主题，这两大传统礼俗主题在中国自古传承，至今不辍．某学校数学兴趣小组为了了解该校学生对清明节的了解情况，在全校范围内随机抽取一部分学生进行问卷调查，并将调查结果适当整理后绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）本次调查抽查了______人，请补全条形统计图；
（2）本次调查的中位数落在______（填了解程度），扇形图中“了解一点”对应的扇形的圆心角为______度；
（3）已知该学校共有人，请你估计该校学生对清明节“不了解”的人数．
解：（1）本次调查抽查的人数为（人）
“非常了解”的人数为（人）
补全条形统计图如图所示：

（2）因为本次调查抽查的人数为人，且“不了解”“了解一点 ”“比较了解”“非常了解”的人数分别为，，和，所以本次调查的中位数落在了“比较了解”，扇形图中“了解一点”对应的扇形的圆心角为，
故答案为：比较了解，；
（3）该校学生对清明节“不了解”的人数为（人），
答：该校学生对清明节“不了解”的人数约为60人．
22. 桌面上有4张正面分别标有数字2、4、6、7的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将它们背面朝上，洗匀后平铺开．
（1）小红随机翻开一张卡片，正面数字是偶数的概率是___________；
（2）小红先随机翻开一张卡片并记录上面的数字，再从余下的3张卡片中随机翻开一张卡片并记录上面的数字．请用列表或画树状图的方法，求翻到的两张卡片上的数字之和为奇数的概率，
解：（1）∵一共有4张卡片，其中正面数字是偶数的卡片有3张，每张卡片被翻开的概率相同，
∴随机翻开一张卡片，正面数字是偶数的概率是，
故答案为：；
（2）用列表格法表示为：
共有12种等可能的结果，其中翻到的两张卡片上的数字之和为奇数的结果有6种，
∴ 翻到的两张卡片上的数字之和为奇数的概率为．
23. 某商场从生产厂家购进、两种玩具，再进行销售，进价和售价如下表所示：
已知该商场用元从生产厂家购进玩具的数量与用元购进玩具的数量相同．
（1）求的值；
（2）该商场计划同时购进、两种玩具共件，其中玩具最多购进件，最少购进件．实际进货时，由于生产厂家做优惠活动，所以每件玩具的进价下调元．若该商场保持玩具的售价不变且所有玩具都能售出，求该商场销售这些玩具能获得的最大利润．
解：（1）根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：的值为；
（2）设购进件玩具数量，该商场销售完这些玩具获得的总利润为元，则购进件玩具，
根据题意得：，
即，
，
随的增大而减小，
又，
当时，取得最大值，最大值（元）．
答：该商场销售这些玩具能获得的最大利润为元．
24. 如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，求的度数．
（1）证明：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵四边形平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴在直角三角形中，，
∴．
25. 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，）
（1）求液压杆顶端B到底盘的距离的长；
（2）求的长．
解：（1）液压杆与底盘夹角为β．已知液压杆米，，
在中，
∴，
∴米，
即的长为2.55米；
（2）在中，，米，
∴，
∴米，
∵，
∴，
∴米，
∴（米），
即的长为米．
26. 如图，内接于，为的直径，延长到点，连接．过点作，交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
（1）证明：如图：连接，
∵为的直径，
∴．
∵与相切，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在中，，，
由勾股定理得：，
∴．
∵，，，
∴，
设，，
∴，解得：，
∴，
∴，
在中，，，由勾股定理得：．
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点C ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，线段 与交于点 Q，设 的面积为，的面积为，当取最大值时，求点P的坐标；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围．
解：（1）将 ，代入，
得：，解得，
二次函数的解析式为；
（2）由（1）知，
当时，，
，
，
，，
；
，
二次函数图象的顶点坐标为；
，
当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值，
此时点P的坐标为；
（3）由（2）得，
二次函数图象的对称轴为直线，
当时，，y有最大值0，
，y有最小值，
最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意；
当时，，y有最小值，
，y有最大值0，
最大值与最小值的差为：，是定值，符合题意；
当时，，y有最小值，
，y有最大值，
最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意；
综上可知，当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．
28. 当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】
（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系．
①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】
（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长．
解：（1），理由如下：
∵在四边形中，，，
∴绕点旋转得到，
∴，
∴，，，，，三点共线，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴；
（2）在上取点，使得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∵，，，
∴，，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴．
（3）在上取点，使得，
∵与互补，∴，
∵，∴，
和中，，
∴，∴，，
∵，
∴，∴，
在和中，，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∵，，，∴．
第一张
结果
第二张
2
4
6
7
2
（4，2）
（6，2）
（7，2）
4
（2，4）
（6，4）
（7，4）
6
（2，6）
（4，6）
（7，6）
7
（2，7）
（4，7）
（6，7）
进价元件
售价元件