2022-2023学年湖北新高考高一第二学期5月联考数学试题{带解析}

这是一份2022-2023学年湖北新高考高一第二学期5月联考数学试题{带解析}，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则等于（ ）
A. B.
C D.
【正确答案】C
【分析】确定，再计算交集得到答案.
【详解】，
，则.
故选：C
2. 已知点在角的终边上，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】确定，再根据二倍角公式计算得到答案.
【详解】点在角的终边上，则，
.
故选：A.
3. 已知直线,其中在平面内.则“”是“”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】根据线面垂直的判定和性质定理可知充分性不成立、必要性成立，由此得到结果.
【详解】若，则，无法得到，充分性不成立；
若，则垂直于内所有直线，可得到，，必要性成立；
“，”是“”的必要而不充分条件.
故选.
本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到线面垂直的判定与性质，属于基础题.
4. 在中，内角的对边分别为.若，且，则
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】
利用正弦定理和两角和的正弦公式可把题设条件转化为，从而得到，再依据得到，从而.
【详解】因为，
故
即，故，
因为，故，所以，
又，故，从而，所以，故选B.
在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.
5. 在正方形ABCD中，已知，点P在射线CD上运动，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算及二次函数最值求解.
【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

则，
所以，，
所以
，
所以当时，取得最小值.
所以的取值范围为.
故选：D
6. 已知复数z的实部和虚部均为自然数，在复平面内z对应的点为Z，那么满足的点Z的个数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【正确答案】C
【分析】设，得到，再依次列举得到答案.
【详解】设，，，即，
当时，或；
当时，；
当时，，或；
当时，.
综上所述：共有个点满足条件.
故选：C
7. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，△ABC是边长为2的正三角形，E、F分别是PA、AB的中点，EF⊥平面PAC，则球O的体积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据条件，得到两两垂直，将三棱锥放入正方体中，计算外接球半径，再计算体积得到答案.
【详解】E、F分别是PA、AB的中点，则，EF⊥平面PAC，则平面，
平面，故，，
根据条件可知，，
故，所以两两垂直，
将三棱锥放入正方体中，如图所示：
因为△ABC是边长为2的正三角形，所以正方体的边长为，
故外接球半径，
所以球O的体积.
故选：D.
8. 定义：若，则称是函数倍伸缩仿周期函数.设，且是的2倍伸缩仿周期函数.若对于任意的，都有，则实数m的最大值为（ ）
A. 12B. C. D.
【正确答案】B
【分析】确定函数解析式，得到时，，考虑和两种情况，得到不等式，解得答案.
【详解】，
当时，，故，
故当时，，，
，故，
当时，恒成立；
当时，，，即，
故，即，即实数m的最大值为.
故选：B.
关键点睛：本题考查了函数的新定义，不等式恒成立问题，三角函数的性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用函数的类周期性质确定函数的解析式是解题的关键.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若复数、是关于x的方程的两个根，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AC
【分析】解方程得到，，代入选项计算得到答案.
【详解】，则，则，不妨取，，
对选项A：，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，错误；
故选：AC.
10. 已知一个矩形ABCD，用斜二测画法得到其直观图的周长为2，设，，下列说法正确的是（ ）

A. xy的最大值为1B. 的最小值为
C. 的最大值为2D. 的最大值为
【正确答案】BCD
【分析】根据斜二测画法可得，再有均值不等式及重要不等式判断ABC，由二次函数求最值判断D.
【详解】由斜二测画法知，，
又的周长为2，所以，即，
对A，，，即，当且仅当时等号成立，所以A错误；
对B，
，当且仅当时，即时等号成立，故B正确；
对C，由可知，，
即，所以，即，当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对D，，其中，即解得，
由二次函数图象开口向下，对称轴方程为可知，
当取对称轴时，的最大值为，故D正确.
故选：BCD
11. 已知函数，若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论不正确的是（ ）

A. 将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上的单调递减区间为
D. 若函数为偶函数，则θ的最小值为
【正确答案】CD
【分析】根据图像确定，得到和的解析式，根据平移法则得到A正确，代入验证得到B正确，举反例得到C错误，计算最小值为，D错误，得到答案.
【详解】根据图像的最大值为，且，故，
，故或（舍），，故，
即，，
对选项A：，
向左平移得到，正确；
对选项B：当时，，故关于点对称，正确；
对选项C：，，，错误；
对选项D：为偶函数，则，，
解得，，当时，有最小值为，错误.
故选：CD.
12. 如图，在等腰梯形ABCD中，.将△ACD沿着AC翻折，使得点D到点P，且.下列结论正确的是（ ）

A. 平面APC⊥平面ABC
B. 二面角的大小为
C. 三棱锥的外接球的表面积为5π
D. 点C到平面APB的距离为
【正确答案】ACD
【分析】根据面面垂直的判定定理判断A，利用二面角平面角的定义，作出二面角的平面角并证明，计算正切值即可判断B，根据球的性质确定圆心位置，再由勾股定理及球的面积公式求解判断C，利用等体积法求出点到面的距离判断D.
【详解】△ABC中，，，，
由余弦定理可得，
∴，∴.
∵，，平面APC，∴BC⊥平面APC，
∵BC⊂平面ABC，∴平面APC⊥平面ABC，故A对；
取AC的中点E点，过点E作于点F，如图，

∵，∴，
∵平面APC⊥平面ABC，平面APC∩平面，平面APC，
∴PE⊥平面ABC，又平面ABC，，又∵，平面PEF，平面PEF，而平面PEF，
，∴∠PFE是二面角的平面角，在Rt△PFE中，，故B错；
在Rt△ABC中，取AB的中点，过点作PE的平行直线，如图，

由平面ABC可知平面ABC，又为底面的外接圆圆心，
则三棱锥的外接球的球心O在这条直线上，设外接球O的半径为R，
过作交于，易知四边形为矩形，
则在与中，，
，
，解得，故外接球O的表面积为，故C对；
由PE⊥平面ABC，.
在△PAB中，，由余弦定理得∴，设点C到平面APB的距离为d，由可得，故D对.
故选：ACD
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，且，则非零向量的坐标为______.
【正确答案】
【分析】设，根据模长得到，根据平行得到，解得答案.
【详解】设，，则，，
，则，解得或（舍），即.
故答案为.
14. 在《九章算术》中，堑堵指底而为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，则当堑堵的体积最大时，阳马的体积为______.

【正确答案】##
【分析】确定，根据均值不等式得到，考虑取等条件，再计算体积得到答案.
【详解】，则，故，，
当且仅当时等号成立，
，
故时，堑堵的体积最大为，
此时阳马的体积为.
故答案为.
15. 在△ABC中，已知，P是△ABC的外心，则的余弦值为______.
【正确答案】
分析】根据余弦定理计算，确定，再利用余弦定理计算得到答案.
【详解】，故，
设的外接圆半径为，则，
中，.
故答案为.
16. 农历五月初五是端午节.这一天民间有吃粽子的习俗，据说是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国诗人屈原.粽子的形状有多种.今有某种粽子类似于由一个直角三角形绕它的一条直角边旋转（如图）而成.如果粽子的馅可以看成是这个几何体内的一个球状物，则粽子馅的最大体积为______.

【正确答案】
【分析】是的中点，连接，，确定球心在平面内，设为，设球半径为，四边形为正方形，边长为，根据等面积法得到，再计算体积得到答案.
【详解】如图所示：是的中点，连接，，，，
则，，

根据对称性，球心在平面内，设，设球半径为，
当球体积最大时，球与平面，平面，平面和直线相切，
设切点分别为，，，，平面与直线交于点，
则四边形为正方形，边长为，
中，，，
根据等面积法：，解得，
球的体积.
故答案为.
关键点睛：本题考查了旋转体的内接球问题，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中确定四边形为正方形，边长为，再根据等面积法确定半径是解题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，，其中，，
（1）若，求实数的值；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）确定，，根据垂直得到，计算得到答案.
（2）根据夹角为锐角得到，再排除共线的情况得到答案.
【小问1详解】
，，，，
，则，解得.
【小问2详解】
与的夹角为锐角，则，即.
当和共线时，，，此时向量夹角为，不满足，
综上所述.
18. 如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，，

（1）证明：EA∥平面BCF；
（2）证明：平面EAC⊥平面FAC.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）由线面平行证明面面平行，再由面面平行的性质证明线面平行即可；
（2）作出二面角的平面角，利用勾股定理证明二面角的平面角为直角，即可得面面垂直.
【小问1详解】
在正方形ABCD中，，
又由AD⊂平面ADE，BC平面ADE，
故BC//平面ADE.
∵，同理可证FB//平面ADE，
又∵，BC，BF⊂平面BCF，
∴平面ADE//平面BCF，
又∵EA⊂平面ADE，
∴平面BCF
【小问2详解】
如图，

连接BD交AC于O，连接OE,OF.
设，则
由ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以，又，且，ED，BD⊂平面BDEF，
所以AC⊥平面BDEF，
又OE，OF⊂平面BDEF，所以，
所以∠EOF是二面角的平面角，
在三角形EOF中，
，
所以，所以，
二面角是直二面角，即证平面EAC⊥平面FAC.
19. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且.∠BAC的平分线交BC于点E.
（1）求角C；
（2）求△ABE的面积.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据二倍角正弦公式及正弦定理求解；
（2）利用及面积公式，化简求出.
【小问1详解】
∵，，
，
∵
【小问2详解】
∵，如图，
又
，
，即，
，
.
20. 如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，，
（1）求证：
（2）线段BC上是否存在点E，使得平面PAD⊥平面PDE？若存在，求直线PE与平面PAD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【分析】（1）连接，确定，，得到平面，得到线线垂直.
（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，设点的坐标为，计算平面和平面的法向量，根据向量垂直确定，再根据向量的夹角公式计算得到答案.
【小问1详解】
如图所示，连接，
设，则，为等腰直角三角形，，
又，，故，
所以，故，
又平面，平面，故，
，平面，故平面，
平面，故.
【小问2详解】
方法一：空间向量法
如图，以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，
建立空间直角坐标系，设，则.
则各点坐标为：，，，，，
假设存在，设，，即，
所以
则点的坐标为.
设和分别为平面和平面的法向量.
，，，即，
令，得，，；
，，，即，
令，得，，，
平面平面，故，即，解得，
故，，
设直线与平面夹角为，则，
综上所述：
线段上存在点，使得平面平面，
直线与平面所成角的正弦值为.
方法二：几何法
假设存在，如图，作，垂足为，连接，作，垂足为，
，，，平面，故平面，
平面，故，又，
平面，平面，平面平面，
故为二面角的平面角，
，，，故，
在直角三角形中，，，
直角三角形中，，，，，
作，垂足为，，故，
设，又，，
由余弦定理：，
又，故，，
，，，平面，故平面，
平面，故，
故.
，，故，解得.
故，，，平面平面，平面，
平面平面，故平面，
设直线与平面夹角为，则，
所以线段上存在点，使得平面平面，
直线与平面所成角的正弦值为
21. 已知
（1）若，求的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在上有4个零点，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）化简得到，确定，化简得到，计算得到答案.
（2）取得，设，确定，令，在有两个零点，计算得到答案.
【小问1详解】
，
若，即，
.
【小问2详解】
，
设，则，
，故，，故，
原方程变为，，
令，，
原方程有4个零点，而方程在至多两个根，
故，且在有两个零点，
则，解得，即
22. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数.
（1）若函数的对称中心为，求函数的解析式.
（2）由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）.如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，
类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系，
①若，方程在复数集内的根为、、，当时，求的最大值；
②若，函数的零点分别为、、，求的值.
【正确答案】（1）
（2）①0，②10
【分析】（1）确定为奇函数，根据得到，解得答案.
（2）①根据根与系数的关系确定，代入计算得到，根据范围得到最值.
②取变换得到，得到根与系数的关系，确定，计算得到答案.
【小问1详解】
为奇函数，则恒成立.
即，
整理得：恒成立，故，解得，
故.
【小问2详解】
①若，则，由题有的三个实根为，，.
设，
展开得，
故，
则，
又，故，
综上：当时，的最大值为0；
②时，，由有，
同时除以得，令，，，
由题知是方程的三个根，
则，展开得，
则.