四川省达州市高级中学校2025届高三下学期模拟预测数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以
上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .下列条件中能使 唯一确定的是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】C
【解析】
【分析】对于 AD：根据三角形的性质直接判断即可；对于 BC：利用正弦定理的结论直接判断即可.
【详解】对于选项 A：因为三个内角确定，但三边不确定，可知 不能确定，故 A 错误；
对于选项 B：因为 ，可知 ，
所以满足条件的 有 2 个，故 B 错误；
对于选项 C：因为 ，所以满足条件的 有 1 个，故 C 正确；
对于选项 D：因为 为最大角，但 ，不满足大角对大边，
所以 不存在，故 D 错误；
故选：C.
2. 下列结论中，错误的是（ ）
A. “ ”是“ ”的充分不必要条件
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B. 已知命题“ ， ”，则该命题的否定为“ ， ”
C. “ ”是“ ”的充分不必要条件
D. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判定选项 A 正确，利用全称命题的否定形式判定选项 B、D 正确；
从集合的角度判定选项 C 错误.
【详解】对于 A：将 代入 成立，所以“ ”是“ ”的充分条件，
因为 的解为 或 ，所以“ ”不是“ ”的必要条件，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，正确；
对于 B：已知命题“ ， ”，则该命题的否定为“ ， ”，正确；
对于 C：因为 的解集为 或 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条
件，错误；
对于 D：命题“ ， ”的否定是“ ， ”，正确.
故选：C
3. 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合： ，
， ，然后他们三人各用一句话来正确描述“ ”表示的数字，并让丁
同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于 5 的正整数；乙： 是 的
必要不充分条件；丙： 是 的充分不必要条件.则“ ”表示的数字是（ ）
A. 3 或 4 B. 2 或 3 C. 1 或 2 D. 1 或 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据此数为小于 5 的正整数得到 ，再推出 是 的真子集， 是 的真子集，
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从而得到不等式，求出 ，得到答案.
【详解】因为此数为小于 5 的正整数，所以 ，
.因为 是 的必要不充分条件， 是 的充分不必要条件，
所以 是 的真子集， 是 的真子集，
所以 且 ，解得 ，所以“ ”表示的数字是 1 或 2，故 正确.
故选：C.
4. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出集合 ，判断 的元素是否在集合 中，可得 .
【详解】因为 ，又 ，故 ，
易验证 0，1，2 均是 的解，所以 ，所以 ．
故选：B．
5. 在 中，内角 所对的边分别为 ， ， ，且 ，延长 至点
，使得 ，若 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦定理求得 ，再由余弦定理，得到 ，求得 ，
再 中，由余弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】因为 ，可得 ，
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由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
如图所示，由 ，且 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
解得 或 （负值舍去）.
故选：C.
6. 若 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】将已知等式经三角恒等变换，再两边同除以 可得关于 的方程，即可得解.
【详解】由 ，可得
， ，
两边同时除以 并整理可得： ，解得： 或 ，
当 时， ， ，不符合题意，所以 .
故选：A
7. 已知函数 的导函数 的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）
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A. B.
C. 有三个零点 D. 有三个极值点
【答案】A
【解析】
【分析】根据导函数图像得到单调性和极值，进而推出极值点个数，比较函数值大小即可.
【详解】根据导函数图像知道：
正 0 非正 0 正
增 极大值 减 极小值 增
对于 A， ，单调递减，则 ，则 A 正确；
对于 B，自变量 在不同区间，都比 小，但不能比较它们大小，则 B 错误；
对于 C，不能确定零点个数，则 C 错误；
对于 D，函数有两个极值点，则 D 错误.
故选：A．
8. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合对数函数单调性分析判断即可.
【详解】因为 ，可得 ，
且 ，则 ，可得 ，所以 ；
又因为 ，则 ，所以 ；
综上所述： .
故选：C
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题的选项中，有多项是符合题目要
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求的.全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，满足： ， 成
立，且 在 上有且仅有 个零点，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 区间 上单调递减
C. 函数 的一个对称中心为
D. 函数 是奇函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】依题意可得 为最大值，则得 ，再由 在 上有且仅有 个零
点，可得 ，再结合 的范围可出 的值，从而可求出 的解析式，然后逐个分
析判断即可.
【详解】因为 ， 恒成立，所以 的最大值为 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，又 ，
因为 在 上有且仅有 个零点，所以 ，
所以 ，即 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
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所以 ；
对于 A：函数 的最小正周期 ，故 A 错误；
对于 B：当 时， ，又 在 上单调递减，
所以函数 在区间 上单调递减，故 B 正确；
对于 C：因为 ，
所以函数 的一个对称中心为 ，故 C 正确；
对于 D：因为 ，为奇函数，故 D 正确.
故选：BCD
10. 已知数列 的前 项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 是等差数列
B. 若 ，则 是等比数列
C. 若 ，则数列 递增数列
D. 若数列 为等差数列， ，则 最小
【答案】BC
【解析】
【分析】借助等差数列、等比数列的概念、数列的递推关系逐项计算即可得.
【详解】对于选项 A， ， ， ，
，不满足 是等差数列，故选项 A 错误；
对于选项 B，当 时， ，
当 时， ，
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因为 时也满足上式，所以 ，则 ，
所以 是等比数列，故选项 B 正确；
对于选项 C，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因此数列 为以 为首项，4 为公差的等差数列，也是递增数列，故选项 C 正确；
对于选项 D，设数列 的公差为 ，因为 ，所以 ，
即 ，当 时， 没有最小值，故选项 D 错误.
故选：BC．
11. 已知函数 对任意 恒有 ，且当 时， ，
则下列结论中正确的是（ ）
A. 的图象关于 轴对称
B. 在 上单调递增
C. 的解集为
D. 若 对 恒成立，则实数 的取值范围为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于 A，对抽象函数的等式分别赋值 和 即可判断 是奇函数；对于 B，利用
函数的单调性定义推理即得；对于 C，利用 A,B 项分析得到的函数的奇偶性和单调性求解抽象不等式即可；
对于 D，利用 C 的结论得出函数 在 上的最大值，将 等价转化为
在 上恒成立，结合关于 的一次函数 的图象即得参数
的范围.
【 详 解 】 对 于 ， 令 ， 得 ， 所 以 ， 令 ， 则
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，即 ，则 ，
所以 是定义在 上的奇函数，其图象关于原点对称，故 A 错误；
对于 ，设 ，则 ，又当 时， ，则有 ，
即 ，则 ，故 在 上单调递增，故
B 正确；
对于 ，根据选项 可知，函数 在 上单调递增，又因为 是定义在 上的奇函数，
，所以 ，则 的解集为 ，故 C 正确；
对于 ，因为 在 上单调递增，所以当 时， ，
又 对 恒成立，所以 ，即
在 上恒成立，
将 看成关于 的一次函数 ，则需 ,
由① 可得 或 ，由② 可得 或 ，故 的范围为 或 ，故 D 错误．
故选：BC．
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.双空题，第一空 2 分，第二空 3 分.
12. 宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓
点 水 会 使 平 静 的 水 面 形 成 水 波 纹 ， 截 取 其 中 一 段 水 波 纹 ， 其 形 状 可 近 似 于 用 函 数
的图象来描述，如图所示，则 ______．
【答案】
【解析】
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【分析】利用图象可以观察出振幅和周期，也就是能求出 ，最后通过代入最高点坐标去求 即可.
【详解】
由题知： ， ， ，即 ，
又 ， ，故 ，即 ．
故答案 ： .
13. 如图，一个直角走廊的宽分别为 a，b，一铁棒与廊壁成θ角，该铁棒欲通过该直角走廊，则铁棒的长度
L=___________（用含θ的表达式表示）；当a=b=2 m时，能够通过这个直角走的铁的长的最大值为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空：根据示意图及三角函数定义，即可得长度 L 的表达式；
第二空：根据第一空的表达式，化简可得 ，令 ，根据 范围，可得 t 的
范围，根据二次函数性质，可得 L 的最小值，即可得答案.
【详解】作出示意图，铁棒 ， ，
在 中， ，
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在 中， ，
所以 ；
当 时，
令 ，因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，且在 上单调递增，
所以当 时，即 时，L 的最小值为 ，
所以能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值为 .
故答案为： ；
14. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且 为奇函数，记 为 的导函数，若
，则 在点 处的切线方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用 的奇偶性与对称性，得到 的周期，结合 ，求出 的值，再利用导数
的奇偶性与周期性，结合 ，求出 的值，则切线可求．
【详解】解：因为 是定义在 上的偶函数，且 为奇函数，
所以 ， ，
因此可得
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可得 ，即周期为 8，且 ，
对 和 分别求导可得 ， ，
所以 ，
所以 在点 处的切线方程为： ，
即 ．
故答案为： ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，已知 ．
（1）求角 C 的大小；
（2）若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且唯
一确定，求 的面积．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 的周长是 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理边化角即可结果；
（2）利用正弦定理可得 .若选条件①：根据题意可得 ，进而分析其
唯一性即可；若选条件②：利用余弦定理可得 ， ，进而求 ，进而可得面积；若选条件
③：根据周长可得 ，利用余弦定理并分析其唯一性.
【小问 1 详解】
因为 ，即 ，
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可得 ，
且 ，所以 .
【小问 2 详解】
因为 ， ，由正弦定理可得 ，
可得 .
若选条件①：因为 ， ，即 ，
可得 ，可知满足条件的角 A 有两个，不唯一，不合题意；
若选条件②：因为 ，
由正弦定理可得 ，
且 ，则 ，可得 ，
则 ， ，
因为两角和两边均已确定，根据三角形全等可知三角形存在且唯一，
又因为 ，
所以 的面积 ；
若选条件③：因为 的周长是 ，
则 ，即 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
整理可得 ，且 ，
可知方程 有 2 个不相等的实根 ，
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且 ，可知方程 有 2 个不相等的正实根，
即边 a 不唯一，不合题意.
综上，只有选条件②符合题意.
16. 已知函数 ， ，其中 ．
（1）若 ，求实数 a 的值
（2）当 时，求函数 的单调区间；
（3）若存在 使得不等式 成立，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求导可得 ，由 代入计算，即可求解；
（2）求导可得 ，然后分 讨论，即可求解；
（3）根据题意，由 分离参数可得 ，然后构造函数求导得最值即可得到结果.
【小问 1 详解】
因为 ，则 ，
由 可得 ，解得 .
【小问 2 详解】
函数 的定义域为 ，
且 ，
当 时，令 ，可得 或 ，
①当 ，即 时，
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对任意的 ， ， 的单调递增区间为 ．
②当 ，即 时，
，得 或 ， ，得 ，
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
③当 ，即 时
，得 或 ； ，得 ，
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
综上所述， 时，函数 的单调增区间为 ；
时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 .
【小问 3 详解】
由 ，可得 ，即 ，其中 ，
令 ， ，
若存在 ，不等式 成立，则 ， ，
，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
所以函数 在端点 或 处取得最小值．
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因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因此，实数 的取值范围是 ．
17. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为 x
元，朱古力蜂果蛋糕单位为 y 元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量 a 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为 b 个，花费记为 ;
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为 b 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为 a 个，花费记为 ．
（其中 ）
（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
（2）若 a，b，x，y 同时满足关系 ，求这两种购买方案花费的差值 S 最小
值（注：差值 花费较大值-花费较小值）．
【答案】（1）采用方案二；理由见解析
（2）24
【解析】
【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；
（2）根据题意，得到 ，利用换元法和基本不等式，即可求解.
【小问 1 详解】
解：方案一的总费用为 （元）；
方案二的总费用为 （元），
由 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以采用方案二，花费更少.
【小问 2 详解】
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解：由（1）可知 ，
令 ，则 ，
所以 ，当 时，即 时，等号成立，
又因为 ，可得 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以差 的最小值为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以两种方案花费的差值 最小为 24 元.
18. 元宵节是中国的传统节日，为庆祝元宵节，某大学开展吃元宵、吃酒圆、猜灯谜等一系列活动．
（1）为探究元宵节吃汤圆和吃元宵的地域差异，某小组开展调研，得到如下 列联表，已知
，是否有 的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关？
北方 南方
汤圆 16 36
元宵 24 24
（2）在猜灯谜活动中共有 10 道标有序号的各不相同的题目，甲同学随机抽取其中的 5 道回答．
（i）求抽取的 5 道题中恰有 5 道题序号均相邻的概率；
（ii）已知：若 是两点分布，且 ，则 ，若甲抽取的题目
中有 对相邻序号的题目，计算 的数学期望．
附：
【答案】（1）有 的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关；
（2）（i） ；（ii）
【解析】
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【分析】（1）利用独立性检验公式进行计算，并判断与 的大小关系，即可作出判断；
（2）（ⅰ）记事件 为“抽取的 5 道题中恰有 5 道题序号相邻”，利用组合公式计算总的基事件个数和事件
包含的基事件个数，再利用古典概型公式计算即可求解；
（ⅱ）设随机变量 为第 题与第 题均被选中， 为其余情况，结合题中条件进行求解即可.
【小问 1 详解】
列联表如下：
北方 南方 合计
汤圆 16 36 52
元宵 24 24 48
合计 40 60 100
原假设 ：吃汤圆或元宵与地域无关．
，
故拒绝 ，即有 95%的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关．
【小问 2 详解】
（ⅰ）记事件 A 为“抽取的 5 道题中恰有 5 道题序号相邻”，
则 ．
（ⅱ）设随机变量 为第 题与第 题均被选中， 为其余情况，
则 ，
由甲抽取的题目中有 对相邻序号的题目，则
由定义：若 是两点分布，且 ，则 ，
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则 ．
19. 设数列 的首项为 1，前 n 项和为 ，若对任意的 ，均有 （k 是常数且 ）
成立，则称数列 为“ 数列”．
（1）若数列 为“ 数列”，求数列 的通项公式；
（2）是否存在数列 既是“ 数列”，也是“ 数列”？若存在，求出符合条件的数列 的
通项公式及对应的 k 的值；若不存在，请说明理由；
（3）若数列 为“ 数列”， ，设 ，证明： ．
【答案】（1） ；
（2）不存在，理由见解析；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意得 ，再利用 与 的关系分类讨论，即可得数列 为等比数列，从而
可得通项公式．
（2）利用反证法可得不存在这样的数列 既是“ 数列”，也是“ 数列”．
（3）由数列 为“ 数列”，可得到 对任意正整数 恒成立，于是可得
，然后根据错位相减法求得 ，故得
，即 ，即结论成立．
【小问 1 详解】
因为数列 为“ 数列”，所以
当 时， ，得 ，
当 时， ，则 ，即 ，
经检验，当 时， ，
故 对任意的 恒成立，即 ，
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故数列 为是首项为 1，公比为 2 的等比数列，故 .
【小问 2 详解】
假设存在这样的数列，由 是“ 数列”，则有 ，故有 ，
两式相减得： ，故有 ，
同理：由 是“ 数列”可得 ，
所以 对任意 恒成立，故
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
两者矛盾，故不存在这样的数列 既是“ 数列”，也是“ 数列”．
【小问 3 详解】
因为数列 为“ 数列”，所以 ，
故 ，故 ，
又当 时， ，故 ，
又 ，故满足 ，
所以 对任意正整数 恒成立，数列的前几项为： ，
故 ，
所以 ，
两式相减得 ，
显然 ， ，
故 ，即 .
【点睛】（1）本题属于新概念问题，解题时要从所给出的概念出发，得到相应的结论，然后再借助于数列
的有关知识得到相应的结论．
（2）对于存在性问题的解法，可利用反证法求解，解题时在假设的基础上得到矛盾是解题的关键，通过否
定假设可得原结论不成立．
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