2025年中考数学一轮考点复习学案04 微专题 分 式

这是一份2025年中考数学一轮考点复习学案04 微专题 分 式，共8页。学案主要包含了答题模板，问题提出，类比思考，实践探索，解法提示等内容，欢迎下载使用。
构建知识体系
考点梳理
1. 分式的基本概念
(1)概念：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成AB的形式.如果B中含有字母，那么称AB为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.对于任意一个分式，分母都不能为零
(2)最简分式的概念：①
(3)分式AB有意义的条件：②
(4)分式AB的值为0的条件：③
2. 分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值④ ；
即AB＝A·CB·C 通分(C≠0)，AB＝A÷CB÷C 约分(C≠0)，其中A，B，C是整式
3. 分式的运算(6年4考)
(1)加减运算
①同分母：分母不变，把分子相加减，即ba±ca＝⑤ ；
②异分母：先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算，即ba±dc＝⑥ ⑦ (关键是通分)；
③通分的关键是找最简公分母：分母中能分解因式的先分解因式；取各分母所有因式的最高次幂的积(数字因式取它们的最小公倍数)作为公分母
(2)乘除运算
①乘法：ba·dc＝⑧ (关键是约分)；
(5)(x－1)÷(x－2x－1x)＝ .
②除法：ba÷dc＝⑨ ⑩ ；
③约分的关键是找公因式：分子、分母中能分解因式的，先分解因式；取分子、分母中的相同因式的最低次幂(数字因式取它们的最大公约数)作为公因式
(3)乘方运算：把分子、分母分别乘方，即(ab)n＝anbn
练考点
1. 下列分式中，是最简分式的是( )
A. 3xy2x2 B. x－1x+1
C. x2＋xx2－1 D. x－1x2－2x+1
2. 已知分式x+1x－1.
(1)要使该分式有意义，则x的取值范围为 ；
(2)要使该分式的值为0，则x的值为 .
3. 下列分式变形从左到右一定成立的是( )
A. 2xy＝xyy2 B. xy＝x2y2
C. －x－y＝－xy D. 2x3y＝6x9y
4. 计算：
(1)3a＋2a＝ ；
(2)1＋2x－1＝ ；
(3)x2－x＋2x－2＝ ；
(4)1x2－x·x－1x＝ ；
高频考点
考点1 分式的概念及性质
例1 (人教八上习题改编)若分式a2－1a－1的值为0，则a的值为( )
A. ±1 B. 0 C. －1 D. 1
变式1 (人教八上习题改编)若将分式x＋yxy中的x，y同时扩大为原来的10倍，则该分式的值( )
A. 缩小为原来的110 B. 扩大为原来的10倍
C. 缩小为原来的1100 D. 不变
考点2 分式的运算(6年4考)
例2 (北师八下习题改编)先化简：(x－1x－2－x+2x)÷4－xx2－4x+4，再从－1，0，2，4四个数中，选择一个合适的数代入求值.
【答题模板】
解：原式＝① ÷4－xx2－4x+4(通分，通分的依据是② )
＝4－xx(x－2)÷③ (因式分解)
＝4－xx(x－2)·④ (除法变乘法)
＝⑤ ，(约分)
要使分式有意义，则x≠0，x－2≠0，⑥ ≠0，即不能选择0，2，4，
∴当x＝－1时，代入⑦ 中，得原式＝⑧ .
易错警示
(1)一定要“先”化简为最简分式或整式，“再”代入求值；
(2)通分时，不含分母的项也要乘以最简公分母；
(3)分数线有括号的作用；
(4)代入的数值需使原分式及化简过程中的分式分母不为0.
变式2 (2024北京)已知a－b－1＝0，求代数式3(a－2b)+3ba2－2ab＋b2的值.
变式3 (2024中山二模)先化简x2－2x+1x2－1÷(x－1x+1－x＋1)然后从－3＜x≤1中选取一个合适的整数作为x的值代入求值.
真题及变式
命题点 分式化简及求值(6年4考)
1. (2024广东14题3分)计算：aa－3－3a－3＝ .
2. (2022广东17题8分)先化简，再求值：a＋a2－1a－1，其中a＝5.
3. (2019广东18题6分)先化简，再求值：(xx－2－1x－2)÷x2－xx2－4，其中x＝2.
新考法
4. [综合与实践](2023盐城改编)
【主题】应用分式的大小比较
【问题提出】课堂上，老师提出了下面的问题：
已知3a＞b＞0，M＝ab，N＝a+1b+3，试比较M与N的大小.
【类比思考】
整式的大小比较可采用“作差法”.
比如：比较x2＋1与2x－1的大小.
∵(x2＋1)－(2x－1)＝x2＋1－2x＋1＝(x－1)2＋1＞0，
∴x2＋1＞2x－1.
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
【实践探索】
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题；
(2)比较大小：2368 2265(填“＞”“＝”或“＜”).
考点精讲
①分子和分母没有公因式的分式 ②B≠0
③A＝0且B≠0 ④不变 ⑤b±ca ⑥bcac±adac
⑦bc±adac ⑧bdac ⑨ba·cd ⑩bcad
练考点
1. B
2. (1)x≠1；(2)－1
3. D
4. (1)5a；(2)x+1x－1；(3)－1；(4)1x2；(5)xx－1
高频考点
例1 C 【解析】∵分式a2－1a－1的值为0，∴a2－1＝0且a－1≠0，解得a＝－1.
变式1 A 【解析】根据题意，得10x+10y10x×10y＝110·x＋yxy，∴如果把分式x＋yxy中的x和y同时扩大为原来的10倍，该分式的值缩小为原来的110.
例2 解：①[x(x－1)x(x－2)－(x+2)(x－2)x(x－2)]；②分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变；③4－x(x－2)2；④(x－2)24－x；⑤x－2x；⑥4－x；⑦x－2x；⑧3
变式2 解：原式＝3a－6b+3b(a－b)2
＝3a－3b(a－b)2
＝3(a－b)(a－b)2
＝3a－b，
∵a－b－1＝0，∴a－b＝1，
∴原式＝3.
变式3 解：原式＝(x－1)2(x+1)(x－1)÷(x－1x+1－x2－1x+1)
＝x－1x+1÷－x2＋xx+1
＝x－1x+1·x+1－x(x－1)
＝－1x，
∵(x＋1)(x－1)≠0且x(x－1)≠0，∴x≠±1且x≠0，
∵－3＜x≤1，∴取x＝－2，
∴原式＝12.
真题及变式
1. 1 【解析】原式＝a－3a－3＝1.
2. 解：原式＝a＋(a+1)(a－1)a－1(3分)
＝a＋a＋1
＝2a＋1，(6分)
当a＝5时，原式＝2×5＋1＝11.(8分)
3. 解：原式＝x－1x－2÷x(x－1)(x+2)(x－2)
＝x－1x－2·(x+2)(x－2)x(x－1)
＝x+2x，(4分)
当x＝2时，
原式＝2+22＝2×(2+2)2＝1＋2.(6分)
4. 解：(1)M－N＝ab－a+1b+3
＝a(b+3)b(b+3)－b(a+1)b(b+3)
＝ab+3a－ab－bb(b+3)
＝3a－bb(b+3)，
∵3a＞b＞0，
∴3a－b＞0，b(b＋3)＞0，
∴3a－bb(b+3)＞0，
∴M＞N；
(2)＜ 【解法提示】2368－2265＝23×65－22×6868×65＝－168×65＜0，∴2368＜2265.