浙江省杭州市2023_2024学年高一数学下学期3月联考试题

这是一份浙江省杭州市2023_2024学年高一数学下学期3月联考试题，共10页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，已知，向量与垂直，则实数的值为，在中，，且，已知，则在上的投影向量为，已知，则的取值范围是，已知复数，下列说法中不正确的是等内容，欢迎下载使用。
2，答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3，所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i是虚数单位，复数，则（ ）
A．1B．2C．D．0
2．已知，向量与垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．1
3．在中，，且（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ）
A．B．C．D．
5．已知的三内角所对的边分别是，设向量，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
6．已知，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在山脚A测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则山高（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9．已知复数（i是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A．复数的虚部等于B．对应复平面内的点在第三象限
C．D．若是实数，是纯虚数，则
10．下列说法中不正确的是（ ）
A．若，则，且四点构成平行四边形．
B．若为非零实数，且，则与共线．
C．在中，若有，那么点一定在角的平分线所在直线上．
D．若向量，则与的方向相同或相反．
11．如图，直线与的边分别相交于点，设，则（ ）
A．的面积B．
C．D．
非选择题部分
三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分．
12．已知平面向量满足，则与夹角的大小为______．
13．在中，，点在线段上，，则______．
14．已知和是夹角为的两个单位向量，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）（1）已知，若为实数，求的值．
（2）已知复数满足，若复数是实系数一元二次方程的一个根，求的值．
16．（15分）如图，分别是的边上的点，且交于．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
17．（15分）如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向。哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上。两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求：
（1）刚发现走私船时，走私船与哨所的距离；
（2）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？
（3）若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃車，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？
18．（17分）在中，内角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围．
19．（17分）设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线．
（1）求的范围
（2）求的最小值，
（3）若，求的最小值。
2023学年第二学期浙江省精诚联盟3月联考
高一年级数学试题答案
命题人：乐清市二中高一数学备课组 审题人：龙港中学朱书钻
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C2．A3．D4．B5．D6．B7．C8．D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9．BCD10．AD11．AD
三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）解（1），
所以
（2）设，
则，
，
，，
16．（15分）解：（1）在中，因为，所以，
所以，因为，所以，
所以。
（3）设，则由（1）知，，因为，
所以，，
因为三点共线，所以，所以，
所以
因为，所以，所以
17．（15分）解：（1）由在的南偏东，在的东北偏方向，
，由正弦定理得，
，代入上式得：海里．
答：走私船与观测点的距离为海里；
（2）中，海里，海里，，
．
，
解得海里，
易知，故刚发现走私船时，走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上．
（3）设小时后缉私艇在处追上走私船，则，
，在中，由余弦定理得
，化简得
解得．故缉私艇至少需要小时追上走私船．
18．（17分）解：（1）因为．
所以由正弦定理得，
整理得，
由余弦定理得．因为，
所以．
（2）由余弦定理得，
所以，即.9分
所以
即当为正三角形是，面积最大值为。（其他方法酌情给分）
（3）由正弦定理得
，
其中为锐角，且，所以
又因为为锐角三角形，所以
解得，所以，
所以，即
故的取值范围为．
19．（17分）解：（1）
为锐角，
解法一：
取的中点为
解法二：
以为原点，以为轴，建立直角坐标系
（2）解法一
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为．
解法二
以为原点，以为轴，建立直角坐标系设点，则
当且仅当时，等号成立，的最小值为．
解法三：
设，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为．
（3）解法一
令，则原式
当且仅当即，等号成立，的最小值为
解法二
以为原点，以为轴，建立直角坐标系
三点共线
解法三
下同解法二