2025届 高中毕业班适应性考试高考数学模拟试卷[一模}含答案

这是一份2025届 高中毕业班适应性考试高考数学模拟试卷[一模}含答案，共12页。试卷主要包含了欧拉公式，，满足.，已知函数，，.等内容，欢迎下载使用。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效。
一、选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．下列命题中的假命题是（ ）
A．，B．，
C．， D．，
3.若，则等于（ ）.
A．B．C．D．
4. 二项式的展开式中项的系数为，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
5. 设数列，均为等差数列，它们的前项和分别为，，若，则（ ）
A. B. C. D.
6．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为，若，山坡对于地平面的坡度为，则等于（ ）
A．B．C．D．
7. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）
8.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=1，M是AC的中点，则三棱锥B1－ABM的外接球的表面积为（ ）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
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A. 月跑步里程最小值出现在2月
B. 月跑步里程逐月增加
C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
10．欧拉公式（本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（ ）
A．复数为纯虚数
B．复数对应的点位于第二象限
C．复数的共轭复数为
D．复数在复平面内对应的点的轨迹是圆
11．双曲线C：的左､右焦点分别为，，若在双曲线C上存在一点M使得为直角三角形，且该三角形某个锐角的正切值为，那么该双曲线的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，满足，，则______．
13. 甲、乙等5名同学参加志愿者服务,分别到三个路口硫导交通,每个路口有1名或2名志原者,则甲、乙在同一路口的分配方案共有种数________(用数字作答).
14. 已知直线与圆交于、两点，直线垂直平分弦，则的值为____________，弦的长为____________.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）已知中，，D为AB中点，.
(1)若，求AC的长度；
(2)若，求的值.
16．（本小题满分15分）如图，在三棱台中，，，，，．

(1)证明：平面平面；
(2)设是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
17．（本小题满分15分）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上），满足.

(1)当时，求双曲线的标准方程；
(2)过且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，点是线段的中点，试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.
18．（本小题满分17分）已知函数，，.
(1)若，求证：；
(2)若函数与函数存在两条公切线，求的取值范围.
19．（本小题满分17分）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中.
(1)设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望；
(2)设结束后，细胞数量为的概率为 .
（i）求；
（ii）证明.
数学答案
一、选择题
二、多选题
三、填空题
12.
13.18
14 (1). (2).
四、解答题
15（1）在中，由余弦定理得，
，
，
在中，，
所以AC的长度为2.
（2）设BC＝x，则AC＝2x，在和中分别利用余弦定理得
，
解得（负根舍）.
因为，
所以，
在中，由正弦定理得，
即.
16（1）证明：

由三棱台知：，
在梯形中，取的中点，连接，
因，
故，四边形是平行四边形，
∴，
，
所以，
，即，
因，所以，
又因，所以，
又因，所以平面，
因平面，
所以平面平面；
（2）解：
取的中点，的中点，连接，，则，
因，所以，
由条件知：四边形是等腰梯形，所以，
平面平面
平面,
平面平面
∴平面，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，

则在等腰梯形中，由平面几何知识可得：，
∴，，，，
设平面的法向量，
则由 得，
令，得，，
所以，
又平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，
则．
17（1）延长与交于，根据，得到，再设，利用双曲线的定义求解；
（2）设，利用双曲线的定义得到两渐近线所在直线方程，设直线方程为，联立求得即可.
【详解】（1）解：如图所示：

延长与交于，
因为，
所以，
设，则，即，
，
故方程为；
（2）设，
则，
，
两渐近线所在直线方程为：，
设直线方程为，将渐近线两侧平方与直线联立，
则可得，则，
则，
故.
18.（1）当时，，
构建，，则，
构建，
因为，所以在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
则当时，取得最小值，可得
所以当时，.
（2）设函数与函数的公切线分别相切于点和点
因为，，
所以的方程可表示为或，
整理得或，
则有①，②
由①可得，代入②可得：,
即，
构建，，则,
构建，则，
且，令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，则，可得；
当时，在上单调递增，，
可得当时，，当时，；
综上所述：当时，，当时，.
即当时，，即，所以在单调递增；
当时，，即，所以在单调递减；
所以，且当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，
由上可知，要使函数与函数存在两条公切线，只需直线与函数图象有两个交点，
由图可知a的取值范围为.
19（1）求出的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望；
（2）（i）求出第时分裂为个细胞的概率，再用等比数列求和公式，即可求解；
（ii）求出第时分裂为个细胞的概率，再用等比数列求和公式，求出，再利用导数法确定函数的单调性，从而确定最值，即可得证.
【详解】（1）个结束后，的取值可能为,其中,
，
，，
所以分布列为
.
（2）（i）表示分裂结束后共有个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设在第时分裂为个细胞，之后一直有 个细胞，
此事件概率，
所以
.
（ii）代表分裂后有个细胞的概率，设细胞在后分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的中，其中一个分裂为个细胞，一个保持一直分裂为个细胞，此事件的概率
，
得，
，
其中，.
令,，
记，,令，得.
当,,递增；
当，,递减.
故，
也就是.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
A
C
B
C
C
B
题号
9
10
11
答案
ACD
ABD
ACD